还剩11页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
§
2.5 向量的应用学习目标
1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.
2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.知识点一 几何性质与向量的关系设a=x1,y1,b=x2,y2,a,b的夹角为θ.思考1 证明线线平行、点共线及相似问题,可用向量的哪些知识?答案 可用向量共线的相关知识a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0b≠0.思考2 证明垂直问题,可用向量的哪些知识?答案 可用向量垂直的相关知识a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=
0.梳理 平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1.建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.2.通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.3.把运算结果“翻译”成几何关系.知识点三 物理中的量和向量的关系1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算.1.功是力F与位移S的数量积. √ 2.力的合成与分解体现了向量的加减法运算. √ 3.某轮船需横渡长江,船速为v1,水速为v2,要使轮船最快到达江的另一岸,则需保持船头方向与江岸垂直. √ 类型一 用平面向量求解直线方程例1 已知△ABC的三个顶点A0,-4,B4,0,C-6,2,点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.1求直线DE,EF,FD的方程;2求AB边上的高线CH所在的直线方程.解 1由已知得点D-1,1,E-3,-1,F2,-2,设Mx,y是直线DE上任意一点,则∥.=x+1,y-1,=-2,-2.∴-2×x+1--2×y-1=0,即x-y+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=
0.2设点Nx,y是CH所在直线上任意一点,则⊥.∴·=
0.又=x+6,y-2,=4,4.∴4x+6+4y-2=0,即x+y+4=0为所求直线CH的方程.反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题,首先将线段看成向量,再把坐标利用向量法则进行运算.跟踪训练1 在△ABC中,A4,1,B7,5,C-4,7,求∠A的平分线所在的直线方程.解 =3,4,=-8,6,∠A的平分线的一个方向向量为a=+=+=.设Px,y是角平分线上的任意一点,∵∠A的平分线过点A,∴∥a,∴所求直线方程为-x-4-y-1=
0.整理得7x+y-29=
0.类型二 用平面向量求解平面几何问题例2 已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证1BE⊥CF;2AP=AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=2,则A0,0,B2,0,C2,2,E1,2,F0,1.1∵=-1,2,=-2,-1.∴·=-1×-2+2×-1=0,∴⊥,即BE⊥CF.2设点P坐标为x,y,则=x,y-1,=2,1,∵∥,∴x=2y-1,即x=2y-2,同理,由∥,得y=-2x+4,由得∴点P的坐标为.∴||==2=||,即AP=AB.反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路1向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底.
②用基底表示相关向量.
③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.
④把几何问题向量化.2向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.
②把相关向量坐标化.
③用向量的坐标运算找出相应关系.
④把几何问题向量化.跟踪训练2 如图,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连结DP,EF,求证DP⊥EF.证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1,AE=a0a1,则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,∴·=+·+=·+·+·+·=1×a×cos180°+1×1-a×cos90°+a×a×cos45°+a×1-a×cos45°=-a+a2+a1-a=
0.∴⊥,即DP⊥EF.方法二 如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设正方形ABCD的边长为1,AP=λ0λ,则D0,1,P,E,F.∴=,=.∴·=λ-λ2+λ2-λ=0,∴⊥,即DP⊥EF.类型三 向量在物理学中的应用例3 1在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°如图,求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.解 如图,两根绳子的拉力之和+=,且||=||=300N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||·cos30°=150N,||=||·sin30°=150N,所以||=||=150N.答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.2帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20km/h,此时水的流向是正东,流速为20km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=20km/h,水流的方向为正东,速度为|v2|=20km/h,设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v
2.由题意,可得向量v1=20cos60°,20sin60°=10,10,向量v2=20,0,则帆船的行驶速度为v=v1+v2=10,10+20,0=30,10,所以|v|==20km/h.因为tanα==α为v和v2的夹角,且为锐角,所以α=30°,所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20km/h.反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则,运算律或性质计算.第二种是坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10km/h,求小船的实际航行速度.解 设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作=a,=b,以,为邻边作矩形OACB,连结,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度.∴||===20km/h,tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,∴小船的实际航行速度为20km/h,按北偏东30°的方向航行.例4 已知两恒力F1=3,4,F2=6,-5作用于同一质点,使之由点A20,15移动到点B7,0.1求力F1,F2分别对质点所做的功;2求力F1,F2的合力F对质点所做的功.解 1=7,0-20,15=-13,-15,W1=F1·=3,4·-13,-15=3×-13+4×-15=-99J,W2=F2·=6,-5·-13,-15=6×-13+-5×-15=-3J.∴力F1,F2对质点所做的功分别为-99J和-3J.2W=F·=F1+F2·=[3,4+6,-5]·-13,-15=9,-1·-13,-15=9×-13+-1×-15=-117+15=-102J.∴合力F对质点所做的功为-102J.反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m,其中|F1|=2N,方向为北偏东30°,|F2|=4N,方向为北偏东60°,|F3|=6N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.解 以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示.则F1=1,,F2=2,2,F3=-3,3,所以F=F1+F2+F3=2-2,2+4.又因为位移s=4,4,所以合力F所做的功为W=F·s=2-2×4+2+4×4=4×6=24J.即合力F所做的功为24J.1.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________J.答案 300解析 W=F·s=|F||s|cos〈F,s〉=6×100×cos60°=300J.2.过点A2,3,且垂直于向量a=2,1的直线方程为________________.答案 2x+y-7=0解析 设Px,y为直线上一点,则⊥a,即x-2×2+y-3×1=0,即2x+y-7=
0.3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10N,则每根绳子的拉力大小为______N.答案 10解析 设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10N,∴每根绳子的拉力都为10N.
4.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.答案 22解析 由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以+·-=2,即-·-2=
2.又因为2=25,2=64,所以·=
22.5.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为________.答案 2解析 连结AO,∵O是BC的中点,∴=+.又∵=m,=n,∴=+.又∵M,O,N三点共线,∴+=1,则m+n=
2.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
一、填空题1.在△ABC中,已知A4,1,B7,5,C-4,7,则BC边的中线AD的长是________.答案 解析 ∵BC的中点为D,=,∴||=.2.已知三个力F1=-2,-1,F2=-3,2,F3=4,-3同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力F4,则F4=________.答案 1,2解析 ∵物体平衡,∴F1+F2+F3+F4=0,∴F4=-F1-F2-F3=--2,-1--3,2-4,-3=1,2.3.一条河宽为800m,一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为________min.答案 3解析 ∵v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,∴|v实际|===16km/h.∴所需时间t==
0.05h=3min.∴该船到达B处所需的时间为3min.4.在四边形ABCD中,若=1,2,=-4,2,则该四边形的面积为________.答案 5解析 ∵·=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=
5.5.已知△ABC三边BC,CA,AB的中点分别为D1,2,E3,4,F5,6,则顶点A的坐标是________.答案 7,8解析 设点A的坐标为x,y.由已知得=4,4,=x-3,y-4.∵∥且||=||,∴解得或∵与同向,故-1,0舍去,∴A点的坐标为7,8.6.过点A3,-2且垂直于向量n=5,-3的直线方程是____________________.答案 5x-3y-21=0解析 设Px,y为直线上异于A的任意一点,∴=x-3,y+2,又⊥n,∴5x-3-3y+2=0,即5x-3y-21=
0.7.在▱ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________.答案 解析 设AB的长为aa>0,因为=+,=+=-,所以·=+·-=·-2+2=-a2+a+
1.由已知,得-a2+a+1=1,又因为a>0,所以a=,即AB的长为.8.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则+·=________.答案 -解析 如图,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A0,0,B2,0,D0,1,∴C2,1.∵E,F分别为BC,CD的中点,∴E,F1,1,∴+=,=-2,1,∴+·=3×-2+×1=-.9.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,若|AB|=,则·=________.答案 -解析 如图,作OD⊥AB于点D,则在Rt△AOD中,OA=1,AD=,所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以·=||||cos120°=1×1×-=-.10.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足3--=0,则△ABM与△ABC的面积之比为________.答案 1∶3解析 如图,D为BC边的中点,则=+.因为3--=0,所以3=2,所以=,所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.
二、解答题11.在长江南岸某渡口处,江水以
12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?解 如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.因为+=,所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=
12.5,||=25,所以∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.12.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=λ,=,求·的最小值.解 在等腰梯形ABCD中,由AB=2,BC=1,∠ABC=60°,可得DC=1,=+λ,=+,∴·=+λ·+=·+·+λ·+λ·=2×1×cos60°+2×+λ×1×1×cos60°+λ·×cos120°=++,由对勾函数的性质知·≥2+=,当且仅当=,即λ=舍负时,取得最小值.
13.如图所示,在正三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且分别靠近点A,点B,且AE,CD交于点P.求证BP⊥DC.证明 设=λ,并设△ABC的边长为a,则有=+=λ+=λ-=2λ+1-λ,=-.∵∥,∴2λ+1-λ=k-k.于是有解得λ=.∴=,∴=+=+,=-,从而·=+·-=a2-a2-a2cos60°=0,∴⊥,∴BP⊥DC.
三、探究与拓展14.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为________.答案 2解析 由题意得,·=,∵2=+2=2+2·+2=2+2-2·=2+9-2×=
5.∴2=1∴AD=||=1,∴AC=
2.15.如图,已知平行四边形ABCD的顶点A0,0,B4,1,C6,8.1求顶点D的坐标;2若=2,F为AD的中点,求AE与BF的交点I的坐标.解 1设点Dm,n,因为=,所以m,n=6,8-4,1=2,7,所以顶点D的坐标为2,7.2设点Ix,y,则点F的坐标为,由于=2,故xE-2,yE-7=26-xE,8-yE,所以E,由于=,=x-4,y-1,∥,所以x-4=-3y-1,
①又∥,所以x=y,
②解
①②得x=,y=.则点I的坐标为.。