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活页作业四 平均值不等式
一、选择题1.设0<a<b,a+b=1,则下列不等式正确的是 A.b<2ab<<a2+b2B.2ab<b<a2+b2<C.2ab<a2+b2<b<D.2ab<a2+b2<<b解析∵0<a<b且a+b=1,∴0<a<b<
1.∴a2+b2>2ab,b>a2+b2,且>b.故2ab<a2+b2<b<.答案C2.下列不等式正确的是 A.a+b≥2 B.a3+b3+c3≥3abcC.≥abD.≥解析选项A,B,D忽视了a,b,c的条件应为正实数.答案C3.设函数fx=2x+-1x<0,则函数fx A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数解析因为x<0,所以fx=--2x+-1≤-2-1=-2-1,当且仅当-2x=,即x=-时取等号.所以函数fx有最大值-2-
1.答案A4.已知x>0,y>0,若不等式+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 A.-∞,-2]∪[4,+∞B.-∞,-4]∪[2,+∞C.-24D.-42解析有+≥2=8,要使不等式+>m2+2m恒成立,则m2+2m<
8.解得-4<m<
2.答案D
二、填空题5.若x>0,则函数fx=x+的最小值是________.解析因为x>0,所以fx=x+=++≥3=6,当且仅当==,即x=4时取等号.答案66.若对任意x>0,关于x的不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围是________.解析由x>0,知原不等式等价于不等式0<≤=x++3恒成立.所以≤min=5,即0<≤
5.解得a≥.答案
三、解答题7.设单位圆的内接三角形的面积为,三边长分别为a,b,c且不全相等,求证++>++.证明∵三角形的面积S=absinC=,=2,∴abc=
1.∴++=++=bc+ac+ab=≥c+a+b=++=++,当且仅当a=b=c时取等号.∵三边长a,b,c不全相等,∴++>++.8.已知a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+4c2的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解显然4a04b04c2>
0.则4a+4b+4c2≥3,当且仅当a=b=c2时取等号.因为a+b+c=1,所以a+b=1-c.所以a+b+c2=c2-c+1=2+.所以当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+4c2取得最小值,且最小值为
3.
一、选择题1.给出下列不等式
①x+≥2;
②≥2;
③若0<a<1<b,则logab+logba≤-2;
④若0<a<1<b,则logab+logba≥
2.其中正确的是 A.
②④B.
①②C.
②③D.
①②④解析
①当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-
2.故
①错误.
②因为x与同号,所以=|x|+≥
2.故
②正确.
③当0<a<1<b时,logab<0,logba<0,所以-logab>0,-logba>
0.所以logab+logba=logab+≤-
2.故
③正确.
④由
③,知logab+logba≥2是错的.答案C2.对于x∈,关于x的不等式+≥16恒成立,则正数p的取值范围为 A.-∞,-9]B.-99]C.-∞,9]D.[9,+∞解析令t=sin2x,则cos2x=1-t.∵x∈,∴t∈01.关于x的不等式+≥16可化为p≥1-t.令y=1-t,则y=17-≤17-2=9,当且仅当=16t,即t=时取等号,因此,原不等式恒成立,只需p≥
9.答案D
二、填空题3.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是________.解析∵2xy=x·2y≤2,∴8=x+2y+2xy≤x+2y+2,即x+2y2+4x+2y-32≥
0.∵x>0,y>0,∴x+2y≥4,当且仅当x=2,y=1时取等号,即x+2y的最小值是
4.答案44.已知二次函数fx=ax2+2x+cx∈R的值域为[0,+∞,则+的最小值为________.解析∵二次函数fx=ax2+2x+cx∈R的值域为[0,+∞,∴a>0且c-=
0.∴c=.∴+=a2+a++≥2+2=4,当且仅当a=,即a=1时取等号.答案4
三、解答题5.已知函数fx=2x+2-x,若对于任意x∈R,关于x的不等式f2x≥mfx-6恒成立,求实数m的最大值.解由条件,知f2x=22x+2-2x=2x+2-x2-2=[fx]2-
2.因为关于x的不等式f2x≥mfx-6对任意x∈R恒成立,且fx>0,所以关于x的不等式m≤对任意x∈R恒成立.而=fx+≥2=4,当且仅当fx=2,即x=0时取等号,所以m≤
4.故实数m的最大值为
4.6.x,y,a,b均为正实数,x,y为变数,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解∵x+y>0,a>0,b>0且+=1,∴x+y=x+y=a+b++≥a+b+2=a+b+2=+2,当且仅当=时取等号.此时x+ymin=+2=18,即a+b+2=
18.又a+b=10,联立解得或。