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文本内容:
3.2一般形式的柯西不等式
一、教学目标1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
二、课时安排1课时
三、教学重点1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
四、教学难点1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.
五、教学过程
(一)导入新课已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值.【解】 由柯西不等式得x2+4y2+z21+1+1≥x+2y+z
2.∵x+2y+z=1,∴3x2+4y2+z2≥1,即x2+4y2+z2≥.当且仅当x=2y=z=,即x=,y=,z=时等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为.
(二)讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则a+a+a·b+b+b≥.当且仅当或存在一个数k,使得ai=kbii=123时,等号成立.我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式.教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则a+a+…+ab+b+…+b≥.当且仅当bi=0i=12,…,n或存在一个数k,使得ai=i=12,…,n时,等号成立.
(三)重难点精讲题型
一、利用柯西不等式求最值例1 已知a,b,c∈0,+∞,++=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a,b,c的值.【精彩点拨】 由于++=2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等式求解.【自主解答】 ∵a,b,c∈0,+∞,∴·a+2b+3c=[++][2+2+2]≥=1+2+32=
36.又++=2,∴a+2b+3c≥18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,综上,当a=b=c=3时,a+2b+3c取得最小值
18.规律总结利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.[再练一题]1.已知x+4y+9z=1,求x2+y2+z2的最小值.【解】 由柯西不等式,知x+4y+9z2≤12+42+92x2+y2+z2=98x2+y2+z2.又x+4y+9z=1,∴x2+y2+z2≥,*当且仅当x==时,等号成立,∴x=,y=,z=时,*取等号.因此,x2+y2+z2的最小值为.题型
二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范围.【精彩点拨】 “恒成立”问题需求++的最大值,设法应用柯西不等式求最值.【自主解答】 ∵x0,y0,z
0.且x+y+z=xyz.∴++=
1.又++≤=≤当且仅当x=y=z,即x=y=z=时等号成立.∴++的最大值为.故++≤λ恒成立时,应有λ≥.因此λ的取值范围是.规律总结应用柯西不等式,首先要对不等式形式、条件熟练掌握,然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的取值范围.【解】 由a+b+c+d=3,得b+c+d=3-a,由a2+2b2+3c2+6d2=5,得2b2+3c2+6d2=5-a2,2b2+3c2+6d2≥b+c+d2,即2b2+3c2+6d2≥b+c+d
2.由条件可得,5-a2≥3-a2,解得1≤a≤2,所以实数a的取值范围是
[12].题型
三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a,b,c∈R+,求证++≥
9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式,a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=,而a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得证.【自主解答】 ∵a,b,c∈R+,由柯西不等式,知=[++]×[++]≥=1+1+12=9,∴≥
9.规律总结1.当ai,bi是正数时,柯西不等式变形为a1+a2+…+anb1+b2+…+bn≥++…+
2.2.本题证明的关键在于构造两组数,创造使用柯西不等式的条件.在运用柯西不等式时,要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确配凑出公式两侧的数组.[再练一题]3.已知函数fx=m-|x-2|,m∈R,且fx+2≥0的解集为[-11].1求m的值;2若a,b,c∈R+,且++=m,求证a+2b+3c≥
9.【解】 1因为fx+2=m-|x|,fx+2≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又fx+2≥0的解集为[-11],故m=
1.2证明由1知++=
1.又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=a+2b+3c≥=
9.
(四)归纳小结一般形式的柯西不等式—
(五)随堂检测1.设a=-212,|b|=6,则a·b的最小值为 A.18B.6C.-18D.12【解析】 |a·b|≤|a||b|,∴|a·b|≤
18.∴-18≤a·b≤18,当a,b反向时,a·b最小,最小值为-
18.【答案】 C2.若a+a+…+a=1,b+b+…+b=4,则a1b1+a2b2+…+anbn的取值范围是 A.-∞,2B.[-22]C.-∞,2]D.[-11]【解析】 ∵a+a+…+ab+b+…+b≥a1b1+a2b2+…+anbn2,∴a1b1+a2b2+…+anbn2≤4,∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2,即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2,当且仅当ai=bii=12,…,n时,右边等号成立;当且仅当ai=-bii=12,…,n时,左边等号成立,故选B.【答案】 B3.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.【解析】 根据柯西不等式ma+nb2≤a2+b2m2+n2,得25≤5m2+n2,m2+n2≥5,的最小值为.【答案】
六、板书设计
七、作业布置同步练习
3.2一般形式的柯西不等式
八、教学反思
3.2一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例1例2例3学生板演练习。