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文本内容:
2.
2.3 向量的数乘学习目标
1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.
2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.
3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一 向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量?答案 向量.思考2 向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?答案 3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.梳理 向量的数乘实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下1|λa|=|λ||a|;2λaa≠0的方向当λ=0或a=0时,λa=
0.实数λ与向量a相乘,叫做向量的数乘.知识点二 向量数乘的运算律思考 类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?答案 结合律,分配律.梳理 向量数乘的运算律1λμa=λμa;2λ+μa=λa+μa;3λa+b=λa+λb.知识点三 向量共线定理思考 若b与非零向量a共线,是否存在λ满足b=λa?若b与向量a共线呢?答案 若b与非零向量a共线,存在λ满足b=λa;若b与向量a共线,当a=0,b≠0时,不存在λ满足b=λa.梳理 1向量共线定理如果有一个实数λ,使b=λaa≠0,那么b与a是共线向量;反之,如果b与aa≠0是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.2向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λμ1a±μ2b=λμ1a±λμ2b.1.若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa. × 提示 当b=0,a=0时,实数λ不唯一.2.若b=λa,则a与b共线. √ 提示 由向量共线定理可知其正确.3.若λa=0,则a=
0. × 提示 若λa=0,则a=0或λ=
0.类型一 向量数乘的基本运算例1 1化简[22a+4b-45a-2b].解 [22a+4b-45a-2b]=4a+8b-20a+8b=-16a+16b=-4a+4b.2已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.解 由
①×3+
②×2,得x=3a+2b,代入
①得3×3a+2b-2y=a,所以x=3a+2b,y=4a+3b.反思与感悟 1向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.2向量也可以通过列方程和方程组求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算.跟踪训练1 1计算a+b-3a-b-8a.解 a+b-3a-b-8a=a-3a-8a+b+3b=-10a+4b.2若2-c+b-3y+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=________________.答案 a-b+c解析 因为2-c+b-3y+b=0,3y-a+b-c=0,所以y=a-b+c.类型二 向量共线的判定及应用例2 已知非零向量e1,e2不共线.1若a=e1-e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线;2若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-e2,求证A,B,D三点共线.1解 ∵b=6a,∴a与b共线.2证明 ∵=e1+e2,=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+e2=
5.∴,共线,且有公共点B,∴A,B,D三点共线.反思与感悟 1向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.2利用向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为证明两向量共线,需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用b=λaa≠0,还要说明向量a,b有公共点.跟踪训练2 已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+2e2,=-5e1+6e2,=7e1-2e2,则共线的三个点是________.答案 A,B,D解析 ∵=e1+2e2,=+=-5e1+6e2+7e1-2e2=2e1+2e2=
2.∴,共线,且有公共点B,∴A,B,D三点共线.例3 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定k的值.解 ∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴存在实数λ,使ke1+e2=λe1+ke2,则k-λe1=λk-1e2,由于e1与e2不共线,只能有∴k=±
1.反思与感悟 利用向量共线定理,即b与aa≠0共线⇔b=λa,既可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3 已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若=x+y,则x+y=________.答案 1解析 由于A,B,P三点共线,则,在同一直线上,由向量共线定理可知,一定存在实数λ使得=λ,即-=λ-,∴=1-λ+λ.∴x=1-λ,y=λ,则x+y=
1.类型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC中,=a,=b,若点D满足=2,则=________________.用a,b表示答案 a+b解析 示意图如图所示,由题意可得=+=+=+-=+=a+b.反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路1先结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中.2然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.3当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.跟踪训练4 如图,在△ABC中,D,E为边AB的两个三等分点,=3a,=2b,求,.解 ∵=3a,=2b,∴=-=2b-3a,又∵D,E为边AB的两个三等分点,∴==b-a,∴=+=3a+b-a=2a+b,=+=3a+=3a+2b-3a=a+b.1.已知a=5e,b=-3e,c=4e,则2a-3b+c=________.答案 23e解析 2a-3b+c=2×5e-3×-3e+4e=23e.2.在△ABC中,M是BC的中点,则+=________.答案 2解析 如图,作出平行四边形ABEC,M是对角线的交点,故M是BC的中点,且是AE的中点,由题意知,+==
2.3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2k∈R与向量n=e2-2e1共线,则k=________.答案 解析 ∵m与n共线,∴m=λn,即2λ-1e1+k-λe2=0,∵e1,e2是两个不共线的向量,∴∴k=.4.若2-c+b-3y+b=0,其中a,b,c为已知向量,则向量y=________________.用a,b,c表示答案 a-b+c解析 因为2-c+b-3y+b=2y-a-c-b+y+b=0,所以y=a+c-b,所以y=a-b+c.5.如图所示,已知=,用,表示.解 =+=+=+-=-+.1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ+a,λ-a是没有意义的.2.λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量表示与向量a同向的单位向量.3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+nm,n∈R,A,P,B三点共线⇔m+n=
1.
一、填空题1.a+9b-2c+b+2c=________.答案 a+10b2.化简[22a+8b-44a-2b]=________.答案 -2a+4b解析 原式=4a+16b-16a+8b=-12a+24b=-2a+4b.3.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么=________.用a,b表示答案 a+b解析 由题意,得=+=b+=b++=b+a+,即=b+a+,解得=a+b.4.在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=+λ,则λ=________.答案 解析 ∵A,B,D三点共线,∴+λ=1,λ=.5.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=____________.答案 解析 ∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又∵向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μa+2b成立,即λa+b=μa+2μb,则解得λ=μ=.6.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,=a,=b,则=__________.用a,b表示答案 a+b解析 连结CD,OD,如图所示.∵点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,∴AC=CD,∠CAD=∠DAB=×90°=30°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°.由此可得∠CAD=∠ADO=30°,∴AC∥DO.由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°,∴∠CDA=∠DAO,∴CD∥AO,∴四边形ACDO为平行四边形,∴=+=+=a+b.7.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的是________.填序号
①ma-b=ma-mb;
②m-na=ma-na;
③若ma=mb,则a=b;
④若ma=na,则m=n.答案
①②解析
①和
②属于数乘对向量与实数的分配律,正确;
③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;
④中,若a=0,则m,n没有关系,错误.8.在△ABC中,=a,=b,D为△ABC所在平面内一点,且=3,则=____________.用a,b表示答案 -a+b解析 ∵=3,∴-=3-,即4-=3,∴=-+=-a+b.9.已知=a+5b,=-2a+8b,=3a-b,则________三点共线.答案 A,B,D10.如图,在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________.用a,b表示答案 b-a解析 =++=-b-a+=-b-a+a+b=b-a.
二、解答题11.若非零向量a与b不共线,ka+2b与3a+kb共线,试求实数k的值.解 ∵ka+2b与3a+kb共线,∴存在实数λ,使得ka+2b=λ3a+kb,∴k-3λa+2-λkb=0,∴k-3λa=λk-2b.∵a与b不共线,∴,∴k=±.12.计算163a-2b+9-2a+b;2-;36a-b+c-4a-2b+c-2-2a+c.解 1原式=18a-12b-18a+9b=-3b.2原式=-=-=a+b-a-b=
0.3原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a-4a+4a+8b-6b+6c-4c-2c=6a+2b.13.在平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和.解 如图,设=a,=b.∵M,N分别是DC,BC的中点,∴=b,=a.∵在△ADM和△ABN中,即
①×2-
②,得b=2c-d,
②×2-
①,得a=2d-c.∴=d-c,=c-d.
三、探究与拓展14.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+2-mb共线,则实数m的值为________.答案 -1或315.已知在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,求证四边形ABCD为梯形.证明 如图所示.∵=++=a+2b+-4a-b+-5a-3b=-8a-2b=2-4a-b,∴=
2.∴与共线,且||=2||.又∵这两个向量所在的直线不重合,∴AD∥BC,且AD=2BC.∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.。