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文本内容:
2.
2.2 向量的减法学习目标
1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一 相反向量思考 实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫做什么?答案 相反向量.梳理 1定义如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量.2性质
①对于相反向量有a+-a=
0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=
0.
③零向量的相反向量仍是零向量.知识点二 向量的减法思考 根据向量的加法,如何求作a-b答案 先作出-b,再按三角形或平行四边形法则作出a+-b.梳理 1向量减法的定义若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.2向量的减法法则以O为起点,作向量=a,=b,则=a-b,即当向量a,b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b.1.相反向量就是方向相反的向量. × 提示 相反向量的方向相反,大小相等;方向相反的向量只是方向相反,大小没有关系.2.向量与是相反向量. √ 提示 与大小相等、方向相反.3.-=,--a=a. √ 提示 根据相反向量的定义可知其正确.4.两个相等向量之差等于
0. × 提示 两个相等向量之差等于
0.类型一 向量减法的几何作图例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.解 方法一 如图
①,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.方法二 如图
②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连结OC,则=a+b-c.引申探究若本例条件不变,则a-b-c如何作?解 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.再作=c,则=a-b-c.反思与感悟 求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同起点,直接连结两个向量的终点,并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若两个向量的起点不重合,先通过平移使它们的起点重合时,再作出差向量.跟踪训练1 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.解 如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则a-b=,c-d=.类型二 向量减法法则的应用例2 化简下列式子1---;2---.解 1原式=+-=+=-=
0.2原式=--+=-+-=+=
0.反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点字母为终点.跟踪训练2 化简1---;2++---.解 1---=-=.2++---=+-++=+-+=-+=++=+=
0.类型三 向量减法几何意义的应用例3 已知||=6,||=9,求|-|的取值范围.解 ∵|||-|||≤|-|≤||+||,且||=9,||=6,∴3≤|-|≤
15.当与同向时,|-|=3;当与反向时,|-|=
15.∴|-|的取值范围为[3,15].反思与感悟 1如图所示,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b.2在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相反且|a|≥|b|时,|a|-|b|=|a+b|;当a与b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.3在公式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中,当a与b方向相同,且|a|≥|b|时,|a|-|b|=|a-b|;当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|.跟踪训练3 在四边形ABCD中,设=a,=b,且=a+b,|a+b|=|a-b|,则四边形ABCD的形状一定是________.答案 矩形解析 ∵=a+b,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵=a-b,|a+b|=|a-b|,∴||=||.∴四边形ABCD为矩形.
1.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量和分别是________________.答案 a+b和b-a解析 由向量的加法、减法法则,得=+=a+b,=-=b-a.2.化简-++的结果为________.答案 3.若向量a与b满足|a|=5,|b|=12,则|a+b|的最小值为________,|a-b|的最大值为________.答案 7 174.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________.答案 2解析 ====
2.5.已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,则|a-b|=________.答案 10解析 设=a,=b,以AB,AD为邻边作▱ABCD如图所示,则=a+b,=a-b,因为|a+b|=|a-b|,所以||=||.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是矩形,所以AD⊥AB,在Rt△DAB中,||=6,||=8,由勾股定理得||===10,所以|a-b|=|a+b|=
10.
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+-b.2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连结两向量的终点,箭头指向被减向量”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.3.以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量为=a+b,=b-a,=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并掌握.
一、填空题1.化简-+所得的结果是________.答案 0解析 -+=+=
0.2.已知一点O到▱ABCD的3个顶点A,B,C的向量分别是a,b,c,则向量=________.用a,b,c表示答案 a-b+c解析 如图所示,=+=+=+-=-+=a-b+c.3.设平面内有四边形ABCD和O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是________.答案 平行四边形解析 由+=+,即-=-,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.4.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则++=________.答案 0解析 ++=++=++=
0.5.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为________.答案 解析 如图,作菱形ABCD,则|-|=|-|=||=.6.已知向量a的终点与向量b的起点重合,向量c的起点与向量b的终点重合,则下列结论正确的为________.
①以a的起点为终点,c的起点为起点的向量为-a+b;
②以a的起点为终点,c的终点为起点的向量为-a-b-c;
③以b的起点为终点,c的终点为起点的向量为-b-c.答案
①②③解析 根据题意画出图形如图所示,可知以a的起点为终点,c的起点为起点的向量为-a+b,
①正确;以a的起点为终点,c的终点为起点的向量为-a+b+c=-a-b-c,
②正确;以b的起点为终点,c的终点为起点的向量为-b+c=-b-c,
③正确.7.如图,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=____________.用a,b,c表示答案 a-b+c8.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=________.答案 13解析 ∵||=12,||=5,∠AOB=90°,∴||2+||2=||2,∴||=
13.∵=a,=b,∴a-b=-=,∴|a-b|=||=
13.9.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++=________.答案
10.如图所示,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有________.填序号
①;
②;
③;
④;
⑤+;
⑥-;
⑦+.答案
①解析 ∵-+=+=,+=+=≠,-=≠,+=≠,∴填
①.
二、解答题
11.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|+|=|-|,求||.解 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法的几何意义可知,=+,=-,∵|+|=|-|,∴||=||,又∵||=4,M是线段BC的中点,∴||=||=||=
2.
12.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,试求|a-b+c|.解 作=,连结CF,则+=,而=-=a-=a-b,∴a-b+c=+=且||=
2.∴|a-b+c|=
2.13.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,求|a+b|的值.解 在平面内任取一点A,作=a,=b,则=a+b,=a-b.由题意知,||=||=2,||=
1.如图所示,过点B作BE⊥AD于点E,过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于点F.∵AB=BD=2,∴AE=ED=AD=.在△ABE中,cos∠EAB==.在△CBF中,∠CBF=∠EAB,∴cos∠CBF=,∴BF=BCcos∠CBF=1×=,∴CF=.∴AF=AB+BF=2+=.在Rt△AFC中,AC===,∴|a+b|=.
三、探究与拓展14.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=b,=c,则=________.答案 b-c解析 ==-=b-c.
15.如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示以下向量1;2;3++.解 1=-=c-a.2=+=-+=d-a.3++=+++++=
0.。