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第2章圆锥曲线与方程1 圆锥曲线定义的妙用
1.求动点轨迹例1 一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________.解析 x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为x－32＋y2＝4，是圆心为A30，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则⇒PA－PO＝1AO＝3，符合双曲线的定义.结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.答案 双曲线的一支
2.解三角形例2 已知椭圆＋＝1ab0的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝
3.答案
33.求离心率例3 如图，F1，F2是椭圆C1＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1，双曲线C2在第
二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离心率是________.解析 由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝
2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF＋AF＝F1F＝12，所以2AF1·AF2＝AF1＋AF22－AF＋AF＝16－12＝4，所以AF2－AF12＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，所以AF2－AF1＝
2.因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.答案 例4 已知双曲线－＝1a0，b0的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是________.解析 由双曲线的定义有PF1－PF2＝2a.又∵PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.∵点P在双曲线的右支上，∴PF2≥c－a，∴≥c－a，∴e＝≤，又e1，∴离心率e的取值范围是.答案
4.求最值例5 线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________.解析 由于PA＋PB＝64＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案 例6 已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M42，求PM＋PF的最小值.解 设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′－
20.由双曲线的定义知，PF′－PF＝2a＝2，所以PF＝PF′－2，所以PM＋PF＝PM＋PF′－2，要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值，由图可知，当P，F′，M三点共线时，PM＋PF′最小，此时MF′＝2，故PM＋PF的最小值为2－
2.2 圆锥曲线的离心率问题求与离心率有关的问题的三大模板模板一利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2＝b2＋c2；双曲线的三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2＋b2＝c2，知二求一，可求得离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解.模板二通过构造整体求解，将提供的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a，b，c的方程或不等式，利用a，b，c的关系和e＝构造为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.模板三利用数形结合求解，利用椭圆、双曲线的性质特征与图形的直观性，发现图形中的相关几何关系，建立关于基本量a，b，c的等量关系或不等量关系，求解离心率的值或范围.例1 双曲线－＝1a0，b0的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________.解析 双曲线－＝1a0，b0的焦点坐标c0到相应准线x＝的距离等于实轴长2a，可得c－＝2a，即c2－2ac－a2＝0，解得c＝1＋a或c＝1－a舍去，即离心率e＝＝1＋.答案 1＋例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C＋＝1ab0的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________.解析 由题意得，Aa0，B10，－b，B20，b，Fc0，所以＝c，－b，＝－a，－b，因为B2F⊥AB1，所以·＝0，即b2＝ac，所以c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，又椭圆的离心率e∈01，所以e＝.答案 例3 已知双曲线E－＝1a＞0，b＞
0.若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2AB＝3BC，则双曲线E的离心率是________.解析 假设点A在第一象限，点B在第四象限，则A，B，所以AB＝，BC＝2c.由2AB＝3BC，c2＝a2＋b2，得离心率e＝2或e＝－舍去，所以双曲线E的离心率为
2.答案 2 3巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用.当直线和椭圆相交时要切记Δ0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分.例 已知椭圆方程为＋＝1ab0，过点A－a0，B0，b的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.1求椭圆的方程；2斜率大于零的直线过D－10与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；3对于D－10，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且DP＝DQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.思路点拨 解 1由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝
1.2设EF x＝my－1m0，代入＋y2＝1，得m2＋3y2－2my－2＝
0.设Ex1，y1，Fx2，y
2.由＝2，得y1＝－2y2，由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝，得2＝，∴m＝1，m＝－1舍去，直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝
0.3记Px1′，y1′，Qx2′，y2′.将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得3k2＋1x2＋12kx＋9＝0，*x1′，x2′是此方程的两个相异实根.Δ＝36k2－360，即k21，设PQ的中点为M，则xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝.由DP＝DQ，得DM⊥PQ，∴kDM＝＝＝－，∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.但k＝1，k＝均不能使方程*有两相异实根，∴满足条件的k不存在.4 解析几何中的定点、定值与最值问题
1.定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.2特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.例1 如图，椭圆C＋＝1ab0的顶点A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1＝4，直线y＝x＋与圆O x2＋y2＝b2相切.1求椭圆C的离心率；2若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？如果有，求出其定点，如果没有，说明理由.解 1因为直线y＝x＋与圆O相切，所以＝b，即b＝1，又因为S四边形A1B2A2B1＝4，所以×2a×2b＝4，所以a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，所以离心率e＝＝.2由1可知A1－20，B10，－1，B201，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为y＝kx＋1，由消去y，得1＋4k2x2＋8kx＝0，其中xB2＝0，所以xP＝－，所以P，则直线A1P的斜率kA1P＝＝－，直线A1P的方程为y＝－x＋2，令x＝0，则y＝－，即F，因为直线A1B1的方程为x＋2y＋2＝0，由解得所以E，所以EF的斜率k0＝＝－，所以直线EF的方程为y＝－x－，所以2kx＋y＋1－y－1＝0，所以可求定点为－21，即直线EF过定点－
21.
2.定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.例2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1a＞b＞0的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.1求该椭圆的标准方程；2过点D，－作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证直线AP，AQ的斜率之和为定值.1解 由题意可知，椭圆＋＝1a＞b＞0，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，则椭圆的标准方程为＋y2＝
1.2证明 设Px1，y1，Qx2，y2，A，0，由题意得PQ的方程为y＝kx－－，则整理得2k2＋1x2－4k2＋4kx＋4k2＋8k＋2＝0，由根与系数的关系可知，x1＋x2＝，x1x2＝，则y1＋y2＝kx1＋x2－2k－2＝，则kAP＋kAQ＝＋＝，由y1x2＋y2x1＝[kx1－－]x2＋[kx2－－]x1＝2kx1x2－k＋x1＋x2＝－，kAP＋kAQ＝＝＝1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值
1.
3.最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题即根据条件列出所求的目标函数，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例3 已知椭圆C＋＝1ab0的离心率为，且点在椭圆C上.1求椭圆C的标准方程；2若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值.解 1由已知得＝，＋＝1，解得a2＝4，b2＝1，椭圆C的标准方程是＋y2＝
1.2设l与x轴的交点为Dn0，直线l x＝my＋n，Px1，y1，Qx2，y2，联立消去x，得4＋m2y2＋2mny＋n2－4＝0，y12＝，∴＝－，y1y2＝，∴＝＝，即H，由OH＝1，得n2＝，则S△POQ＝OD|y1－y2|＝|n||y1－y2|，令n2y1－y22＝n2[y1＋y22－4y1y2]＝12·16·.设t＝4＋m2t≥4，则＝＝≤，当且仅当t＝，即t＝12时，S△POQ＝1，所以△POQ面积的最大值为
1. 5 圆锥曲线中的存在探索型问题探索型问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素点、直线、曲线或参数存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素点、直线、曲线或参数存在；否则，元素点、直线、曲线或参数不存在.反证法与验证法也是求解探索型问题常用的方法.题型一 给出结论，探索条件例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点点P在x轴上方.1若QF＝2FP，求直线l的方程；2设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k
2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 1因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为10，设Px1，y1，Qx2，y2，直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，得4＋3m2y2＋6my－9＝0，则y1＝，y2＝.若QF＝2PF，则＋2×＝0，解得m＝，故直线l的方程为x－2y－＝
0.2由1知，y1＋y2＝，y1y2＝，所以my1y2＝＝y1＋y2，所以＝·＝＝＝，故存在常数λ＝，使得k1＝k
2.题型二 特殊入手，论证一般例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C＋＝1a＞b＞0内一点A01的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为
2.1求椭圆C的方程；2是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足＝？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由.解 1当l垂直于x轴时，2b＝2，从而b＝.当l平行于x轴时，点，1在椭圆C上，所以＋＝1，解得a＝
2.所以椭圆C的方程为＋＝
1.2设存在与点A不同的定点B满足＝.当l平行于x轴时，AM＝AN，所以BM＝BN，从而点B在y轴上，设B0，t；当l垂直于x轴时，不妨设M0，，N0，－.由＝，可得＝，解得t＝1舍去或t＝2，即B
02.下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足＝.设直线l的方程为y＝kx＋1，Mx1，y1，Nx2，y
2.联立消去y，得1＋2k2x2＋4kx－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为＝＝，＝＝＝，要证＝，只要证＝，只要证x[1＋k2x－2kx2＋1]＝x[1＋k2x－2kx1＋1]，即证2kxx2－2kxx1＋x－x＝0，即证x1－x2[2kx1x2－x1＋x2]＝
0.因为2kx1x2－x1＋x2＝2k·－＝0，所以＝.所以存在与点A不同的定点B02，使得对任意过点A的动直线l都满足＝.题型三 同时探索条件和结论，分类讨论例3 如图，椭圆E＋＝1a＞b＞0的离心率是，点P01在短轴CD上，且·＝－
1.1求椭圆E的方程；2设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解 1由已知，得点C，D的坐标分别为0，－b，0，b，又点P的坐标为01，且·＝－1，由解得a＝2，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝
1.2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为x1，y1，x2，y2，联立消去y，得2k2＋1x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝4k2＋82k2＋1＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，从而·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋y1－1y2－1]＝1＋λ1＋k2x1x2＋kx1＋x2＋1＝＝－－λ－
2.所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3，此时·＋λ·＝－3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－
3.故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－
3. 6 圆锥曲线中的易错点剖析
1.忽视定义中的条件而致误例1 平面内一点M到两定点F10，－4，F204的距离之和为8，则点M的轨迹为________.错解 根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆.正解 因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F
2.答案 线段
2.忽视标准方程的特征而致误例2 设抛物线y＝mx2m≠0的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程.错解 抛物线y＝mx2m≠0的准线方程为y＝－.又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝
4.故－＝－2或－＝
4.所以m＝8或m＝－
16.所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x
2.正解 方程y＝mx2m≠0可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
3.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例3 抛物线的焦点F在x轴上，点Am，－3在抛物线上，且AF＝5，求抛物线的标准方程.错解一 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点Am，－3在抛物线上，所以抛物线方程可设为y2＝2pxp
0.设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，所以解得或所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.错解二 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点Am，－3在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2pxp
0.设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，所以解得或所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.当m0时，点A在第三象限，抛物线方程可设为y2＝－2pxp0，设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，所以解得或舍去.所以抛物线方程为y2＝－25＋x.综上所述，抛物线方程为y2＝－25＋x或y2＝2x或y2＝18x.正解 因为抛物线的焦点F在x轴上，且点Am，－3在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2pxp0，设点A到准线的距离为d，则d＝AF＝＋m，所以解得或所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.当m0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2pxp0，设A到准线的距离为d，则d＝AF＝－m，所以解得或所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.7 圆锥曲线中的数学思想方法
1.方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决.在本章中，方程思想的应用最为广泛.例1 已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1ab0相交于A，B两点，且a＝2b，若AB＝2，求椭圆的方程.解 由消去y并整理，得x2－4x＋8－2b2＝
0.设Ax1，y1，Bx2，y2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b
2.∵AB＝2，∴·＝2，即·＝2，解得b2＝4，故a2＝4b2＝
16.∴所求椭圆的方程为＋＝
1.
2.函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.例2 若点x，y在＋＝1b0上运动，求x2＋2y的最大值.解 ∵＋＝1b0，∴x2＝4≥0，即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.当≤b，即0b≤4时，若y＝，则x2＋2y取得最大值，其最大值为4＋；当b，即b4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.综上所述，x2＋2y的最大值为
3.分类讨论思想在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论.例3 求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程.解 由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λλ≠0，即－＝1λ≠
0.当λ0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为－＝
1.当λ0时，c2＝－4λ＋－λ＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为－＝
1.综上所述，所求双曲线的方程为－＝1或－＝
1.错因分析 在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1＋MF2F1F2，即2a2c.而在本题中MF1＋MF2＝F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F
2.错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.。
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