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文本内容:
4.1数学归纳法预习案
一、预习目标及范围1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.
二、预习要点教材整理 数学归纳法的概念一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤证明当时命题成立;2假设当时命题成立,证明时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
三、预习检测1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=a≠1,n∈N*,在验证n=1时,等式左边的项是 A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a32.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为nn-3条时,第一步检验n等于 A.1B.2C.3D.03.已知fn=+++…+,则 A.fn中共有n项,当n=2时,f2=+B.fn中共有n+1项,当n=2时,f2=++C.fn中共有n2-n项,当n=2时,f2=+D.fn中共有n2-n+1项,当n=2时,f2=++探究案
一、合作探究题型
一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+.【精彩点拨】 要证等式的左边共2n项,右边共n项,fk与fk+1相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.[再练一题]1.用数学归纳法证明12-22+32-42+…+2n-12-2n2=-n2n+1.题型
二、用数学归纳法证明整除问题例2用数学归纳法证明3n+1·7n-1能被9整除n∈N+.【精彩点拨】 先验证n=1时命题成立,然后再利用归纳假设证明,关键是找清fk+1与fk的关系并设法配凑.[再练一题]2.求证n3+n+13+n+23能被9整除.题型
三、证明几何命题例3平面内有nn≥2,n∈N+条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,那么这n条直线的交点个数fn是多少?并证明你的结论.【精彩点拨】 1从特殊入手,求f2,f3,f4,猜想出一般性结论fn;2利用数学归纳法证明.[再练一题]3.在本例中,探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少?并加以证明.题型
四、数学归纳法的概念例4用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=a≠1,n∈N+,在验证n=1成立时,左边计算的结果是 A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3【精彩点拨】 注意左端特征,共有n+2项,首项为1,最后一项为an+
1.[再练一题]4.当fk=1-+-+…+-,则fk+1=fk+________.
二、随堂检测1.用数学归纳法证明1+2+3+…+2n+1=n+1·2n+1时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为 A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+42.某个与正整数n有关的命题,如果当n=kk∈N+且k≥1时命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立.现已知n=5时,该命题不成立,那么应有 A.当n=4时,该命题成立B.当n=6时,该命题成立C.当n=4时,该命题不成立D.当n=6时,该命题不成立3.用数学归纳法证明等式n+1n+2…n+n=2n·1·3·…·2n-1n∈N+时,从“n=k到n=k+1”左端需乘以的代数式为 A.2k+1B.22k+1C.D.参考答案预习检测
1.答案 C
2.答案 C解析 凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=
3.
3.答案 D随堂检测
1.【解析】 当n=1时左边所得的代数式为1+2+
3.【答案】 C
2.【解析】 若n=4时命题成立,由递推关系知n=5时命题成立,与题中条件矛盾,所以n=4时,该命题不成立.【答案】 C
3.【解析】 当n=k时,等式为k+1k+2…k+k=2k·1·3·…·2k-1.当n=k+1时,左边=[k+1+1][k+1+2]…[k+1+k][k+1+k+1]=k+2k+3…k+k·2k+12k+2.比较n=k和n=k+1时等式的左边,可知左端需乘以=22k+1.故选B.【答案】 B。