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第2课时 “非”学习目标
1.理解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“綈p”命题.
2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.
3.理解命题的否定与否命题的区别.知识点一 逻辑联结词“非”思考 观察下列两组命题,看它们之间有什么关系?1p5是25的算术平方根;q5不是25的算术平方根.2p y=tanx是偶函数;q y=tanx不是偶函数.答案 两组命题中,命题q都是命题p的否定.梳理 1命题的否定一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.2命题綈p的真假若p是真命题,则綈p必是假命题;若p是假命题,则綈p必是真命题.知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定,除将简单命题p,q否定外,还需将“且”变为“或”.对复合命题“p∨q”的否定,除将简单命题p,q否定外,还需将“∨”变为“∧”.复合命题的真假,主要利用真值表来判断,其步骤如下1确定复合命题的构成形式;2判断其中各简单命题的真假;3利用真值表判断复合命题的真假.知识点三 命题的否定与否命题思考 已知命题p平行四边形的对角线相等,分别写出命题p的否命题和命题p的否定,并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别?答案 命题p的否命题如果一个四边形不是平行四边形,那么它的对角线不相等;命题p的否定平行四边形的对角线不相等.命题的否命题与命题的否定有着本质的区别,命题的否定只否定原命题的结论,不能否定原命题的条件,而否命题是对原命题的条件和结论都否定.梳理 1命题的否定“非”命题是对原命题结论的否定.
①“綈p”是否定命题p的结论,不否定命题p的条件,这也是“綈p”与否命题的区别;
②p与“綈p”的真假必定相反;
③“綈p”必须包含p的所有对立面.2否命题求一个命题的否命题时,要对原命题的条件和结论同时否定.1.命题的否定和否命题是一回事.×2.命题“方程x2-3=0没有有理根”的否定为“方程x2-3=0有有理根”.√3.命题“若a2>b2,则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2,则|a|<|b|”.×类型一 綈p命题及构成形式例1 写出下列命题的否定形式.1面积相等的三角形都是全等三角形;2若m2+n2=0,则实数m,n全为零;3若xy=0,则x=0或y=
0.解 1面积相等的三角形不都是全等三角形.2若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.3若xy=0,则x≠0且y≠
0.引申探究写出本例中所给命题的否命题.解 1面积不相等的三角形不都是全等三角形.2若m2+n2≠0,则实数m,n不全为零.3若xy≠0,则x≠0且y≠
0.反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”等.跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.1p y=sinx是周期函数;2p32;3p空集是集合A的子集;4p5不是75的约数.解 1綈p y=sinx不是周期函数.2綈p3≥
2.3綈p空集不是集合A的子集.4綈p5是75的约数.类型二 含逻辑联结词的命题的真假判断例2 分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假.1p函数y=x2和函数y=2x的图象有两个交点;q函数y=2x是增函数.2p7>7;q7=
7.考点 綈p形式命题真假性的判断题点 判断綈p的真假解 1因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题.2因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题.引申探究在本例条件不变的前提下,对1判断“綈p∧q”“綈q∨p”的真假;对2判断“p∧綈q”“p∨綈q”“綈p∧綈q”“綈p∨綈q”的真假.解 1因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以綈p是真命题,綈q是假命题,即綈p∧q为真命题,綈q∨p为假命题.2因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以綈p是真命题,綈q是假命题,所以p∧綈q为假命题,p∨綈q为假命题;綈p∧綈q为假命题,綈p∨綈q为真命题.反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假.跟踪训练2 已知命题p所有有理数都是实数,命题q正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是________.填序号
①綈p∨q;
②p∧q;
③綈p∧綈q;
④綈p∨綈q.考点 “綈p”形式命题真假性的判断题点 判断綈p的真假答案
④解析 由于命题p为真命题,命题q为假命题,因此,命题綈p是假命题,命题綈q是真命题,从而綈p∨q,p∧q,綈p∧綈q都是假命题,綈p∨綈q为真命题.类型三 命题的否定的真假应用例3 已知命题p方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,命题q关于x的不等式ax2-ax+10的解集为R,若“p∨q”与“綈q”同时为真命题,求实数a的取值范围.解 命题p方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,等价于⇔,解得a≤-
1.命题q关于x的不等式ax2-ax+10的解集为R,等价于a=0或由于⇔解得0a4,所以0≤a
4.因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题,即p真且q假,所以解得a≤-
1.故实数a的取值范围是-∞,-1].反思与感悟 由真值表可判断p∨q,p∧q,綈p命题的真假,反之,由p∨q,p∧q,綈p命题的真假也可判断p,q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围,应先求p真成立的参数的范围,再求其补集.跟踪训练3 已知命题p|x2-x|≤2,q x∈Z,若“p∧q”与“綈p”同时为假命题,则x的取值范围为________.答案 {x|-1x2且x≠01}解析 由p得-1≤x≤2,又q x∈Z,得p∧q x∈{-1012}.綈p x-1或x2,因为“p∧q”与“綈p”同时为假,所以p真且q假,故-1x2且x≠
01.1.已知命题p2+2=5,命题q32,则下列判断正确的是________.填序号
①“p∨q”为假,“綈q”为假;
②“p∨q”为真,“綈q”为假;
③“p∧q”为假,“綈p”为假;
④“p∧q”为真,“p∨q”为假.答案
②解析 显然p假q真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈p”为真,“綈q”为假,故
②正确.2.命题“若ab,则3a3b”的否命题是________________,命题的否定为________________.答案 若a≤b,则3a≤3b 若ab,则3a≤3b3.“a≥5且b≥2”的否定是________.答案 a5或b2解析 “p∨q”的否定是“綈p∧綈q”,而“p∧q”的否定为“綈p∨綈q”.4.给出命题p直线ax+3y+1=0与直线2x+a+1y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.关于以上两个命题,下列结论中正确的是________.填序号
①命题“p∧q”为真;
②命题“p∨q”为假;
③命题“p∨綈q”为真;
④命题“p∧綈q”为真.答案
③④解析 依题意得命题p为真命题,命题q为假命题.故p∧q为假,p∨q为真,p∨綈q为真,p∧綈q亦为真,只有
③④正确.5.已知a>0,且a≠1,设p函数y=logax+1在0,+∞上单调递减,q抛物线y=x2+2a-3x+1与x轴交于不同的两点,若綈p∧q为真命题,则实数a的取值范围为________________.考点 “非p”形式命题真假性的判断题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围答案 解析 由函数y=logax+1在0,+∞上单调递减,知0<a<
1.若抛物线y=x2+2a-3x+1与x轴交于不同的两点,则Δ=2a-32-4>0,即a<或a>.∵綈p∧q为真命题,∴p为假命题,且q为真命题,于是有∴a>.∴所求实数a的取值范围是.1.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定,应注意对逻辑联结词进行否定,即“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”,“不是”的否定是“是”.2.“否命题”与命题的“否定”的区别对命题的否定即非p只是否定命题的结论,而否命题“若p则q”形式的命题既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系,而命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假.
一、填空题1.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件.填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”答案 充分不必要解析 因为綈p为真,所以p为假,那么p∧q为假,所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件;反过来,若“p∧q为假”,则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”,所以由“p∧q为假”不能推出綈p为真.综上可知,“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.2.已知命题p若xy,则-x-y;命题q若xy,则x2y
2.在命题
①p∧q;
②p∨q;
③p∧綈q;
④綈p∨q中,真命题是________.填序号答案
②③解析 由不等式性质知命题p为真命题,命题q为假命题,从而綈p为假命题,綈q为真命题.故p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧綈q为真命题,綈p∨q为假命题.3.已知命题p1函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题
①p1∨p2,
②p1∧p2,
③綈p1∨p2和
④p1∧綈p2中,为真命题的是________.填序号答案
①④解析 p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题;∴
①p1∨p2是真命题,
②p1∧p2是假命题,∴
③綈p1∨p2为假命题,
④p1∧綈p2为真命题.∴为真命题的是
①④.4.已知命题p1∈{x|x+2x-30},命题q∅={0},则下列判断正确的是________.填序号
①p假q真;
②“p∨q”为真;
③“p∧q”为真;
④“非p”为真.答案
②解析 由x+2x-30,得-2x3,∵1∈-23,∴p真.∵∅≠{0},∴q为假,∴“p∨q”为真.5.若“x∈
[25]或x∈{x|x1或x4}”是假命题,则x的取值范围是________.答案 [12解析 x∈
[25]或x∈-∞,1∪4,+∞,即x∈-∞,1∪[2,+∞,由于该命题是假命题,所以1≤x2,即x∈[12.6.已知p x2+2x-30,q5x-6x2,则綈p是綈q的________条件.答案 充分不必要解析 p{x|x1或x-3},q{x|2x3}.则綈p{x|-3≤x≤1},綈q{x|x≥3或x≤2}.∴綈p⇒綈q且綈q⇏綈p.∴綈p是綈q的充分不必要条件.7.若命题p x∈{1234},命题q x∈{x|x≤0或x≥5,x∈R},则p是綈q的____________条件.答案 充分不必要解析 ∵q x∈{x|x≤0或x≥5,x∈R},∴綈q x∈{x|0x5,x∈R},∴p⇒綈q但綈q⇒/p.8.已知p|x2-x|≥6,q x∈Z,且“p∧q”与“綈q”同时为假,则x的值为________.答案 -1012解析 ∵p且q为假,∴p,q中至少有一个为假.又“綈q”为假,∴q为真,进而可知p为假.由p假q真可得∴∴x的取值为-
1012.9.命题p函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4]上是减函数,若綈p是假命题,则a的取值范围是__________________________________________、_______________________.考点 “非p”形式命题真假性的判断题点 由“非”命题的真假求参数的取值范围答案 -∞,-3]解析 由题意,知-≥4,解得a≤-
3.10.给定命题p函数y=ln[1-xx+1]为偶函数;命题q函数y=为偶函数,下列说法正确的是________.填序号
①p∨q是假命题;
②綈p∧q是假命题;
③p∧q是真命题;
④綈p∨q是真命题.答案
②解析 p中,f-x=ln[1+x1-x]=fx,又定义域关于原点对称,故函数为偶函数,故p为真;q中,f-x===-fx,定义域为R,故函数为奇函数,故q为假,故綈p∧q为假.11.已知命题p若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,下列结论中
①p∧q为真;
②p∨q为假;
③p∨q为真;
④綈p∨綈q为假.其中,正确的是________.填序号答案
②解析 命题p是假命题,这是因为α与γ也可能相交;命题q也是假命题,这两条直线也可能异面或相交.
二、解答题12.写出下列命题的否定及否命题.1若m2+n2+x2+y2=0,则实数m,n,x,y全为零;2若x0,则x
20.解 1命题的否定若m2+n2+x2+y2=0,则实数m,n,x,y不全为零.否命题若m2+n2+x2+y2≠0,则实数m,n,x,y不全为零.2命题的否定若x0,则x2≤
0.否命题若x≥0,则x2≤
0.13已知p关于x的不等式|2x-3|mm0,q xx-30,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解 由|2x-3|mm0,得x.由xx-30,得0x
3.若綈p是綈q的必要不充分条件,则q是p的必要不充分条件,∴或解得0m
3.故实数m的取值范围是03.
三、探究与拓展14.若命题p函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞,命题q函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞,则下列说法正确的是________.填序号
①p∧q是真命题;
②p∨q是假命题;
③綈p是假命题;
④綈q是假命题.考点 “p∨q”“p∧q”形式命题真假性的判断题点 判断“p∨q”“p∨q”形式命题的真假答案
③解析 因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞,所以p是真命题.因为函数y=x-的单调递增区间是-∞,0和0,+∞,所以q是假命题,所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p是假命题,綈q是真命题.15.已知全集U=R,非空集合A=,B={x|x-ax-a2-20}.1当a=时,求∁UB∩A;2命题p x∈A,命题q x∈B,若綈p是綈q的必要条件,求实数a的取值范围.解 1A={x|2x3},当a=时,B=.∴∁UB=,∴∁UB∩A=.2由綈p是綈q的必要条件,得q是p的必要条件,即p⇒q,可知A⊆B,由a2+2a,得B={x|axa2+2}.∴解得a≤-1或1≤a≤
2.∴实数a的取值范围为-∞,-1]∪
[12].。