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文本内容:
2.
4.2 抛物线的几何性质学习目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形,思考以下问题1观察焦点在x轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?2根据图形及抛物线方程y2=2pxp0如何确定横坐标x的范围?答案 1抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.2由抛物线y2=2pxp0有所以x≥
0.所以抛物线x的范围为x≥
0.抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2=2pxp0y2=-2pxp0x2=2pyp0x2=-2pyp0图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程x=-x=y=-y=顶点坐标O00通径长2p1.抛物线关于顶点对称.×2.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.√3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.√类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解 椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2pxp0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3∴p=
6.∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,其准线方程分别为x=-3或x=
3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4”,求此抛物线的标准方程.解 由题意,设抛物线方程为y2=2mxm≠0,焦点F,直线l x=,所以A,B两点坐标为,,所以|AB|=2|m|.因为△OAB的面积为4,所以··2|m|=4,所以m=±
2.所以抛物线的标准方程为y2=±4x.反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知双曲线方程是-=1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.解 因为双曲线-=1的右顶点坐标为2,0,所以=2,且抛物线的焦点在x轴正半轴上,所以,所求抛物线的标准方程为y2=8x,其准线方程为x=-
2.类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 1过抛物线y2=8x的焦点,倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.2直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若AB=8,则直线l的方程为________________.3过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点Ax1,y1,Bx2,y2,若AB=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.答案 116 2x+y-1=0或x-y-1=0 3解析 1由抛物线y2=8x的焦点为20,得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x得x-22=8x,即x2-12x+4=
0.所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=
16.2∵抛物线y2=4x的焦点坐标为10,若l与x轴垂直,则AB=4,不符合题意,∴可设所求直线l的方程为y=kx-1.由得k2x2-2k2+4x+k2=0,*则由根与系数的关系,得x1+x2=.又AB过焦点,由抛物线的定义可知AB=x1+x2+p=+2=8,∴=6,解得k=±
1.此时*式变为x2-6x+1=0,满足Δ>
0.∴所求直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=
0.3抛物线的焦点为F10,准线方程为x=-
1.由抛物线定义知AB=AF+BF=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为,又准线方程为x=-1,因此点M到抛物线准线的距离为+1=.反思与感悟
1.抛物线上任一点Px0,y0与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径,对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为1抛物线y2=2pxp0,PF==+x
0.2抛物线y2=-2pxp0,PF==-x
0.3抛物线x2=2pyp0,PF==+y
0.4抛物线x2=-2pyp0,PF==-y
0.2.已知AB是过抛物线y2=2pxp0的焦点的弦,F为抛物线的焦点,Ax1,y1,Bx2,y2,则1y1·y2=-p2,x1·x2=.2AB=x1+x2+p=θ为直线AB的倾斜角.3S△ABO=θ为直线AB的倾斜角.4+=.5以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.3.当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p.跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.1若直线l的倾斜角为60°,求AB的值;2若AB=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解 1因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=.又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得x2-5x+=
0.若设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=5,而AB=AF+BF=x1++x2+=x1+x2+p,所以AB=5+3=
8.2设Ax1,y1,Bx2,y2,由抛物线定义知AB=AF+BF=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=
6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以M到准线的距离等于3+=.类型三 抛物线的综合问题例3 抛物线y2=4x的焦点为F,点Px,y为该抛物线上的动点,若点A-10,求的最小值.解 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,如图,过点P作PN垂直x=-1于点N,由抛物线的定义可知PF=PN,连结PA,在Rt△PAN中,sin∠PAN=,当=最小时,sin∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大,此时,PA为抛物线的切线,切线PA的斜率一定存在,设PA的方程为y=kx+1,联立得k2x2+2k2-4x+k2=0,所以Δ=2k2-42-4k4=0,解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,此时==cos∠NPA=.综上,的最小值为.反思与感悟
1.若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找到与已知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点.2.在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练3 已知直线l14x-3y+6=0和直线l2x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.答案 2解析 由题意知,直线l2x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的定义知,点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F10的距离.故所求最值可转化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得点P到点F10和到直线l1的距离之和最小,最小值为F10到直线l14x-3y+6=0的距离,即d==
2.例4 抛物线y2=2pxp0上有两动点A,B及一个定点M,F为抛物线的焦点,若AF,MF,BF成等差数列.1求证线段AB的垂直平分线过定点Q;2若MF=4,OQ=6O为坐标原点,求抛物线的方程.1证明 设点Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0,则AF=x1+,BF=x2+,MF=x0+,x0为已知值.由题意得x0=,∴线段AB的中点坐标可设为x0,t,其中t=≠0否则AF=MF=BF⇒p=0.而kAB====,故线段AB的垂直平分线的方程为y-t=-x-x0,即tx-x0-p+yp=0,可知线段AB的垂直平分线过定点Qx0+p0.2解 由MF=4,OQ=6,得x0+=4,x0+p=6,联立解得p=4,x0=
2.∴抛物线方程为y2=8x.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中,存在着许多定值问题,我们不需要记忆关于这些定值的结论,但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法,如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点,·=-4,求证直线l必过一定点.证明 设l x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=4t,y1y2=-4b.又∵·=x1x2+y1y2=ty1+bty2+b+y1y2=t2y1y2+bty1+y2+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b,又∵·=-4,∴b2-4b=-4,解得b=2,故直线过定点20.1.以x轴为对称轴的抛物线的通径过焦点且与对称轴垂直的弦长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为________.答案 y2=8x或y2=-8x解析 设抛物线方程为y2=2px或y2=-2pxp0,依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=
4.∴抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,其上一点P1,m到焦点的距离为5,则m的值为________.答案 ±4解析 由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,所以1+=5,p=8,故抛物线的方程为y2=16x,将点P1,m代入方程,得m=±
4.3.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则AB=________.答案 8解析 抛物线的准线方程为x=-1,则线段AB的中点到准线的距离为3--1=
4.由抛物线的定义及中位线定理得AB=
8.4.已知过抛物线y2=2pxp0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.答案 2解析 设点A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2,过抛物线y2=2pxp0的焦点F,且倾斜角为45°的直线的方程为y=x-,把x=y+代入y2=2px,得y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,y1y2=-p
2.∵AB=8,∴|y1-y2|=4,∴y1+y22-4y1y2=42,即4p2+4p2=
32.又p0,∴p=
2.5.已知抛物线C y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且AK=AF,则△AFK的面积为________.答案 8解析 F20,K-20,过点A作AM垂直准线于点M,则AM=AF,∴AK=AM,∴△AMK为等腰直角三角形.设Am2,2mm0,则△AFK的面积S=×4×2m=4m.又由AK=AM,得m2+22+8m2=2m2+22,解得m=,∴△AFK的面积S=4m=
8.1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
一、填空题1.设斜率为2的直线l过抛物线y2=axa≠0的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAFO为坐标原点的面积为4,则抛物线的方程为________.答案 y2=±8x解析 抛物线y2=axa≠0的焦点坐标是,故直线l的方程为y=2,令x=0,得y=-,故△OAF的面积为××==4,a=±8,故抛物线的方程为y2=±8x.2.抛物线C y2=2pxp0的焦点为F,M是抛物线C上的点,O为坐标原点,若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为________.答案 8解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π,∴圆的半径为
6.又圆心在OF的垂直平分线上,OF=,∴+=6,∴p=
8.3.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.如果AF的斜率为-,那么PF=________.答案 8解析 由题意得,准线l的方程为x=-2,焦点F20,设点A的坐标为-2,n,则=-,解得n=4,由42=8x,得x=
6.∴P64,∴PF=6+2=
8.4.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为________.答案 解析 由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以的P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为.5.当x1时,直线y=ax-a恒在抛物线y=x2的下方,则a的取值范围是________.答案 -∞,4解析 由题可知,联立整理可得x2-ax+a=0,当Δ=a2-4a=0时,解得a=0或a=4,此时直线与抛物线相切.因为直线恒过定点10,所以结合图形图略可知a∈-∞,4.6.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P22为AB的中点,则抛物线C的方程为________.答案 y2=4x解析 方法一 设抛物线方程为y2=kxk≠0,与y=x联立方程组,消去y,得x2-kx=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2∴x1+x2=k.又∵P22为AB的中点,∴=
2.∴k=
4.∴y2=4x.方法二 由题意知,交点其一为原点,所以令A00,又∵P22为AB的中点,∴B44.设抛物线方程为y2=2pxp0,∴p=2,∴y2=4x.7.已知直线l过抛物线y2=2pxp0的焦点且与抛物线相交,其中一交点为2p2p,则其焦点弦的长度为________.答案 解析 由题意知直线l过点和2p2p,所以l y=.联立整理得8x2-17px+2p2=
0.设另一交点坐标为x1,y1由根与系数的关系,得x1+2p=,所以焦点弦的长度为x1+2p+p=.8.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题答案 32解析 设线段的端点坐标为x1,y1,x2,y2,将y=x-1代入y2=4x,整理得x2-6x+1=
0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,∴===2,∴所求点的坐标为32.9.抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点坐标为________.答案 解析 因为y=4x2与y=4x-5不相交,设与y=4x-5平行的直线方程为y=4x+m.则⇒4x2-4x-m=
0.
①设此直线与抛物线相切,此时有Δ=0,即Δ=16+16m=0,∴m=-
1.将m=-1代入
①式,得x=,y=1,故所求点的坐标为.10.已知抛物线y2=8x,过动点Ma0,且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A,B,若AB≤8,则实数a的取值范围是________.答案 -2,-1]解析 将l的方程y=x-a代入y2=8x,得x2-2a+4x+a2=0,则Δ=4a+42-4a20,∴a-
2.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=2a+4,x1x2=a2,∴AB==≤8,即≤
1.∴-2a≤-
1.11.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为________.答案 解析 如图,过A作AA1垂直于准线于A1,过B作BB1垂直于准线于B1,过B作BC⊥AA1,垂足为C,设BF=m,则AF=3m,由抛物线的定义知,AA1=3m,BB1=m.所以在△ABC中,AC=2m,AB=4m,kAB=,直线AB的方程为y=x-1,与抛物线方程联立消去y,得3x2-10x+3=0,设AxA,yA,BxB,yB,则xA+xB=,所以AB中点到准线的距离为+=+1=.
二、解答题12.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,求此抛物线的方程.解 设抛物线方程为x2=aya≠0,由方程组消去y,得2x2-ax+a=
0.∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ=-a2-4×2×a0,即a0或a
8.设两交点分别为Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,x1x2=,∴AB====.∵AB=,∴=,即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,∴所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.13.已知过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设Ax1,y1,Bx2,y2,则称AB为抛物线的焦点弦.求证1y1y2=-p2;x1x2=;2+=;3以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 1如图所示,设AB中点为Cx0,y0,过A,B,C分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,C
1.抛物线y2=2pxp0的焦点F,准线方程x=-.设直线AB的方程为x=ky+,把它代入y2=2px,化简,得y2-2pky-p2=
0.∴y1y2=-p2,∴x1x2=·===.2根据抛物线定义知FA=AA1=x1+,FB=BB1=x2+,∴+=+=+====.3∵CC1=AA1+BB1=AF+BF=AB.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
三、探究与拓展14.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为________________________________________________________________________.考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ∪解析 设Mx1,x,Nx2,x关于直线y=kx+对称,∴=-,即x1+x2=-.设MN的中点为Px0,y0,则x0=-,y0=k×+=
4.又中点P在抛物线y=x2内,∴4>2,即k2>,∴k>或k<-.15.已知过点A-40的动直线l与抛物线G x2=2pyp0相交于B,C两点.当直线l的斜率是时,=
4.1求抛物线G的方程;2设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.解 1设Bx1,y1,Cx2,y2,由题意知直线l的方程为x=2y-
4.由得2y2-8+py+8=0,∴又∵=4,∴y2=4y1,
③由
①,
②,
③及p0得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线G的方程为x2=4y.2直线l的斜率存在,设l y=kx+4,BC的中点坐标为x0,y0,BxB,yB,CxC,yC.由得x2-4kx-16k=0,
④∴x0==2k,y0=kx0+4=2k2+4k.∴线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-x-2k,∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2k+12,对于方程
④,由Δ=16k2+64k0,得k0或k-
4.∴b>2或b>18,∴b∈2,+∞.。