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文本内容:
3.
1.5 空间向量的数量积学习目标
1.理解空间向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.
2.掌握两个向量的数量积的主要用途.
3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直,会求空间两向量的夹角.知识点一 空间向量的夹角1.定义a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.2.图形表示角度表示〈a,b〉=0〈a,b〉是锐角〈a,b〉是直角〈a,b〉是钝角〈a,b〉=π
3.范围0≤〈a,b〉≤π.4.空间向量的垂直如果〈a,b〉=,那么称a与b互相垂直,记作a⊥b.知识点二 空间向量的数量积思考 两个向量的数量积是数量,还是向量?答案 数量,由数量积的定义a·b=|a||b|cos〈a,b〉,知其为数量而非向量.梳理 1定义
①设a,b是空间两个非零向量,把数量|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积.
②记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.2运算律交换律a·b=b·a数乘向量与向量数量积的结合律λa·b=λa·bλ∈R分配律a·b+c=a·b+a·c3坐标表示已知非零向量a,b,a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2,则
①a·b=x1x2+y1y2+z1z
2.
②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=
0.
③|a|==.
④cos〈a,b〉=.知识点三 空间中两点间的距离公式思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗?答案 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根,因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.梳理 在空间直角坐标系中,设Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则AB=.1.若a·b=0,则a=0或b=
0.×2.〈a,b〉与a,b都表示直角坐标系下的点.×3.在△ABC中,〈,〉=∠B.×4.对于向量a,总有|a|2=a
2.√类型一 空间向量的数量积运算例1 1下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明.
①p2·q2=p·q2;
②|p+q|·|p-q|=|p2-q2|;
③若a与a·b·c-a·c·b均不为0,则它们垂直.解
①此命题不正确.∵p2·q2=|p|2·|q|2,而p·q2=|p|·|q|·cos〈p,q〉2=|p|2·|q|2·cos2〈p,q〉,∴当且仅当p∥q时,p2·q2=p·q
2.
②此命题不正确.∵|p2-q2|=|p+q·p-q|=|p+q|·|p-q|·|cos〈p+q,p-q〉|,∴当且仅当p+q∥p-q时,|p+q|·|p-q|=|p2-q2|.
③此命题正确.∵a·[a·b·c-a·c·b]=a·a·b·c-a·a·c·b=a·ba·c-a·ba·c=0,且a与a·b·c-a·c·b均为非零向量,∴a与a·b·c-a·c·b垂直.2设θ=〈a,b〉=120°,|a|=3,|b|=4,求
①a·b;
②3a-2b·a+2b.解
①∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉,∴a·b=3×4×cos120°=-
6.
②∵3a-2b·a+2b=3|a|2+4a·b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos120°-4|b|2,∴3a-2b·a+2b=3×9+4×3×4×-4×16=27-24-64=-
61.反思与感悟
1.已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.2.如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=________.答案 解析 ∵|a+3b|2=a+3b2=a2+6a·b+9b2=1+6×cos60°+9=13,∴|a+3b|=.命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面ABB1A1的中心,F为A1D1的中点.试计算1·;2·;3·.解 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=
0.1·=·+=b·=|b|2=42=
16.2·=+·+=·a+c=|c|2-|a|2=22-22=
0.3·=+·+=·=-a+b+c·=-|a|2+|b|2=
2.反思与感悟 两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量积为
0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求1+·+;2|++|.解 1+·+=+·-+-=+·+-2=12+1×1×cos60°-2×1×1×cos60°+1×1×cos60°+12-2×1×1×cos60°=
1.2|++|====.类型二 利用数量积求夹角或模例3 如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.1求AC′的长;2求与的夹角的余弦值.解 1∵=++,∴||2=++2=||2+||2+||2+2·+·+·=42+32+52+20+10+
7.5=
85.∴||=.2设与的夹角为θ,方法一 ∵ABCD是矩形,∴||==
5.∴由余弦定理可得cosθ===.方法二 设=a,=b,=c,依题意得·=a+b+c·a+b=a2+2a·b+b2+a·c+b·c=16+0+9+4×5×cos60°+3×5×cos60°=16+9+10+=,∴cosθ===.反思与感悟
1.求两点间的距离或某线段的长度,就是把此线段用向量表示,然后用|a|2=a·a,即|a|=通过向量运算求|a|.2.对于空间向量a,b,有cos〈a,b〉=.利用这一结论,可以较方便地求解异面直线所成的角的问题,由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为,故〈a,b〉∈时,它们相等;而当〈a,b〉∈时,它们互补.跟踪训练3 如图,已知线段AB⊥平面α,BC⊂α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.解 ∵=++,∴||2=++2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=12+22·2·cos90°+2·2·cos120°+2·2·cos90°=8,∴||=2,即A,D两点间的距离为
2.类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例4 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证OA⊥BC.证明 因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌△OAB,所以∠AOC=∠AOB.又·=·-=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=0,所以⊥,即OA⊥BC.反思与感悟
1.证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.2.证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为
0.跟踪训练4 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为________.答案 45°解析 ∵a与2b-a垂直,∴a·2b-a=0,即2a·b-|a|2=
0.∴2|a||b|·cos〈a,b〉-|a|2=0,∴4cos〈a,b〉-4=0,∴cos〈a,b〉=,又〈a,b〉∈[0°,180°],∴a与b的夹角为45°.1.若a=2,-31,b=203,c=022,则a·b+c的值为________.答案 3解析 ∵b+c=225,∴a·b+c=4-6+5=
3.2.已知向量a=110,b=-102,且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是________.答案 解析 依题意得ka+b·2a-b=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.3.已知a,b为两个非零空间向量,若|a|=2,|b|=,a·b=-,则〈a,b〉=________.答案 解析 cos〈a,b〉==-,又∵0≤〈a,b〉≤π,∴〈a,b〉=.4.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为________.答案 解析 ||2=2=++2=2+2+2+2·+·+·=12+22+12+2×1×2×cos120°+0+2×1×cos120°=2,∴||=,∴EF的长为.5.已知A2,-51,B2,-24,C1,-41,则向量与的夹角为________.答案 解析 ∵=033,=-110,∴||=3,||=,·=0×-1+3×1+3×0=3,∴cos〈,〉==,又∵〈,〉∈[0,π],∴〈,〉=.1.在几何体中求空间向量数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.3代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解.2.空间向量的数量积和夹角有关,经常以空间向量数量积为工具,解决立体几何中与夹角相关的问题,把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题,但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.
一、填空题1.设a,b,c为两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|=________.答案 解析 |a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14,故|a-2b+3c|=.2.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为________.答案 解析 ∵=++,∴||2=++2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1+2cos60°+cos60°+cos60°=6,∴||=.3.已知空间三点A111,B-104,C2,-23,则与的夹角θ的大小是________.答案 解析 =-2,-13,=-13,-2,·=-7,||=,||=,∴cosθ==-,又∵θ∈[0,π],∴θ=.4.若向量a=11,x,b=121,c=111,且满足条件c-a·2b=-2,则x=________.答案 2解析 据题意,有c-a=001-x,2b=242,故c-a·2b=21-x=-2,解得x=
2.5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=________.答案 解析 |a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×cos+22=7,∴|a+b|=.6.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.答案 解析 将|a-b|=化为a-b2=7,求得a·b=,再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉,求得cos〈a,b〉=.7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.答案 -13解析 ∵a+b+c=0,∴a+b+c2=0,∴a2+b2+c2+2a·b+b·c+c·a=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-
13.8.已知a=cosα,1,sinα,b=sinα,1,cosα,则向量a+b与a-b的夹角是________.答案 90°解析 ∵a=cosα,1,sinα,b=sinα,1,cosα,∴a+b=sinα+cosα,2,sinα+cosα,a-b=cosα-sinα,0,sinα-cosα,∴a+ba-b=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0,∴a+b⊥a-b.∴向量a+b与a-b的夹角是90°.9.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,且m⊥n,则实数λ=________.答案 -解析 ∵m·n=a+b·a+λb=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18+λ×3×4×cos135°+3×4×cos135°+λ×16=6-12λ+16λ=6+4λ,∴m·n=0=6+4λ,∴λ=-.10.将AB=2,BC=2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角,则B,D间的距离为________.答案 解析 作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F.由已知可得AC=4,DE=BF=,∴AE=1,CF=1,∴EF=
2.∵二面角的大小为60°,∴与的夹角为120°,∴||2=++2=7,∴||=,∴B,D间的距离为.11.已知向量a=531,b=,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为________________.答案 ∪解析 由已知得a·b=5×-2+3t+1×=3t-,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b0,即3t-0,所以t.若a与b的夹角为180°,则存在λ0,使a=λbλ0,即531=λ,所以所以t=-,故t的取值范围是∪.
二、解答题12.已知空间三点A023,B-216,C1,-15,求以,为邻边的平行四边形的面积S.解 ∵=-2,-13,=1,-32,∴||==,||==,cos〈,〉===,且〈,〉∈[0,π],∴sin〈,〉=,∴S=||||·sin〈,〉=7,∴以,为邻边的平行四边形的面积为
7.
13.如图,在直三棱柱侧棱垂直于底面的棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.1求BN的长;2求与夹角的余弦值.解 以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.1依题意得B010,N101,故||==,所以线段BN的长为.2依题意得A1102,C000,B1012,所以=1,-12,=012,·=1×0+-1×1+2×2=
3.又因为||=,||=,所以cos〈BA1,〉==.即与夹角的余弦值为.
三、探究与拓展14.已知向量a,b,|a|=1,|b|=
2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,则a·b的最大值是________.答案 解析 由已知可得≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|a+b·e|由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥|a+b|成立.∴6≥a+b2=a2+b2+2a·b=12+22+2a·b.即6≥5+2a·b,∴a·b≤.
15.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.1设侧棱长为1,求证AB1⊥BC1;2设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.1证明 =+,=+.∵BB1⊥平面ABC,∴·=0,·=
0.又△ABC为正三角形,∴〈,〉=π-〈,〉=π-=.∵·=+·+=·+·+2+·=||||·cos〈,〉+2=-1+1=0,∴AB1⊥BC
1.2解 结合1知·=||||·cos〈,〉+2=2-
1.又||===||,∴cos〈,〉==,∴||=2,即侧棱长为
2.。