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文本内容:
第2课时 一元二次不等式的应用学习目标
1.会解可化为一元二次不等式组的简单分式不等式.
2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.知识点一 分式不等式的解法思考 0与x-3x+20等价吗?将0变形为x-3x+20,有什么好处?答案 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.梳理 一般的分式不等式的同解变形法则10⇔fx·gx0;2≤0⇔3≥a⇔≥
0.知识点二 一元二次不等式恒成立问题思考 x-10在区间
[23]上恒成立的几何意义是什么?区间
[23]与不等式x-10的解集有什么关系?答案 x-10在区间
[23]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间
[23]上的图象恒在x轴上方.区间
[23]内的元素一定是不等式x-10的解,反之不一定成立,故区间
[23]是不等式x-10的解集的子集.梳理 一般地,“不等式fx0在区间[a,b]上恒成立”的几何意义是函数y=fx在区间[a,b]上的图象全部在x轴上方.区间[a,b]是不等式fx0的解集的子集.恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题,即k≥fx恒成立⇔k≥fxmax;k≤fx恒成立⇔k≤fxmin.1.由于0等价于x-5x+30,故y=与y=x-5x+3图象也相同.×2.x2+1≥2x等价于x2+1min≥2x.×3.对于ax2+3x+20,当a=1时与a=-1时,对应的不等式是两个独立的不等式,所以解集也是相互独立的,不能求并集.√类型一 分式不等式的解法例1 解下列不等式10; 2≤
1.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法解 10⇔2x-5x+40⇔-4x,∴原不等式的解集为.2∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,即≥
0.此不等式等价于x-4≥0且x-≠0,解得x或x≥4,∴原不等式的解集为.反思与感悟 分式不等式的解法先通过移项、通分整理成标准型00或≥0≤0,再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.跟踪训练1 解下列不等式.1≥0;
21.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法解 1原不等式可化为解得∴x-或x≥,∴原不等式的解集为.2方法一 原不等式可化为或解得或∴-3x-,∴原不等式的解集为.方法二 原不等式可化为0,化简得0,即0,∴2x+1x+30,解得-3x-.∴原不等式的解集为.类型二 不等式恒成立问题例2 设函数fx=mx2-mx-
1.1若对于一切实数x,fx0恒成立,求m的取值范围;2对于x∈
[13],fx-m+5恒成立,求m的取值范围.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立解 1要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10,满足题意;若m≠0,则即-4m
0.∴-4m≤
0.2方法一 要使fx-m+5在x∈
[13]上恒成立,就要使m2+m-60在x∈
[13]上恒成立.令gx=m2+m-6,x∈
[13].当m0时,gx在
[13]上是增函数,∴gxmax=g3=7m-60,∴0m;当m=0时,-60恒成立;当m0时,gx在
[13]上是减函数,∴gxmax=g1=m-60,得m6,∴m
0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈
[13]时,fx-m+5恒成立,即当x∈
[13]时,mx2-x+1-60恒成立.∵x2-x+1=2+0,又mx2-x+1-60,∴m.∵函数y==在
[13]上的最小值为,∴只需m即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例22改为对于任意m∈
[13],fx-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 fx-m+5,即mx2-mx-1-m+5,mx2-x+1-
60.设gm=mx2-x+1-
6.则gm是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>
0.∴gm在
[13]上为增函数,要使gm0在
[13]上恒成立,只需gmmax=g30,即3x2-x+1-60,x2-x-10,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-10的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种1考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大小值,从而建立参变量的不等式.2若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数如一次函数、二次函数,并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 -∞,-5]解析 构造函数fx=x2+mx+4,x∈
[12],则fx在
[12]上的最大值为f1或f2.由于当x∈12时,不等式x2+mx+40恒成立.则有即可得所以m≤-
5.类型三 含参数的一元二次不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2-a+1x+
10.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a0时,不等式可化为x-1>0,∵a0,∴1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式-x+10,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为x-
10.当0a1时,>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,1,不等式的解集为.综上,当a0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0a1时,解集为;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式x-ax-a
20.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a0或a>1时,有aa2,此时,不等式的解集为{x|axa2};当0a1时,有a2a,此时,不等式的解集为{x|a2xa};当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a0或a>1时,原不等式的解集为{x|axa2};当0a1时,原不等式的解集为{x|a2xa};当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是__________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 [-22]解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤
2.2.不等式≥0的解集为____________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 -∞,1]∪2,+∞解析 由题意可知,不等式等价于∴x2或x≤
1.3.当不等式x2+x+k0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ0,即1-4k0,得k,即k∈.4.解关于x的不等式x2+1-ax-a
0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+1-ax-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+1-ax-a的图象开口向上,所以
①当a-1时,原不等式的解集为{x|ax-1};
②当a=-1时,原不等式的解集为∅;
③当a-1时,原不等式的解集为{x|-1xa}.1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式组求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论1若fx有最大值fxmax,则afx恒成立⇔afxmax;2若fx有最小值fxmin,则afx恒成立⇔afxmin.3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑1关于不等式类型的讨论二次项系数a0,a0,a=0;2关于不等式对应的方程根的讨论两根Δ0,一根Δ=0,无根Δ0;3关于不等式对应的方程根的大小的讨论x1x2,x1=x2,x1x
2.
一、填空题1.不等式≥2的解集是______________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈01]恒成立,则m的最大值为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 -3解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈01]恒成立,又fx=x2-4x在01]上为减函数,∴fxmin=f1=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-
3.3.设a-1,则关于x的不等式ax-a0的解集为________________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 解析 ∵a-1,∴ax-a0⇔x-a·
0.又a-1,∴a,∴xa或x.∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-ba的解集为________________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-10m0的解集可能是________.
①;
②R;
③;
④∅.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案
①解析 因为Δ=a2+4m0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m0,所以原不等式的解集不可能是
②③④.6.对任意a∈[-11],函数fx=x2+a-4x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是____________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 {x|x1或x3}解析 设ga=x-2a+x2-4x+4,ga>0恒成立且a∈[-11]⇔⇔⇔x1或x
3.7.若关于x的方程x2+a2-1x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是____________.考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 -21解析 令fx=x2+a2-1x+a-2,依题意得f10,即1+a2-1+a-20,∴a2+a-20,∴-2a
1.8.对于任意实数x,不等式a-2x2-2a-2x-40恒成立,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 -22]解析 当a-2≠0时,即解得-2a
2.当a-2=0时,-40恒成立,综上所述,-2a≤
2.9.若不等式ax2+2ax-a+2≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 -10]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-1a
0.综上可知,a的取值范围是-10].10.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4x≤.11.若不等式a2-1x2-a-1x-10的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析
①当a2-1=0时,a=1或a=-
1.若a=1,则原不等式为-10,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-10,即x,不合题意,舍去.
②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-a
1.综上,a的取值范围是.12.若方程x2+m-3x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 01]解析 由题意得解得0m≤
1.
二、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为α,β,且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<00<α<β,∴由
②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>
0.
①÷
②,得==-<
0.由
②得==·>
0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>
0.将方法一中的
①②代入,得αβx2-α+βx+1>0,即αx-1βx-1>
0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.
三、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+2k+5x+5k0的解,∴2-22+2k+5-2+5k=k-
20.∴k2,-k-2-,∴2x2+2k+5x+5k=x+k2x+50的解集为,又x2-x-20的解集为{x|x-1或x2},∴-2-k≤3,∴k的取值范围为[-32.15.解关于x的不等式ax2-2a+1x+
40.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 1当a=0时,原不等式可化为-2x+40,解得x2,所以原不等式的解集为{x|x2}.2当a0时,原不等式可化为ax-2x-20,对应方程的两个根为x1=,x2=
2.
①当0a1时,2,所以原不等式的解集为;
②当a=1时,=2,所以原不等式的解集为{x|x≠2};
③当a1时,2,所以原不等式的解集为.3当a0时,原不等式可化为-ax+2x-20,对应方程的两个根为x1=,x2=2,则2,所以原不等式的解集为.综上,当a0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x2};当0a1时,原不等式的解集为;当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠2};当a1时,原不等式的解集为.。