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模块综合检测时间120分钟,满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.将答案填在题中的横线上1.函数fx=lgx2-2x-3的定义域为________.解析由x2-2x-30得x-1或x
3.答案-∞,-1∪3,+∞2.在△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a=2,A=,B=,则b=________.解析由正弦定理=得,b===+
1.答案+13.已知等比数列{an},a4=7,a6=21,则a10=________.解析∵a4=a1q3,a6=a1q5,∴q2==
3.∴a10=a6q4=
189.答案1894.已知不等式x2-2x+k2-10对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是________.解析由题意知Δ=-22-4k2-10,即k2-20,所以k∈-∞,-∪,+∞.答案-∞,-∪,+∞5.函数y=log2x1的最小值为________.解析∵x1,∴x++5=x-1++6≥2+6=
8.当且仅当x-1=即x=2时取等号.∴y=log2≥log28=
3.∴y=log2x1的最小值为
3.答案36.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=0,S15=25,则Sn=________.解析由题意知解得d=,a1=-3,所以Sn=-3n+×=.答案7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为________.解析已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小,由直线方程x+2y-1=0和3x+y-8=0,解得A3,-1,故OM斜率的最小值为-.答案-8.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11=________.解析设等差数列的公差为d,由a4-2a+3a8=0,得a7-3d-2a+3a7+d=0,从而有a7=2或a7=0a7=b7,而{bn}是等比数列,故舍去.设{bn}的公比为q,则b7=a7=2,所以b2b8b11=·b7q·b7q4=b73=23=
8.答案89.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1n∈N*的个位数,则a2016的值是________.解析a1a2=2×7=14,所以a3=47×4=28,所以a4=84×8=32,所以a5=28×2=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以从第三项起,{an}成周期数列,周期数为62016=336×6,所以a2016=a6=
6.答案610.若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB=________.解析依题意,结合正弦定理得6a=4b=3c,设3c=12kk0,则有a=2k,b=3k,c=4k;由余弦定理得cosB===.答案11.张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km.解析如图,由条件知AB=24×=
6.在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,所以BS=sin30°=
3.即电动车在点B时与电视塔S的距离是3km.答案312.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是________.解析对于x2+3xy-1=0可得y=,即x+y=+≥2=,当且仅当x=时取等号.答案13.已知二次函数fx=ax2-x+cx∈R的值域为[0,+∞,则+的最小值为________.解析∵二次函数fx=ax2-x+cx∈R的值域[0,+∞,∴a0,且=
0.∴ac=,∴c
0.∴+=+++≥2+2=2+8=10,当且仅当a=c时取等号.答案1014.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为________.解析设等比数列{an}的公比为q,∴9S3=S
6.∴8a1+a2+a3=a4+a5+a
6.∴=q3=
8.∴q=2,∴an=2n-
1.∴=n-
1.∴数列是首项为1,公比为的等比数列,故数列的前5项和为=.答案
二、解答题本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分求不等式12x2-axa2a∈R的解集.解原不等式可化为3x-a4x+a
0.当a0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};当a0时,不等式的解集为.16.本小题满分14分△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.1求B;2若b=2,求△ABC面积的最大值.解1由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.
①又A=π-B+C,故sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC.
②由
①②和C∈0,π得sinB=cosB.又B∈0,π,所以B=.2△ABC的面积S=acsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+
1.17.本小题满分14分某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q万件与广告费x万元之间的函数关系为Q=x≥0.已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万元此产品仍需再投入32万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.1试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数;2当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?解1由题意可得,产品的生产成本为32Q+3万元,每万件销售价为×150%+×50%万元,所以年销售收入为·Q=32Q+3+x万元,所以年利润W=32Q+3+x-32Q+3-x=32Q+3-x=x≥0.2令x+1=tt≥1,则W==50-.因为t≥1,所以+≥2=8,即W≤42,当且仅当=,即t=8时,W有最大值42,此时x=
7.答当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.18.本小题满分16分已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为aa∈R,且,,成等比数列.1求数列{an}的通项公式;2对n∈N*,试比较+++…+与的大小.解1设等差数列{an}的公差为d,由题意可知2=·,即a1+d2=a1a1+3d,从而a1d=d
2.因为d≠
0.所以d=a1=a.故通项公式an=na.2记Tn=++…+,因为a2n=2na,所以Tn==·=.从而,当a>0时,Tn<;当a<0时,Tn>.19.本小题满分16分在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2sinA,++=
0.1求c的值;2求△ABC面积的最大值.解1∵++=0,∴ccosB+2acosC+bcosC=0,∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0,∴sinA+2sinAcosC=
0.又∵sinA≠0,∴cosC=-,∴C=,∴c=·sinC=.2∵cosC=-=,∴a2+b2+ab=3,∴3ab≤3,即ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,∴S△ABC=absinC≤,即△ABC面积的最大值为.20.本小题满分16分在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a2-c2=b2-,a=3,△ABC的面积为6,D为△ABC内不包括三角形的边任一点,点D到三边距离之和为d.1求角A的正弦值;2求边b,c;3求d的取值范围.解1a2-c2=b2-⇒=⇒cosA=⇒sinA=.2∵S△ABC=bcsinA=
6.∴bc=
20.由=及bc=20与a=3解得b=4,c=5或b=5,c=
4.3设点D到三边的距离分别为x,y,z,则S△ABC=3x+4y+5z=6,d=x+y+z=+2x+y,又x,y满足画出不等式表示的平面区域得d
4.。