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文本内容:
1.
3.2奇偶性A级 基础巩固
一、选择题1.函数fx=x2+ A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析函数的定义域为[0,+∞,不关于原点对称,所以函数fx是非奇非偶函数.答案C2.下列函数中既是偶函数又在0,+∞上是增函数的是 A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2x+1解析四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A,y=x3是奇函数;对于选项B,y=|x|+1是偶函数,且在0,+∞上是增函数;对于选项C,y=-x2+1是偶函数,但是它在0,+∞上是减函数;对于选项D,y=2x+1是非奇非偶函数.故选B.答案B3.已知y=fx,x∈-a,a,Fx=fx+f-x,则Fx是 A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析F-x=f-x+fx=Fx.又因为x∈-a,a关于原点对称,所以Fx是偶函数.答案B4.设函数fx=且fx为偶函数,则g-2= A.6 B.-6 C.2 D.-2解析因为fx为偶函数,所以f-2=g-2=f2=22+2=
6.答案A5.已知fx为R上的奇函数,且满足fx+4=fx,当x∈0,2时,fx=2x3,则f7= A.-2B.2C.-98D.98解析因为fx+4=fx,所以f7=f3+4=f3=f-1+4=f-1.又因为f-x=-fx,所以f-1=-f1=-2×12=-2,所以f7=-
2.答案A
二、填空题
6.偶函数fx在区间[0,+∞上的图象如图,则函数fx的增区间为______________.解析偶函数的图象关于y轴对称,可知函数fx的增区间为[-1,0]∪[1,+∞.答案[-1,0]∪[1,+∞7.已知函数fx是定义域为R的奇函数,且f-1=2,则f0+f1=________.解析因为fx为R上的奇函数,所以f0=0,f1=-f-1=-2,所以f0+f1=0-2=-
2.答案-28.函数gx为奇函数,fx=gx+1,若fa=2,则f-a=________.解析因为gx为奇函数,所以g-a=-ga.由得f-a=-1+1=
0.答案0
三、解答题9.已知函数fx,x∈R,若对任意实数a,b都有fa+b=fa+fb,求证fx为奇函数.证明设a=0,则fb=f0+fb,所以f0=
0.又设a=-x,b=x,则f0=f-x+fx.所以f-x=-fx.所以fx为奇函数.10.已知函数fx=1-.1若gx=fx-a为奇函数,求a的值;2试判断fx在0,+∞内的单调性,并用定义证明.解1由已知gx=fx-a得gx=1-a-,因为gx是奇函数,所以g-x=-gx,即1-a-=-,解得a=
1.2函数fx在0,+∞内是单调增函数,下面证明设0x1x2,且x1,x2∈0,+∞,则fx1-fx2=1--=.因为0x1x2,所以x1-x20,x1x20,从而0,即fx1fx2.所以函数fx在0,+∞内是单调增函数.B级 能力提升1.已知函数y=fx是R上的偶函数,且fx在[0,+∞上是减函数,若fa≥f-2,则a的取值范围是 A.a≤-2B.a≥2C.a≤-2或a≥2D.-2≤a≤2解析由已知,函数y=fx在-∞,0上是增函数,若a0,由fa≥f-2得a≥-2;若a≥0,由已知可得fa≥f-2=f2,a≤
2.综上知-2≤a≤
2.答案D2.已知fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0上是增函数.若f-3=0,则0的解集为______________________.解析因为fx是定义在R上的偶函数,且在区间-∞,0上是增函数,所以fx在区间0,+∞上是减函数,所以f3=f-3=
0.当x0时,fx0,解得x3;当x0时,fx0,解得-3x
0.故-3x0或x
3.答案{x|-3x0或x3}3.已知函数y=fxx≠0对于任意的x,y∈R且x,y≠0都满足fxy=fx+fy.1求f1,f-1的值;2判断函数y=fxx≠0的奇偶性.解1因为对于任意的x,y∈R且x,y≠0都满足fxy=fx+fy,所以令x=y=1,得到f1=f1+f1,所以f1=0,令x=y=-1,得到f1=f-1+f-1,所以f-1=
0.2由题意可知,函数y=fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,关于原点对称,令y=-1,得fxy=f-x=fx+f-1,因为f-1=0,所以f-x=fx,所以y=fxx≠0为偶函数.。