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文本内容:
2.
6.2求曲线的方程
2.
6.3曲线的交点学习目标
1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.
2.掌握求两条曲线交点的方法.
3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 1坐标法借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．2解析几何研究的主要问题
①通过曲线研究方程根据已知条件，求出表示曲线的方程．
②通过方程研究曲线通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二 求曲线的方程的步骤1．建系建立适当的坐标系．2．设点设曲线上任意一点M的坐标为x，y．3．列式列出符合条件pM的方程fx，y＝
0.4．化简化方程fx，y＝0为最简形式．5．证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知识点三 曲线的交点已知曲线C1f1x，y＝0和C2f2x，y＝
0.1P0x0，y0是C1和C2的公共点⇔2求两曲线的交点，就是求方程组的实数解．3方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x2＋y2＝1x＞0表示的曲线是单位圆．×2．若点Mx，y的坐标是方程fx，y＝0的解，则点M在曲线fx，y＝0上．√3．方程y＝x与方程y＝表示同一曲线．×4．曲线xy＝2与直线y＝x的交点是，．×类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A20的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．解 设Px，y，则|8－x|＝2PA.则|8－x|＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝
48.引申探究若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程．解 设Px，y，则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，又PA＝，故|y－8|＝2，化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝
0.故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝
0.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法1关键
①建立恰当的平面直角坐标系；
②找出所求动点满足的几何条件．2方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明．特别提醒直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M－10，N10，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列．求点P的轨迹方程．解 设点Px，y，由M－10，N10，得＝－＝－1－x，－y，＝－＝1－x，－y，＝－＝20．∴·＝2x＋1，·＝x2＋y2－1，·＝21－x．于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于即∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3x0．类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B30连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解 设Px，y，Mx0，y0，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以2x－32＋4y2＝
1.所以P点的轨迹方程为2x－32＋4y2＝
1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤1设动点Px，y，相关动点Mx0，y0．2利用条件求出两动点坐标之间的关系3代入相关动点的轨迹方程．4化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A0，0，B60，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．解 设Gx，y为△ABC的重心，顶点C的坐标为x′，y′，则由重心坐标公式，得所以因为顶点Cx′，y′在曲线y＝x2＋3上，所以3y＝3x－62＋3，整理，得y＝3x－22＋
1.故ΔABC重心的轨迹方程为y＝3x－22＋
1.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M12的直线与曲线y＝a≠0有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点．设直线方程为y－2＝kx－1k≠0，联立曲线方程，得消去x，得y2－2－ky－ka＝
0.
①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．∴Δ＝2－k2＋4ka
0.设方程
①的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，代入Δ0中，得a2＋4a2－a0，解得0a.又∵k≠0，∴2－a≠0，即a≠
2.∴a的取值范围是02∪.反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C1和C2的方程分别为Fx，y＝0和Gx，y＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定．跟踪训练3 已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A，B两点，若AB＝5，求实数b的值．解 设Ax1，y1，Bx2，y2．联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝
0.
①∵x1，x2是关于x的方程
①的两根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－
1.又AB＝＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±
2.故所求b的值为±
2.1．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．答案 解析 由得x2－x＋42－1＝0，即2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，则直线l与椭圆的交点坐标为________．答案 0，－2，解析 因F210，l方程为y＝2x－
2.由方程组解得或故所得交点坐标为0，－2，.3．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x＋y－1＝0x≠0，x≠1解析 设直线＋＝1与x，y轴交点为Aa0，B0，2－a，A，B中点为Mx，y，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝
1.∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠
1.4．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．答案 x＝解析 设动点Px，y，则＝，化简整理得x＝.5．M为直线l2x－y＋3＝0上的一动点，A42为一定点，又点P在直线AM上运动，且＝3，求动点P的轨迹方程．解 设点M，P的坐标分别为Mx0，y0，Px，y，由题设及向量共线条件可得所以因为点Mx0，y0在直线2x－y＋3＝0上，所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝
0.求解轨迹方程常用方法1直接法直接根据题目中给定的条件求解方程．2定义法依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．3代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点称之为相关点而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．4待定系数法根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．
一、填空题1．点P4，－2与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________．答案 x－22＋y＋12＝1解析 设中点的坐标为x，y，则相应圆x2＋y2＝4上的点的坐标为2x－42y＋2，所以2x－42＋2y＋22＝4，即x－22＋y＋12＝
1.2．已知0≤α2π，点Pcosα，sinα在曲线x－22＋y2＝3上，则α的值为________．答案 或解析 由cosα－22＋sin2α＝3，得cosα＝.又因为0≤α2π，所以α＝或α＝.3．已知直线l y＝x＋b与曲线C y＝有两个公共点，则b的取值范围为________．答案 [1，解析 在同一直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝的图象，如图所示，可得b的范围为1≤b.4．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2的值为________．答案 解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由消去y得1＋4m2x2＋8mx＋3＝0，所以由Δ＝8m2－121＋4m2＝16m2－12＝0，解得m2＝.5．已知定点A01，直线l1y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．答案 x2＝4y解析 设动点Cx，y，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1y＝－1的距离相等，所以＝|y＋1|，两边平方整理得x2＝4y.6．已知点A－10，B10，且·＝0，则动点M的轨迹方程是________．答案 x2＋y2＝1解析 设动点Mx，y，则＝－1－x，－y，＝1－x，－y.由·＝0，得－1－x1－x＋－y·－y＝0即x2＋y2＝
1.7．已知点F10，直线l x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·.则动点P的轨迹C的方程是________．答案 y2＝4x解析 设点Px，y，则Q－1，y．由·＝·，得x＋10·2，－y＝x－1，y·－2，y，所以2x＋1＝－2x－1＋y2，化简得y2＝4x.8．已知两点A，0，B－，0，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为________．答案 y2－x2＝2解析 设动点P的坐标为x，y，则点Q的坐标为0，y，＝－x0，＝－x，－y，＝－－x，－y，·＝x2－2＋y
2.由·＝22，得x2－2＋y2＝2x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝
2.9．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.答案 解析 由消去y得方程ax2－x＋1＝
0.令Δ＝1－4a＝0，得a＝.10．已知椭圆＋＝1a＞b＞0的左、右焦点分别为F1，F
2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．答案 解析 由题意得PF2＝，PF1＝，由椭圆定义得＝2a3b2＝3a2－3c2＝2a2，则此椭圆的离心率e为.11．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．答案 45°或135°解析 由y2＝6x得焦点坐标为，设直线方程y＝k，由得k2x2－6＋3k2x＋k2＝0，设直线与抛物线的交点为Ax1，y1，Bx2，y2，∴x1＋x2＝，∵弦长为12，∴＋3＝12，∴k＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.
二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F02，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解 设点Mx，y是所求曲线上任意一点，因为曲线在x轴的上方，所以y
0.过点M作MB⊥x轴，垂足是点B，则MF－MB＝2，即－y＝2，整理得x2＋y－22＝y＋22，化简得y＝x2，所以所求曲线的方程是y＝x2x≠0．13．已知线段AB，B点的坐标为60，A点在曲线y＝x2＋3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．解 设线段AB的中点M的坐标为x，y，点Ax1，y1，则得由题知点Ax1，y1在曲线y＝x2＋3上，所以2y＝2x－62＋3，所以线段AB的中点M的轨迹方程为y＝2x－32＋.
三、探究与拓展14．过点P01的直线与曲线|x|－1＝相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________．答案 [2，4]解析 曲线|x|－1＝可化为x≥1，x－12＋y－12＝1，或x－1，x＋12＋y－12＝1，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是[2，4]．15．已知直角坐标平面上点Q20和圆O x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若MN和MQ的比值等于常数λλ0，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON，OM，则ON⊥MN，设Mx，y．∵圆的半径是1，∴MN2＝OM2－ON2＝OM2－
1.由题意，＝λλ＞0，∴MN＝λMQ，即＝λ，整理得λ2－1x2＋y2－4λ2x＋1＋4λ2＝
0.∵λ0，∴当λ＝1时，方程化为x＝，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，该方程表示以为圆心，以为半径的圆．。
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