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文本内容:
3.
2.3 空间的角的计算学习目标
1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.
2.掌握向量法解决空间角的计算问题.
3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一 空间角的计算向量法空间三种角的向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=|cos〈a,b〉|=.直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为e,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈e,n〉|=二面角设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|=.[0,π]知识点二 向量法求线面角、二面角的原理1.向量法求直线与平面所成角的原理条件直线l方向向量为e与平面α法向量为n所成的角为θ图形关系〈e,n〉∈,θ=-〈e,n〉〈e,n〉∈,θ=〈e,n〉-计算sinθ=|cos〈e,n〉|
2.向量法求二面角的原理条件平面α,β的法向量分别为n1,n2,α,β所构成的二面角的大小为θ,〈n1,n2〉=φ图形关系θ=φθ=π-φ计算cosθ=cosφcosθ=-cosφ1.两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.×2.若向量n1,n2分别为二面角的两个半平面的法向量,则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1,n2〉=.×3.直线与平面所成角的范围为.×类型一 求两条异面直线所成的角例1 如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解 以O为坐标原点,,的方向为x轴,y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系,则O000,O101,,A,00,A1,1,,B020,∴=-,1,-,=,-1,-.∴|cos〈,〉|===.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时,若能构建空间直角坐标系,则建立空间直角坐标系,利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解 不妨设正方体的棱长为2,以D点为坐标原点,分别取DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A200,C020,E102,F112,则=-102,=1,-12,∴||=,||=,·=-1+0+4=
3.又·=||||cos〈,〉=cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.类型二 求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解 以A点为坐标原点,AB,AA1所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A000,B0,a0,A100,a,C1,方法一 取A1B1的中点M,则M,连结AM,MC1,有=,=0,a0,=00,a.∴·=0,·=0,∴⊥,⊥,则MC1⊥AB,MC1⊥AA1,又AB∩AA1=A,AB,AA1⊂平面ABB1A1,∴MC1⊥平面ABB1A
1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.由于=,=,∴·=0++2a2=,||==a,||==a,∴cos〈,〉==.∵〈,〉∈[0°,180°],∴〈,〉=30°,又直线与平面所成的角在[0°,90°]范围内,∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.方法二 =0,a0,=00,a,=.设侧面ABB1A1的法向量为n=λ,y,z,∴即∴y=z=
0.故n=λ,00.∵=,∴cos〈,n〉==-,∴|cos〈,n〉|=.又直线与平面所成的角在[0°,90°]范围内,∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法,即先求平面的法向量与斜线的夹角,再进行换算.跟踪训练2 如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解 由题设条件知,以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AS所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示.设AB=1,则A000,B010,C110,D,S001,∴=001,=-1,-11.显然是底面ABCD的法向量,它与已知向量的夹角β=90°-θ,故有sinθ=cosβ===,∵θ∈[0°,90°],∴cosθ==.类型三 求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角.解 方法一 如图,以A为坐标原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PA=AB=a,AC=b,连结BD与AC交于点O,取AD的中点F,则Cb00,B0,a0,=.∴Db,-a0,P00,a,∴E,O,=,=b00.∵·=0,∴⊥,∵==,·=0,∴⊥.∴∠EOF为平面EAC与平面ABCD的夹角或补角.cos〈,〉==.又∵〈,〉∈[0°,180°],∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.方法二 建系如方法一,∵PA⊥平面ABCD,∴=00,a为平面ABCD的法向量,=,=b00.设平面AEC的法向量为m=x,y,z.由得∴x=0,y=z,∴取m=011,cos〈m,〉===.又∵〈m,〉∈[0°,180°],∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.反思与感悟
1.当空间直角坐标系容易建立有特殊的位置关系时,用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量,经过简单的运算即可求出,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小相等或互补,但我们可以根据图形观察得到结论,因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.
2.注意法向量的方向一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3 如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.1求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;2求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解 1以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A000,B200,C020,D110,A1004,C1024,所以=20,-4,=1,-1,-4.因为cos〈,〉===,又异面直线所成角的范围为,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.2设平面ADC1的法向量为n1=x,y,z,因为=110,=024,所以即取z=1,得x=2,y=-2,所以n1=2,-21是平面ADC1的法向量.同理,取平面ABA1的法向量为n2=010.设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ,由|cosθ|===,得sinθ=.所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.1.在一个二面角的两个半平面内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为0,-13,224,则这个二面角的余弦值为________.答案 ±解析 由==,可知这个二面角的余弦值为或-.2.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是________.答案 60°解析 =++,∴·=++·=·+2+·=0+12+0=1,又||=2,||=
1.∴cos〈,〉===.∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60°.3.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值是________.答案 解析 以D为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则B110,C010,D000,C1012,故=110,=012,=010,设平面BDC1的法向量为n=x,y,z,则即令z=1,则y=-2,x=2,所以n=2,-21.设直线CD与平面BDC1所成的角为θ,则sinθ=|cos〈n,〉|==.4.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是________.答案 30°解析 以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P001,C1,,0,=1,,-1,平面ABCD的一个法向量为n=001所以cos〈,n〉==-,又因为〈,n〉∈[0°,180°],所以〈,n〉=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成的角是30°.向量法求角1两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cosφ|.2直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|或cosθ=sinφ.3二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.
一、填空题1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角为________.答案 30°解析 异面直线所成角的范围是0°,90°],所以l1与l2这两条异面直线所成的角为180°-150°=30°.2.已知两平面的法向量分别为m=010,n=011,则两平面所成的二面角为________.答案 45°或135°解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.3.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若〈a,n〉=,则l与α所成的角为________.答案 解析 线面角的范围是.∵〈a,n〉=,∴l与法向量所在直线所成角为,∴l与α所成的角为.4.已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则AB1与ED1所成角的余弦值为________.答案 解析 ∵A220,B1202,E010,D1022,∴=0,-22,=012,∴||=2,||=,·=0-2+4=2,∴cos〈,〉===,∴AB1与ED1所成角的余弦值为.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________.答案 解析 设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.则D000,B110,B1111.平面ACD1的一个法向量为=111.又=001,则cos〈,〉===.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为=.6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱A1B1的中点,则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为________.答案 解析 以A1为坐标原点,A1B1,A1D1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A002,C222,E100,=220,=10,-2.∵AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BDD1B1,则=220是平面BDD1B1的一个法向量.设直线AE与平面BDD1B1所成的角为θ,则sinθ=|cos〈,〉|=.7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为________.答案 90°解析 以A1为坐标原点,,的方向为y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设BB1=1,则A001,B1,C10,,0,B.∴=,=,∴·=--1=0,∴⊥.即AB1与C1B所成角的大小为90°.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为________.答案 解析 如图所示,取AC的中点O,连结OB,取A1C1的中点O1,连结OO1,以O为坐标原点,OC,OO1所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,易得B-,00,A0,-10,C1013,B1-,03,∴=003,=-,13,=023,设平面AB1C1的法向量为n=x,y,z,则即∴n=,设BB1与平面AB1C1所成的角为θ,θ∈,∵sinθ=|cos〈,n〉|==,∴θ=.
9.如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________.答案 解析 以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E001,F120,B200,D020.=12,-1,=-220,故cos〈,〉==.10.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为________.答案 解析 如图,以点D1为坐标原点,D1A1-D1C1,D1D所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=a,则AA1=2a,所以D002a,C10,a0,Ba,a2a,C0,a2a.设平面BDC1的一个法向量为n=x,y,z,则∴∴∴n=,∴·n=0,-a0·=a,∴cos〈,n〉==,设CD与平面BDC1所成角为α,∴sinα=.
二、解答题11.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,求该二面角的大小.解 由条件,知·=0,·=0,=++.∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+82+2×6×8cos〈,〉=
22.∴cos〈,〉=-,又∵〈,〉∈[0°,180°],∴〈,〉=120°,∴二面角的大小为60°.12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是CC1,D1A1,AB的中点,求GA与平面EFG所成角的正弦值.解 如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则A200,E021,F102,G210.∴=1,-21,=2,-1,-1,=0,-10.设n=x,y,z是平面EFG的一个法向量,则由n⊥,n⊥,得即解得x=y=z.令x=1,得n=111.设GA与平面EFG所成的角为θ,则sinθ=|cos〈,n〉|==,∴GA与平面EFG所成角的正弦值为.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.1求异面直线BD1与CE所成的角的余弦值;2求二面角A1-EC-A的余弦值.解 如图所示,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=1,则B110,D1001,C010,E,A1101,1=-1,-11,=,故cos〈,〉===-,又异面直线所在角的范围是,所以异面直线BD1与CE所成的角的余弦值是.2因为DD1⊥平面AEC,所以为平面AEC的一个法向量,=001,设平面A1EC的法向量为n=x,y,z,又=,=-11,-1,则即取n=121,所以cos〈,n〉==,结合图形知,二面角A1-EC-A的余弦值为.
三、探究与拓展14.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为________.答案 0解析 ·=·-=·-·=||·||·cos-||·||·cos=||||-||=
0.∴cos〈,〉==
0.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=
1.1证明PC⊥AD;2求二面角A-PC-D的正弦值;3设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.1证明 如图,以点A为坐标原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A000,D200,C010,B,P002.可得=01,-2,=200,则·=0,所以PC⊥AD.2解 由1可得=01,-2,=2,-10.设平面PCD的法向量为n=x,y,z.由得令z=1,可得n=121.又=200是平面PAC的一个法向量,所以cos〈,n〉==,从而sin〈,n〉=.所以二面角A-PC-D的正弦值为.3解 由2可得=2,-10.设AE=h,h∈
[02],则E00,h,所以=.所以cos〈,〉===,解得h=,即AE=.。