2018-2019高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理学案苏教版选修2-1

3.

1.2　共面向量定理学习目标　

1.了解共面向量等概念.

2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一　共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．知识点二　共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组x，y，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．知识点三　空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x，y，z使得＝x＋y＋z，且x，y，z满足x＋y＋z＝1，则A，B，C，D四点共面．1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．×2．空间中任意三个向量一定是共面向量．×3．若P，M，A，B共面，则＝x＋y.×类型一　向量共面的判定例1　给出以下命题

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；

②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB，BC，CD，DA分别确定的四个向量之和为零向量；

③若存在有序实数组x，y使得＝x＋y，则O，P，A，B四点共面；

④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；

⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．答案　

③解析　

①错，空间中任意两个向量都是共面的；

②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向；

③正确，因为，，共面，∴O，P，A，B四点共面；

④错，没有强调零向量；

⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟　共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练1　下列说法正确的是________．填序号

①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；

②设平行六面体的三条棱是，，，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋；

③若＝P＋成立，则P点一定是线段AB的中点；

④在空间中，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共面；

⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．答案　

④类型二　向量共面的证明例2　如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．考点　空间向量的数乘运算题点　空间共面向量定理及应用解　连结BG.因为＝－，＝，所以＝－，因为＝＋，所以＝＋－＝－＋＋.因为＝，所以＝，所以＝－＋＋＝－＋＋.又因为＝－，所以＝－＋＋，因为＝m，所以＝m＝－＋＋，因为＝－＋＝－＋，所以＝＋＋.又因为G，B，P，D四点共面，所以1－＝0，m＝.即m的值是.反思与感悟　利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明向量，，是共面向量．证明　＝＋＋＝－＋＝＋－＝－.又，不共线，由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．类型三　共面向量定理的应用例3　如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证AB1∥平面C1BD.证明　记＝a，＝b，＝c，则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c，所以＋＝a＋c＝，又与不共线，所以，，共面．又由于AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.反思与感悟　在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练3　如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M，N，使＝k，＝k0≤k≤1．求证MN∥平面ABB1A

1.证明　＝k·＝k＋＝kb＋kc，又∵＝＋＝a＋k＝a＋kb－a＝1－ka＋kb，∴＝－＝1－ka＋kb－kb－kc＝1－ka－kc.又a与c不共线．∴与向量a，c是共面向量．又MN⊄平面ABB1A1，∴MN∥平面ABB1A

1.1．给出下列几个命题

①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；

②零向量的方向是任意的；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________．答案　1解析　

①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；

②真命题．这是关于零向量的方向的规定；

③假命题．当b＝0时，则有无数多个λ使之成立．2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为________．答案　解析　由题意知，x＋＋＝1，所以x＝.3．下列命题中，正确命题的个数为________．

①若a∥b，则a与b方向相同或相反；

②若＝，则A，B，C，D四点共线；

③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μbλ，μ∈R．答案　0解析　当a，b中有零向量时，

①不正确；＝时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故

②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μbλ，μ∈R，故

③不正确．4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.答案　解析　∵P与A，B，C共面．∴＝α＋β，∴＝α－＋β－，即＝＋α－α＋β－β＝1－α－β＋α＋β，∴1－α－β＋α＋β＝

1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.共面向量定理的应用1空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．2空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x，y使得＝x＋y，

①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，，实质就是平面MAB内平面向量的一组基底．另外有＝＋x＋y，

②或＝x＋y＋zx＋y＋z＝1，

③①②③均可作为证明四点共面的条件，但是

①更为常用．

一、填空题1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________.答案　0　0解析　∵a，b是两个不共线的向量，∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝

0.2．下列结论中，正确的是________．填序号

①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；

②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；

③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.答案　

②③解析　要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第

②个命题正确；但定理的应用又有一个前提b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故

①不正确；

③正确．3．空间的任意三个向量a，b3a－2b，它们一定是________．答案　共面向量解析　如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b3a－2b共面；若a，b共线，则a，b3a－2b共线，当然也共面．

4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.答案　解析　＝－＝＋－＋＝＋－－＝－＋.∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.5．i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．答案　1解析　若A，B，C，D四点共面，则向量，，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得a＋b＋c＝

0.即ai－2j＋2k＋b2i＋j－3k＋cλi＋3j－5k＝0，∴a＋2b＋λci＋－2a＋b＋3cj＋2a－3b－5ck＝

0.∵i，j，k不共面，∴∴

6.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝________.用a，b，c表示答案　－a＋b＋c解析　＝＋＋＝＋－＋＝a＋b－a＋－＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.7．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝________.答案　解析　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.8．已知a＝－213，b＝3，－42，c＝7，λ，5，若a，b，c共面，则实数λ的值为________．答案　－解析　易得c＝ta＋μb＝－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ，所以解得故λ的值为－.9．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有＝2＋＋λ，则λ＝________.答案　－解析　因为P，A，B，C四点共面，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－.10．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.答案　解析　∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m2i－j＋3k＋n－i＋4j－2k．∴∴λ＝.11．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．

①已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

③若a与b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z其中x，y，z∈R，则P，A，B，C四点共面．答案　3解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，

①正确；若a，b同向共线，则|a|－|b||a＋b|，故

②不正确；由向量平行知

③不正确；由空间向量共面知

④不正确．故共有3个命题不正确．

二、解答题

12.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证向量，，共面．证明　因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证A，B，C，D共面．证明　方法一　令λe1＋e2＋μ2e1＋8e2＋v3e1－3e2＝0，则λ＋2μ＋3ve1＋λ＋8μ－3ve2＝

0.因为e1，e2不共线，所以则是其中一组解，则－5＋＋＝0，所以A，B，C，D共面．方法二　观察可得＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5e1＋5e2＝5e1＋e2＝5，所以＝＋.由共面向量知，，，共面．又它们有公共点A，所以A，B，C，D四点共面．

三、探究与拓展14．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝GB，过E，F，G三点的平面与对角线AC1交于点P，则AP∶PC1＝________.答案　解析　设＝m，因为＝＋＋＝＋＋＝3＋＋2，所以＝3m＋m＋2m，又因为E、F、G、P四点共面，所以3m＋m＋2m＝1，所以m＝，所以AP∶PC1＝3∶

16.

15.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证，，是共面向量．证明　设＝a，＝b，＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴＝c－a，又O是B1D1的中点，∴＝a＋b，∴＝－a＋b，＝－＝b－a＋b＝b－a．∵D1D綊C1C，∴＝c，∴＝＋＝b－a＋c.若存在实数x，y，使＝x＋yx，y∈R成立，则c－a＝x＋y＝－x＋ya＋x－yb＋xc.∵a，b，c不共线，∴得∴＝＋，又与不共线，∴，，是共面向量．。