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文本内容:
3.
1.2 共面向量定理学习目标
1.了解共面向量等概念.
2.理解空间向量共面的充要条件.知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.知识点二 共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组x,y,使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点,对于空间任一点O,存在实数x,y,z使得=x+y+z,且x,y,z满足x+y+z=1,则A,B,C,D四点共面.1.实数与向量之间可进行加法、减法运算.×2.空间中任意三个向量一定是共面向量.×3.若P,M,A,B共面,则=x+y.×类型一 向量共面的判定例1 给出以下命题
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面;
②已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量;
③若存在有序实数组x,y使得=x+y,则O,P,A,B四点共面;
④若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面;
⑤若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量共面.其中正确命题的序号是________.答案
③解析
①错,空间中任意两个向量都是共面的;
②错,因为四条线段确定的向量没有强调方向;
③正确,因为,,共面,∴O,P,A,B四点共面;
④错,没有强调零向量;
⑤错,例如三棱柱的三条侧棱表示的向量.反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内,但可以平移到同一个平面内.判定向量共面的主要依据是共面向量定理.跟踪训练1 下列说法正确的是________.填序号
①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体;
②设平行六面体的三条棱是,,,则这一平行六面体的对角线所对应的向量是++;
③若=P+成立,则P点一定是线段AB的中点;
④在空间中,若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共面;
⑤若a,b,c三向量共面,则由a,b所在直线所确定的平面与由b,c所在直线确定的平面是同一个平面.答案
④类型二 向量共面的证明例2 如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用解 连结BG.因为=-,=,所以=-,因为=+,所以=+-=-++.因为=,所以=,所以=-++=-++.又因为=-,所以=-++,因为=m,所以=m=-++,因为=-+=-+,所以=++.又因为G,B,P,D四点共面,所以1-=0,m=.即m的值是.反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题,关键是熟练的进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件,解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.跟踪训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1和A1D1的中点.证明向量,,是共面向量.证明 =++=-+=+-=-.又,不共线,由向量共面的充要条件知,,,是共面向量.类型三 共面向量定理的应用例3 如图,在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,求证AB1∥平面C1BD.证明 记=a,=b,=c,则=a+c,=-=a-b,=+=b+c,所以+=a+c=,又与不共线,所以,,共面.又由于AB1⊄平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化.要熟悉其证明过程和证明步骤.跟踪训练3 如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,设=a,=b,=c,在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M,N,使=k,=k0≤k≤1.求证MN∥平面ABB1A
1.证明 =k·=k+=kb+kc,又∵=+=a+k=a+kb-a=1-ka+kb,∴=-=1-ka+kb-kb-kc=1-ka-kc.又a与c不共线.∴与向量a,c是共面向量.又MN⊄平面ABB1A1,∴MN∥平面ABB1A
1.1.给出下列几个命题
①向量a,b,c共面,则它们所在的直线共面;
②零向量的方向是任意的;
③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.其中真命题的个数为________.答案 1解析
①假命题.三个向量共面时,它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行;
②真命题.这是关于零向量的方向的规定;
③假命题.当b=0时,则有无数多个λ使之成立.2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x++,则x的值为________.答案 解析 由题意知,x++=1,所以x=.3.下列命题中,正确命题的个数为________.
①若a∥b,则a与b方向相同或相反;
②若=,则A,B,C,D四点共线;
③若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μbλ,μ∈R.答案 0解析 当a,b中有零向量时,
①不正确;=时,A,B,C,D四点共面不一定共线,故
②不正确;由p,a,b共面的充要条件知,当p,a,b共面时才满足p=λa+μbλ,μ∈R,故
③不正确.4.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由向量=++λ确定的点P与A,B,C共面,那么λ=________.答案 解析 ∵P与A,B,C共面.∴=α+β,∴=α-+β-,即=+α-α+β-β=1-α-β+α+β,∴1-α-β+α+β=
1.因此++λ=1,解得λ=.共面向量定理的应用1空间中任意两个向量a,b总是共面向量,空间中三个向量a,b,c则不一定共面.2空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内,则存在有序实数对x,y使得=x+y,
①此为空间共面向量定理,其实质就是平面向量基本定理,,实质就是平面MAB内平面向量的一组基底.另外有=+x+y,
②或=x+y+zx+y+z=1,
③①②③均可作为证明四点共面的条件,但是
①更为常用.
一、填空题1.设a,b是两个不共线的向量,λ,μ∈R,若λa+μb=0,则λ=________,μ=________.答案 0 0解析 ∵a,b是两个不共线的向量,∴a≠0,b≠0,∴λ=μ=
0.2.下列结论中,正确的是________.填序号
①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=xb+yc;
②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=xb+yc;
③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=xb+yc.答案
②③解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件,所以第
②个命题正确;但定理的应用又有一个前提b,c是不共线向量,否则即使三个向量a,b,c共面,也不一定具有线性关系,故
①不正确;
③正确.3.空间的任意三个向量a,b3a-2b,它们一定是________.答案 共面向量解析 如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知,a,b3a-2b共面;若a,b共线,则a,b3a-2b共线,当然也共面.
4.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1,若=x+y+z,则x+y+z=________.答案 解析 =-=+-+=+--=-+.∴x=-1,y=1,z=.∴x+y+z=.5.i,j,k是三个不共面的向量,=i-2j+2k,=2i+j-3k,=λi+3j-5k,且A,B,C,D四点共面,则λ的值为________.答案 1解析 若A,B,C,D四点共面,则向量,,共面,故存在不全为零的实数a,b,c,使得a+b+c=
0.即ai-2j+2k+b2i+j-3k+cλi+3j-5k=0,∴a+2b+λci+-2a+b+3cj+2a-3b-5ck=
0.∵i,j,k不共面,∴∴
6.如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=________.用a,b,c表示答案 -a+b+c解析 =++=+-+=a+b-a+-=a+b-a+c-b=-a+b+c.7.平面α内有五点A,B,C,D,E,其中无三点共线,O为空间一点,满足=+x+y,=2x++y,则x+3y=________.答案 解析 由点A,B,C,D共面得x+y=,又由点B,C,D,E共面得2x+y=,联立方程组解得x=,y=,所以x+3y=.8.已知a=-213,b=3,-42,c=7,λ,5,若a,b,c共面,则实数λ的值为________.答案 -解析 易得c=ta+μb=-2t+3μ,t-4μ,3t+2μ,所以解得故λ的值为-.9.已知P,A,B,C四点共面且对于空间任一点O都有=2++λ,则λ=________.答案 -解析 因为P,A,B,C四点共面,所以=x+y+z,且x+y+z=1,所以2++λ=1,得λ=-.10.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=________.答案 解析 ∵a,b,c三向量共面,∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m2i-j+3k+n-i+4j-2k.∴∴λ=.11.在以下命题中,不正确的命题的个数为________.
①已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0;
②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
③若a与b共线,则a与b所在直线平行;
④对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z其中x,y,z∈R,则P,A,B,C四点共面.答案 3解析 +++=++=+=0,
①正确;若a,b同向共线,则|a|-|b||a+b|,故
②不正确;由向量平行知
③不正确;由空间向量共面知
④不正确.故共有3个命题不正确.
二、解答题
12.如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求证向量,,共面.证明 因为M在BD上,且BM=BD,所以==+.同理=+.所以=++=++=+=+.又与不共线,根据向量共面的充要条件可知,,共面.13.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证A,B,C,D共面.证明 方法一 令λe1+e2+μ2e1+8e2+v3e1-3e2=0,则λ+2μ+3ve1+λ+8μ-3ve2=
0.因为e1,e2不共线,所以则是其中一组解,则-5++=0,所以A,B,C,D共面.方法二 观察可得+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2=5e1+e2=5,所以=+.由共面向量知,,,共面.又它们有公共点A,所以A,B,C,D四点共面.
三、探究与拓展14.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AE=3EA1,AF=FD,AG=GB,过E,F,G三点的平面与对角线AC1交于点P,则AP∶PC1=________.答案 解析 设=m,因为=++=++=3++2,所以=3m+m+2m,又因为E、F、G、P四点共面,所以3m+m+2m=1,所以m=,所以AP∶PC1=3∶
16.
15.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证,,是共面向量.证明 设=a,=b,=c,∵四边形B1BCC1为平行四边形,∴=c-a,又O是B1D1的中点,∴=a+b,∴=-a+b,=-=b-a+b=b-a.∵D1D綊C1C,∴=c,∴=+=b-a+c.若存在实数x,y,使=x+yx,y∈R成立,则c-a=x+y=-x+ya+x-yb+xc.∵a,b,c不共线,∴得∴=+,又与不共线,∴,,是共面向量.。