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4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．
一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题
二、合作探究思考探究 探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨
1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．1不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例而不是全部得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．2完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的． 1数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝kk∈N＋，k≥n0就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．2应用数学归纳法的一般步骤
①验证n＝n0n0为使命题有意义的最小正整数命题成立；
②假设当n＝kk≥n0，k∈N＋时，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由
①和
②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法1适用范围，与正整数有关的数学命题．2验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．3递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．4正确寻求递推关系，
①在验证n＝n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；
②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出fk到fk＋1的图形的变化情况；
③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明1－2＋4－8＋…＋－1n－1·2n－1＝－1n－1·＋. 【证明】 1当n＝1时，左边＝1，右边＝＋＝1，等式成立．2假设n＝k时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋－1k－12k－1＝－1k－1·＋.则当n＝k＋1时，有1－2＋4－8＋…＋－1k－1·2k－1＋－1k·2k＝＝－＝－－1k＋1·＝－1k·＋.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由1与2知，对任意n∈N＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明n∈N＋时，＋＋…＋＝.【例2】 设x∈N＋，n∈N＋，求证xn＋2＋x＋12n＋1能被x2＋x＋1整除．【变式训练2】 求证二项式x2n－y2nn∈N＋能被x＋y整除．【例3】 平面上有n条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证这n条直线把平面分割成fn＝块区域．【变式训练3】 已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．参考答案
1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．1不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例而不是全部得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．2完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的． 1数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝kk∈N＋，k≥n0就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．2应用数学归纳法的一般步骤
①验证n＝n0n0为使命题有意义的最小正整数命题成立；
②假设当n＝kk≥n0，k∈N＋时，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由
①和
②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法1适用范围，与正整数有关的数学命题．2验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．3递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．4正确寻求递推关系，
①在验证n＝n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；
②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出fk到fk＋1的图形的变化情况；
③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤
①而缺少步骤
②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤
①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤
②而缺少步骤
①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤
①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤
②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n＝k＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为当n＝k＋1时，1－2＋4－8＋…＋－1k－1·2k－1＋－1k2k＝－1k－1·＋＋－1k·2k＝－－1k·＋－1k·2k＋＝－1k·2k＋＝－1k·＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 1当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，∴等式成立．2假设n＝k时，等式成立，即＋＋…＋＝.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.即当n＝k＋1时，等式也成立．由1，2可知对一切n∈N＋等式成立．【例2】【证明】 1当n＝1时，x3＋x＋13＝[x＋x＋1]·[x2－xx＋1＋x＋12]＝2x＋1x2＋x＋1，结论成立．2假设n＝k时，结论成立，即xk＋2＋x＋12k＋1能被x2＋x＋1整除，那么当n＝k＋1时，xk＋1＋2＋x＋12k＋1＋1＝x·xk＋2＋x＋12x＋12k＋1＝x[xk＋2＋x＋12k＋1]＋x＋12x＋12k＋1－xx＋12k＋1 ＝x[xk＋2＋x＋12k＋1]＋x2＋x＋1x＋12k＋
1.由假设知，xk＋2＋x＋12k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，故xk＋1＋2＋x＋12k＋1＋1能被x2＋x＋1整除，即n＝k＋1时，结论也成立．由12知，原结论成立．【变式训练2】证明 1当n＝1时，x2－y2＝x＋yx－y，∴命题成立．2假设n＝k时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么n＝k＋1时，x2k＋1－y2k＋1＝x2·x2k－y2·y2k＝x2x2k－y2k＋x2y2k－y2·y2k＝x2x2k－y2k＋y2kx2－y2．∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2x2k＋y2k＋y2kx2－y2能被x＋y整除．即n＝k＋1时，命题也成立．由12知，对任意的正整数n命题成立．【例3】【证明】 1当n＝1时，一条直线把平面分割成2块．而f1＝＝2，命题成立．2假设n＝k时，k条直线把平面分成fk＝块区域，那么当n＝k＋1时，设k＋1条直线为l1，l2，l3…lk，lk＋1，不妨取出l1，余下的k条直线l2，l3…，lk，lk＋1将平面分割成fk＝块区域，直线l1被这k条直线分割成k＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k＋1块区域，所以fk＋1＝fk＋k＋1＝＋k＋1＝＝，这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．由12知，命题对一切n∈N＋成立．【变式训练3】证明 1当n＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋
2.所以当n＝1时，命题成立．2假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为k2－k＋2＋2k＝k2＋k＋2＝k＋12－k＋1＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据12知，命题对n∈N＋都成立．。
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