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文本内容:
第2课时 二倍角的三角函数的应用学习目标
1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.
2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.
3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换.知识点 降幂公式思考 如何用cosα表示sin2,cos2?答案 ∵cosα=2cos2-1=1-2sin2,∴sin2=,cos2=.梳理 降幂公式1sin2=.2cos2=.3tan2=.类型一 化简求值例1 1化简cos2θ+15°+cos2θ-15°-cos2θ;2已知π<α<,化简+.解 1cos2θ+15°+cos2θ-15°-cos2θ=+-cos2θ=1+[cos2θ+30°+cos2θ-30°]-cos2θ=1+cos2θcos30°-sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°-cos2θ=1+×2cos2θcos30°-cos2θ=1+cos2θ-cos2θ=
1.2∵π<α<,∴<<,原式=+=-+=-cos.跟踪训练1 1化简sin2θ+15°+sin2θ-15°+cos2θ;2求证tan2x+=.1解 原式=++cos2θ=1-[cos2θ+30°+cos2θ-30°]+cos2θ=1-2cos2θcos30°+cos2θ=1-cos2θ+cos2θ=
1.2证明 ∵左边=+=======右边,∴等式成立.类型二 与三角函数性质有关的问题例2 已知函数fx=sin+2sin2x∈R.1求函数fx的最小正周期;2求使函数fx取得最大值的x的集合.解 1∵fx=sin+2sin2=sin+1-cos=2+1=2sin+1=2sin+1,∴T==π.2当fx取得最大值时,sin=1,有2x-=2kπ+k∈Z,即x=kπ+k∈Z,∴所求x的集合为.反思与感悟 1为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型余弦型函数,这是解决问题的前提.2充分运用两角和差、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数,为讨论函数性质提供了保障.跟踪训练2 已知函数fx=sin2x-sin2,x∈R.1求fx的最小正周期;2求fx在区间上的最大值和最小值.解 1由已知,得fx=-=-cos2x=sin2x-cos2x==sin.所以fx的最小正周期T==π.2因为fx在区间上是单调减函数,在区间上是单调增函数,f=-,f=-,f=.所以fx在区间上的最大值为,最小值为-.类型三 三角函数在实际问题中的应用例3 点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP面积最大?解 如图所示,∵AB为直径,∴∠APB=90°,AB=1,PA=cosα,PB=sinα.又PT切圆于P点,∠TPB=∠PAB=α,作BC⊥PT于点C.∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·BC=PA·PB+PT·PB·sinα=sinαcosα+sin2α=sin2α+1-cos2α=sin2α-cos2α+=sin+.∵0α,∴-2α-,∴当2α-=,即α=时,S四边形ABTP最大.反思与感悟 利用三角函数知识解决实际问题,关键是目标函数的构建,自变量常常选取一个恰当的角度,要注意结合实际问题确定自变量的范围.跟踪训练3 如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.解 在直角三角形OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在直角三角形OAD中,=tan=.∴OA=DA=BC=sinα,∴AB=OB-OA=cosα-sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=sinα=sinαcosα-sin2α=sin2α-1-cos2α=sin2α+cos2α-=-=sin-.∵0α,∴2α+,∴当2α+=,即α=时,Smax=-=.∴当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.1.已知tan=3,则cosθ=________.答案 -解析 cosθ====-.2.若cosα=,且α∈0,π,则sin的值为________.答案 解析 ∵α∈0,π,∴∈,∴sin===.3.函数y=1+4cos2x的单调增区间是______________.答案 k∈Z解析 y=1+4cos2x=2cos2x+3,由-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤kπ,k∈Z,∴该函数单调增区间为k∈Z.4.若=,则tan2α=________.答案 -解析 ∵===,∴tanα=2,∴tan2α===-.5.函数fx=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是________.答案 解析 fx=+sin2x=sin+,∵x∈,∴2x-∈,∵sin∈,∴fxmax=1+=.1.二倍角余弦公式的变形可用来降幂,应灵活掌握sin2α=,cos2α=.2.解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用.3.对于三角函数在实际问题中的应用,其求解策略为引入恰当的辅助角,建立有关辅助角的三角函数表达式,并利用和、差、倍角公式进行化简整理,由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量,故求解时多注意分析题设,恰当引入.
一、填空题
1.=________.答案 2解析 ===
2.2.若cos2θ=,则sin4θ+cos4θ=________.答案 解析 sin4θ+cos4θ=sin2θ+cos2θ2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=1-1-cos22θ=1-×=.3.设sin=,则sin2θ=________.答案 -解析 sin2θ=-cos=2sin2-1=2×-1=-.4.已知tan=,则=________.答案 解析 ===tan=.5.求值-=________.答案 4解析 原式====
4.6.若α为第三象限角,则-=______.答案 0解析 ∵α为第三象限角,∴cosα<0,sinα<0,∴-=-=-=
0.7.已知5π<θ<6π,cos=a,则sin=________.答案 -解析 ∵θ∈5π,6π,∴∈.又sin2=,cos=a,∴sin=-=-.8.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为________.答案 解析 因为coscos==cos2θ-sin2θ=cos2θ=,所以cos2θ=.故sin4θ+cos4θ=2+2=+=.9.化简cos2-sin2=________.答案 cosx解析 原式=-====cosx.10.已知α为锐角,且sinα=,则tan=________________.答案 -7解析 因为α为锐角,且sinα=,所以cosα=,所以tanα=2,所以tan2α===-,故tan===-
7.
二、解答题11.已知α为第三象限角,且cos0,tanα=3,求tan的值.解 ∵tanα=3,∴=3,即3tan2+2tan-3=0,∴tan=-+或tan=--.∵cos0,α为第三象限角,∴为第四象限角,∴tan0,∴tan=--.12.已知函数fx=2cosxsinx+2cos2x.1求f的值;2当x∈时,求函数fx的值域.解 1因为fx=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin+1,所以f=2sin+1=2sin+1=2sin+1=2sin+1=
2.2由1得fx=2sin+1,因为x∈,所以2x+∈,所以-≤sin≤1,所以0≤2sin+1≤3,即fx的值域是
[03].13.已知函数fx=cos·cos,gx=sin2x-.1求函数fx的最小正周期;2求函数hx=fx-gx的最大值,并求使hx取得最大值时x的集合.解 1∵fx=·=cos2x-sin2x=-=cos2x-,∴fx的最小正周期为T==π.2hx=fx-gx=cos2x-sin2x=cos,当2x+=2kπk∈Z时,hx有最大值.此时x的取值集合为.。