还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2.
6.2求曲线的方程
2.
6.3曲线的交点学习目标
1.了解求曲线方程的步骤,会求简单曲线的方程.
2.掌握求两条曲线交点的方法.
3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系.知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础?答案 只有建立了平面直角坐标系,才有点的坐标,才能将曲线代数化,进一步用代数法研究几何问题.思考2 依据一个给定的平面图形,选取的坐标系唯一吗?答案 不唯一,常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理 1坐标法借助于坐标系,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2解析几何研究的主要问题
①通过曲线研究方程根据已知条件,求出表示曲线的方程.
②通过方程研究曲线通过曲线的方程,研究曲线的性质.知识点二 求曲线的方程的步骤1.建系建立适当的坐标系.2.设点设曲线上任意一点M的坐标为x,y.3.列式列出符合条件pM的方程fx,y=
0.4.化简化方程fx,y=0为最简形式.5.证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.知识点三 曲线的交点已知曲线C1f1x,y=0和C2f2x,y=
0.1P0x0,y0是C1和C2的公共点⇔2求两曲线的交点,就是求方程组的实数解.3方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点.1.x2+y2=1x>0表示的曲线是单位圆.×2.若点Mx,y的坐标是方程fx,y=0的解,则点M在曲线fx,y=0上.√3.方程y=x与方程y=表示同一曲线.×4.曲线xy=2与直线y=x的交点是,.×类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x=8的距离是它到点A20的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解 设Px,y,则|8-x|=2PA.则|8-x|=2,化简,得3x2+4y2=48,故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=
48.引申探究若本例中的直线改为“y=8”,求动点P的轨迹方程.解 设Px,y,则P到直线y=8的距离d=|y-8|,又PA=,故|y-8|=2,化简,得4x2+3y2-16x+16y-48=
0.故动点P的轨迹方程为4x2+3y2-16x+16y-48=
0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法1关键
①建立恰当的平面直角坐标系;
②找出所求动点满足的几何条件.2方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤建系、设点;根据动点满足的几何条件列式;对所求的方程化简、证明.特别提醒直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知两点M-10,N10,且点P使·,·,·成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.解 设点Px,y,由M-10,N10,得=-=-1-x,-y,=-=1-x,-y,=-=20.∴·=2x+1,·=x2+y2-1,·=21-x.于是,·,·,·成公差小于零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2+y2=3x0.类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B30连线的中点为P,求P点的轨迹方程.解 设Px,y,Mx0,y0,因为P为MB的中点,所以即又因为M在曲线x2+y2=1上,所以2x-32+4y2=
1.所以P点的轨迹方程为2x-32+4y2=
1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤1设动点Px,y,相关动点Mx0,y0.2利用条件求出两动点坐标之间的关系3代入相关动点的轨迹方程.4化简、整理,得所求轨迹方程.跟踪训练2 已知△ABC的两顶点A,B的坐标分别为A0,0,B60,顶点C在曲线y=x2+3上运动,求△ABC重心的轨迹方程.解 设Gx,y为△ABC的重心,顶点C的坐标为x′,y′,则由重心坐标公式,得所以因为顶点Cx′,y′在曲线y=x2+3上,所以3y=3x-62+3,整理,得y=3x-22+
1.故ΔABC重心的轨迹方程为y=3x-22+
1.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M12的直线与曲线y=a≠0有两个不同的交点,且这两个交点的纵坐标之和为a,求a的取值范围.解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时,不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y-2=kx-1k≠0,联立曲线方程,得消去x,得y2-2-ky-ka=
0.
①当此方程有两个不同的根,即方程组有两个不同的解时,直线与曲线有两个不同的交点.∴Δ=2-k2+4ka
0.设方程
①的两根分别为y1,y2,由根与系数的关系,得y1+y2=2-k.又∵y1+y2=a,∴k=2-a,代入Δ0中,得a2+4a2-a0,解得0a.又∵k≠0,∴2-a≠0,即a≠
2.∴a的取值范围是02∪.反思与感悟 结合曲线方程的定义,两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解,所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题,讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.若两曲线C1和C2的方程分别为Fx,y=0和Gx,y=0,则它们的交点坐标由方程组的解来确定.跟踪训练3 已知直线y=2x+b与曲线xy=2相交于A,B两点,若AB=5,求实数b的值.解 设Ax1,y1,Bx2,y2.联立方程组消去y,整理得2x2+bx-2=
0.
①∵x1,x2是关于x的方程
①的两根,∴x1+x2=-,x1x2=-
1.又AB==,其中k=2,代入则有AB=·=5,∴b2=4,则b=±
2.故所求b的值为±
2.1.直线y=x+4与双曲线x2-y2=1的交点坐标为________.答案 解析 由得x2-x+42-1=0,即2.已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F2,则直线l与椭圆的交点坐标为________.答案 0,-2,解析 因F210,l方程为y=2x-
2.由方程组解得或故所得交点坐标为0,-2,.3.直线+=1与x,y轴交点的中点的轨迹方程是________________.答案 x+y-1=0x≠0,x≠1解析 设直线+=1与x,y轴交点为Aa0,B0,2-a,A,B中点为Mx,y,则x=,y=1-,消去a,得x+y=
1.∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠
1.4.已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________.答案 x=解析 设动点Px,y,则=,化简整理得x=.5.M为直线l2x-y+3=0上的一动点,A42为一定点,又点P在直线AM上运动,且=3,求动点P的轨迹方程.解 设点M,P的坐标分别为Mx0,y0,Px,y,由题设及向量共线条件可得所以因为点Mx0,y0在直线2x-y+3=0上,所以2×-+3=0,即8x-4y+3=0,从而点P的轨迹方程为8x-4y+3=
0.求解轨迹方程常用方法1直接法直接根据题目中给定的条件求解方程.2定义法依据有关曲线的性质建立等量关系,从而确定其轨迹方程.3代入法有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点称之为相关点而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.4待定系数法根据条件能知道曲线的类型,可先根据曲线方程的一般形式设出方程,再根据条件确定待定的系数.
一、填空题1.点P4,-2与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是________.答案 x-22+y+12=1解析 设中点的坐标为x,y,则相应圆x2+y2=4上的点的坐标为2x-42y+2,所以2x-42+2y+22=4,即x-22+y+12=
1.2.已知0≤α2π,点Pcosα,sinα在曲线x-22+y2=3上,则α的值为________.答案 或解析 由cosα-22+sin2α=3,得cosα=.又因为0≤α2π,所以α=或α=.3.已知直线l y=x+b与曲线C y=有两个公共点,则b的取值范围为________.答案 [1,解析 在同一直角坐标系内作出y=x+b与y=的图象,如图所示,可得b的范围为1≤b.4.直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点,则m2的值为________.答案 解析 因为直线与椭圆只有一个交点,由消去y得1+4m2x2+8mx+3=0,所以由Δ=8m2-121+4m2=16m2-12=0,解得m2=.5.已知定点A01,直线l1y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________.答案 x2=4y解析 设动点Cx,y,根据题意可知,点C到点A的距离与到直线l1y=-1的距离相等,所以=|y+1|,两边平方整理得x2=4y.6.已知点A-10,B10,且·=0,则动点M的轨迹方程是________.答案 x2+y2=1解析 设动点Mx,y,则=-1-x,-y,=1-x,-y.由·=0,得-1-x1-x+-y·-y=0即x2+y2=
1.7.已知点F10,直线l x=-1,P为平面上的一动点,过点P作l的垂线,垂足为Q,且·=·.则动点P的轨迹C的方程是________.答案 y2=4x解析 设点Px,y,则Q-1,y.由·=·,得x+10·2,-y=x-1,y·-2,y,所以2x+1=-2x-1+y2,化简得y2=4x.8.已知两点A,0,B-,0,点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为________.答案 y2-x2=2解析 设动点P的坐标为x,y,则点Q的坐标为0,y,=-x0,=-x,-y,=--x,-y,·=x2-2+y
2.由·=22,得x2-2+y2=2x2,所以所求动点P的轨迹方程为y2-x2=
2.9.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a=________.答案 解析 由消去y得方程ax2-x+1=
0.令Δ=1-4a=0,得a=.10.已知椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F
2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P,且PF2⊥x轴,则此椭圆的离心率e为________.答案 解析 由题意得PF2=,PF1=,由椭圆定义得=2a3b2=3a2-3c2=2a2,则此椭圆的离心率e为.11.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是________.答案 45°或135°解析 由y2=6x得焦点坐标为,设直线方程y=k,由得k2x2-6+3k2x+k2=0,设直线与抛物线的交点为Ax1,y1,Bx2,y2,∴x1+x2=,∵弦长为12,∴+3=12,∴k=±1,∴直线的倾斜角为45°或135°.
二、解答题12.在平面直角坐标系中,已知点F02,一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.解 设点Mx,y是所求曲线上任意一点,因为曲线在x轴的上方,所以y
0.过点M作MB⊥x轴,垂足是点B,则MF-MB=2,即-y=2,整理得x2+y-22=y+22,化简得y=x2,所以所求曲线的方程是y=x2x≠0.13.已知线段AB,B点的坐标为60,A点在曲线y=x2+3上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.解 设线段AB的中点M的坐标为x,y,点Ax1,y1,则得由题知点Ax1,y1在曲线y=x2+3上,所以2y=2x-62+3,所以线段AB的中点M的轨迹方程为y=2x-32+.
三、探究与拓展14.过点P01的直线与曲线|x|-1=相交于A,B两点,则线段AB长度的取值范围是____________.答案 [2,4]解析 曲线|x|-1=可化为x≥1,x-12+y-12=1,或x-1,x+12+y-12=1,图象如图所示,线段AB长度的取值范围是[2,4].15.已知直角坐标平面上点Q20和圆O x2+y2=1,M为直角坐标平面内一动点,过点M作圆O的切线,切点为N,若MN和MQ的比值等于常数λλ0,求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解 连结ON,OM,则ON⊥MN,设Mx,y.∵圆的半径是1,∴MN2=OM2-ON2=OM2-
1.由题意,=λλ>0,∴MN=λMQ,即=λ,整理得λ2-1x2+y2-4λ2x+1+4λ2=
0.∵λ0,∴当λ=1时,方程化为x=,该方程表示一条直线;当λ≠1时,方程化为2+y2=,该方程表示以为圆心,以为半径的圆.。