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3.2 第一课时 一元二次不等式的解法1什么样的不等式是一元二次不等式?2如何求解一元二次不等式?3怎样理解三个二次之间的关系?1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0≥0或ax2+bx+c<0≤0其中a≠0的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+ca0的图象一元二次方程ax2+bx+c=0a0的根有两相异实根x1,x2x1<x2有两相等实根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c0a0的解集或xx2}Rax2+bx+c0a0的解集∅∅1.不等式9x2+6x+1≤0的解集是________.解析变形为3x+12≤0,∴x=-.答案2.不等式2x+35-x20的解集是________.解析原不等式等价于x2-2x-350,即x+5x-70,即-5x
7.答案{x|-5x7}3.不等式x2-2x-52x的解集是________.解析由x2-2x-52x得x2-4x-50,因为方程x2-4x-5=0的两根为-
15.故不等式x2-4x-50的解为x-1或x
5.答案{x|x-1或x5}4.在R上定义运算⊙a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙x-20的实数x的取值范围是________.解析根据定义,x⊙x-2=xx-2+2x+x-2=x2+x-20,解得-2x
1.答案-21一元二次不等式的解法[典例] 解下列不等式1x2-x-60;225x2-10x+10;3-2x2+x+
10.[解] 1方程x2-x-6=0的两根为x1=-2,x2=3,结合二次函数y=x2-x-6的图象知x2-x-60的解集为{x|x3或x-2}.2方程25x2-10x+1=0有两相等实根,x1=x2=.结合二次函数y=25x2-10x+1的图象知25x2-10x+10的解集为.3法一方程-2x2+x+1=0的解为x1=-,x2=1,函数y=-2x2+x+1的图象是开口向下的抛物线,与x轴的交点为和10,如图,观察图象知不等式的解集为.法二在不等式两边同乘-1,可得2x2-x-10,方程2x2-x-1=0的解为x1=-,x2=1;画出函数y=2x2-x-1的图象如图所示.观察图象,可得原不等式的解集为.一元二次不等式的2种方法1图象法一般地,当a0时,解形如ax2+bx+c0或≥0或ax2+bx+c0或≤0的一元二次不等式,一般可分为三步
①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;
②画出对应函数y=ax2+bx+c的图象;
③由图象得出不等式的解集.对于a0的一元二次不等式,可以直接采取类似a0时的解题步骤求解;也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.2代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解,当pq时,若x-px-q0,则xq或xp;若x-px-q0,则pxq.有口决如下“大于取两边,小于取中间”. [活学活用]1.不等式x2+x-120的解集是________.解析由x2+x-12=0,解得x1=3,x2=-
4.∴不等式x2+x-120的解集是{x|-4x3}.答案{x|-4x3}2.解下列不等式12+3x-2x20;2x4-x≤xx+3-
3.解1原不等式可化为2x2-3x-20,∴2x+1x-
20.故原不等式的解集是.2原不等式可化为2x2-x-3≥0,∴2x-3x+1≥0,故原不等式的解集是.简单分式不等式的解法[典例] 解不等式
1.[解] 法一原不等式化为-10,即0,所以x-4与x+3同号.故有或解得x4或x-3,所以原不等式的解集为{x|x-3或x4}.法二原不等式化为0,等价于x-4x+30,∴原不等式解集为{x|x-3或x4}.简单的分式不等式在求解时多化为0,0的形式,在变形的过程中,要注意等价性,同时要注意不等式是否含有等号,如≥0⇔或但不等价于fxgx≥
0. [活学活用]不等式≥2的解集为____________.解析≥2化为-2≥0,即≥0,即≤
0.它等价于⇒-1≤x
0.∴原不等式解集为{x|-1≤x0}.答案{x|-1≤x0}三个“二次”关系的应用[典例] 已知一元二次不等式x2+px+q<0的解集为,求不等式qx2+px+1>0的解集.[解] 因为x2+px+q<0的解集为,所以x1=-与x2=是方程x2+px+q=0的两个实数根,由根与系数的关系得解得所以不等式qx2+px+1>0即为-x2+x+1>0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x<
3.即不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2<x<3}.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0a≠0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化. [活学活用]1.已知x的不等式0的解集是-∞,-1∪,则a=____________.解析0等价于ax-1x+
10.即ax2+a-1x-
10.∴-1,-是方程ax2+a-1x-1=0的根.∴解得a=-
2.答案-22.已知不等式ax2+bx+c0的解集为{x|2x3},求不等式cx2-bx+a0的解集.解由题意知即代入不等式cx2-bx+a0,得6ax2+5ax+a0a0.即6x2+5x+10,解得-x-,所以所求不等式的解集为.层级一 学业水平达标1.不等式x2x的解集是________.解析由x2x,得xx-10,所以解集为-∞,0∪1,+∞.答案-∞,0∪1,+∞2.不等式x+2≤0的解集为________.解析或x2-9=0,即或x=±3,即x≤-3或x=
3.答案-∞,-3]∪{3}3.不等式组的解集为____________.解析∵x2-10的解集为{x|-1x1},x2-3x0的解集为{x|0x3},∴的解集为{x|0x1}.答案{x|0x1}4.关于x的不等式ax-2x+1-a0的解集为A,若2∈A,则a的取值范围为________.解析因为2∈A,所以2a-22+1-a0,得a∈-∞,1∪3,+∞.答案-∞,1∪3,+∞5.不等式≤0的解集为____________.解析不等式≤0等价于解得≤x
2.答案6.函数y=+log2x2-4x+3的定义域为________.解析要使函数有意义,只需即解得-3≤x1或x
3.答案[-31∪3,+∞7.若关于x的不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则实数a的取值范围是____________.解析令fx=2x2-8x-4-a=2x-22-12-a数形结合知只需f40即可.即2×42-8×4-4-a0,解得a-
4.答案-∞,-48.不等式1的解集为{x|x1或x2},那么a的值为________.解析1化为-10,即
0.等价于[a-1x+1]x-
10.∴a-1x2-a-2x-
10.∴12是方程a-1x2-a-2x-1=0的两个根.∴解得a=.答案9.求函数y=lgx2-2x-3+的定义域.解依题意可得解得∴不等式组的解是-2x-1或3x5,∴函数的定义域为-2,-1∪35.10.若函数fx=的定义域是R,求实数a的取值范围.解因为fx的定义域为R,所以不等式ax2+2ax+20恒成立.1当a=0时,不等式为20,显然恒成立;2当a≠0时,有即所以0a
2.综上可知,实数a的取值范围是[02.层级二 应试能力达标1.不等式0的解为________.解析x2x-10⇒x∈.答案2.集合A={x|x2-5x+4≤0},B={x|x2-5x+60},则A∩B=________.解析A={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4},B={x|x2-5x+60}={x|x2或x3},所以A∩B={x|1≤x2或3x≤4}.答案{x|1≤x2或3x≤4}3.不等式ax2+bx+c0的解集为-21,则不等式ax2+a+bx+c-a0的解集为________.解析由题意,∵不等式ax2+bx+c0的解集为-21,∴a0,-2+1=-,-2×1=,∴b=a,c=-2a,∴不等式ax2+a+bx+c-a0为ax2+2ax-3a0,即x2+2x-30,x+3x-10,∴x-3或x
1.答案-∞,-3∪1,+∞4.关于x的不等式ax-b0的解集是,则关于x的不等式0的解集是________.解析不等式ax-b0的解集是⇒a0,且a-2b=0,则不等式0等价于0⇔x-1x-50⇔1x
5.答案155.已知不等式ax2+bx+20的解集为,则2x2+bx+a0的解集为________.解析由题意知-,是方程ax2+bx+2=0的两实根,由根与系数的关系得,解得∴2x2+bx+a0可化为2x2-2x-
120.即x2-x-
60.∴x-3x+20,解得-2x
3.∴2x2+bx+a0的解集为{x|-2x3}.答案{x|-2x3}6.若关于x的不等式ax2-6x+a20的解集是1,m,则m=________.解析根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3,当a=2时,不等式ax2-6x+a20的解集是12,符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a20的解集是-∞,-3∪1,+∞,不符合要求,舍去.故m=
2.答案27.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.1若A∩B=
[03],求实数m的值;2若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.解由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2},1∵A∩B=
[03],∴∴∴m=
2.2∁RB={x|xm-2或xm+2}.∵A⊆∁RB,∴m-23或m+2-1,∴m5或m-
3.故m的取值范围为-∞,-3∪5,+∞.8.已知不等式ax2+bx+c0的解集为1,t,记函数fx=ax2+a-bx-c.1求证函数y=fx必有两个不同的零点;2若函数y=fx的两个零点分别为m,n,求|m-n|的取值范围.解1证明由题意知a+b+c=0,且-1,∴a0且1,∴ac0,∴对于函数fx=ax2+a-bx-c有Δ=a-b2+4ac0,∴函数y=fx必有两个不同的零点.2|m-n|2=m+n2-4mn===2+8+4,由不等式ax2+bx+c0的解集为1,t可知,方程ax2+bx+c=0的两个解分别为1和tt1,由根与系数的关系知=t,∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈1,+∞.∴|m-n|,∴|m-n|的取值范围为,+∞.第二课时 一元二次不等式的解法及其应用习题课解含参数的一元二次不等式[典例] 已知a>0,解关于x的不等式x-2ax-
20.[解] 当a0时,原不等式可化为x-
20.1当0a1时,两根的大小顺序为2,原不等式的解集为;2当a=1时,2=,原不等式解集为{x|x≠2};3当a1时,两根的大小顺序为2,原不等式的解集为.综上所述,当0a1时,原不等式解集为;当a=1时,原不等式解集为{x|x≠2};当a1时,原不等式解集为.解含参数的不等式时,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式再对参数进行讨论;若不易分解因式则可对判别式分类讨论;若二次项系数含有参数,则应先考虑二次项系数为零的情形,然后考虑二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;其次,对相应的方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.另外,注意参数的取值范围,并在此范围内进行分类讨论.[活学活用]解关于x的不等式ax2-2≥2x-axa≥0.解原不等式可变形为ax2+a-2x-2≥0,1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};2当a>0时,原不等式可变形为ax-2x+1≥0,方程ax-2x+1=0的解为x1=,x2=-
1.所以不等式的解集为.综上,a=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};a0时,原不等式的解集为.一元二次不等式的实际应用[典例] 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为
1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x0<x<1,则出厂价相应提高的比例为
0.75x,同时预计年销售量增加的比例为
0.6x.设年利润=出厂价-投入成本×年销售量.1写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;2为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?[解] 1依题意,得y=[
1.21+
0.75x-1+x]×10001+
0.6x=1000-
0.06x2+
0.02x+
0.2,所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y=1000-
0.06x2+
0.02x+
0.2.2依题意,得1000-
0.06x2+
0.02x+
0.2>
1.2-1×1000,化简,得3x2-x<0,解得0<x<.所以为使本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x的范围是.解不等式应用题的4个步骤1认真审题,抓住问题中的关键词,找准不等关系;2引入数学符号,用不等式表示不等关系,使其数学化;3求解不等式;4还原实际问题.[活学活用]某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏,为了使这批台灯每天获得400元以上不含400元的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售价格?解设这批台灯的销售价定为x元,则[30-x-15×2]·x400,即x2-30x+2000,因方程x2-30x+200=0的两根为x1=10,x2=20,所以x2-30x+2000的解为10x20,又因为x≥15,所以15≤x
20.故应将这批台灯的销售价格制订在15元到20元之间包括15元但不包括20元,才能使这批台灯每天获得400元以上不含400元的销售收入.不等式的恒成立问题[典例] 对任意x∈R,函数fx=x2+m-4x+4-2m的值总为非负,则m的取值范围为________.[解析] 由题意知Δ=m-42-44-2m≤0,得m=
0.[答案] {0}[一题多变]1.[变条件]对任意x∈R,函数fx=mx2+m-4x+4-2m的值恒大于零,求m的取值范围.解
①当m=0时,fx的值不恒大于零,舍去;
②当m≠0时,此不等式组无解,故m∈∅.综上知,不存在这样的实数m,使函数fx的值恒大于零.2.[变条件]对任意x∈[-11],函数fx=x2+m-4x+4-2m的值恒大于零,求m的取值范围.解由题意知x-2m+x2-4x+40,x-2m-x2+4x-4,因为x∈[-11],所以x-20,所以m=-x-2,所以m
1.即m的取值范围为-∞,1.3.[变条件、变设问]对任意m∈[-11],函数fx=x2+m-4x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.解由fx=x2+m-4x+4-2m=x-2m+x2-4x+4,令gm=x-2m+x2-4x+
4.由题意知在[-11]上,gm的值恒大于零,所以解得x1或x
3.故当x1或x3时,对任意的m∈[-11],函数fx的值恒大于零.解决不等式恒成立问题的2种思路1转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式组,求得参数范围;2分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.层级一 学业水平达标1.若a0,则关于x的不等式x2-4ax-5a20的解集是____________.解析x2-4ax-5a20化为x-5ax+a0,∵a0,∴5a-a.∴x-a或x5a.答案{x|x5a或x-a}2.已知a0,则关于x的不等式1的解集是________.解析不等式1可化为0,不等式等价于a-1x-
20.∵a0,∴不等式等价于x-
20.∵
2.∴原不等式的解集为.答案3.如果A={x|ax2-ax+10}=∅,则实数a的取值范围为________.解析当a=0时,有10,故A=∅成立;当a≠0时,要使A=∅,须满足∴0a≤4,综上a∈
[04].答案
[04]4.关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是________.解析由已知得若不等式组有解,∴2a+4a2+1,即a2-2a-
30.∴-1a
3.答案-135.已知关于x的不等式x2-ax+2a0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.解析x2-ax+2a0恒成立⇔Δ0,即a2-4×2a0,解得0a
8.答案086.若不等式x2-a+1x+a≤0的解集是[-43]的子集,则a的取值范围是________.解析原不等式即x-ax-1≤0,当a1时,不等式的解集为[a1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,1a≤
3.综上可得-4≤a≤
3.答案[-43]7.不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为________.解析x2-2x+5=x-12+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤
4.答案[-14]8.如果不等式1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是________.解析由4x2+6x+3=2+0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于2x2+2mx+m4x2+6x+3⇔2x2+6-2mx+3-m0对一切实数x恒成立⇔Δ=6-2m2-83-m=4m-1m-30,解得1m
3.答案139.已知对任意x∈0,+∞不等式x2-ax+20恒成立,求实数a的取值范围.解令fx=x2-ax+2=2+2-,1当a≤0时fx在0,+∞为单调递增的.f0=20,故a≤0时,x2-ax+20恒成立.2当a0时fx=x2-ax+2的对称轴为x=.∴当x∈0,+∞时,fxmin=2-.若x2-ax+20在x∈0,+∞恒成立,只要2-0即可,∴0a
2.综上,若x2-ax+20在0,+∞恒成立,则实数a的取值范围为-∞,2.10.已知不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb}.1求a,b;2解不等式ax2-ac+bx+bc
0.解1∵不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb},∴x=1与x=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b
1.由根与系数的关系,得解得2原不等式ax2-ac+bx+bc0,可化为x2-2+cx+2c0,即x-2x-c
0.
①当c2时,不等式x-2x-c0的解集为{x|2xc};
②当c2时,不等式x-2x-c0的解集为{x|cx2};
③当c=2时,不等式x-2x-c0的解集为∅.综上所述,当c2时,不等式ax2-ac+bx+bc0的解集为{x|2xc};当c2时,不等式ax2-ac+bx+bc0的解集为{x|cx2};当c=2时,不等式ax2-ac+bx+bc0的解集为∅.层级二 应试能力达标1.不等式x2-2x+3≤a2-3a-2在R上的解集为∅,则实数a的取值范围是________.解析∵x2-2x-a2-3a-5≤0的解集为∅,∴Δ=4+4a2-3a-50,∴a2-3a-40,∴-1a4,即实数a的取值范围为-14.答案-142.对任意a∈[-23],不等式x2+a-6x+9-3a0恒成立,则x的取值范围为____________.解析设fa=x2+a-6x+9-3a=x-3a+x2-6x+9,由已知条件得即∴∴x0或x
5.即x的取值范围为-∞,0∪5,+∞.答案-∞,0∪5,+∞3.关于x的不等式ax2+2x+a0的解集为R,则实数a的取值范围是________.解析当a=0时,易知条件不成立;当a≠0时,要使不等式ax2+2x+a0的解集为R,必须满足解得a
1.答案1,+∞4.关于x的不等式x2+ax+-c0的解集为m,m+6,则实数c=________.解析由x2+ax+-c0,得2c,即--x-,∴-=
6.解得c=
9.答案95.在R上定义运算⊗x⊗y=x1-y.若不等式x-a⊗x+a1对任意实数x都成立,则a的取值范围为________.解析x-a⊗x+a1对任意实数x成立,即x-a1-x-a1对任意实数x成立.∴x2-x-a2+a+10恒成立,∴Δ=1-4-a2+a+10,∴-a.答案6.若0m≠0对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是________.解析因为m≠0,所以分两种情况讨论1m0,不等式的解集是,显然不适合题意;2m0,ⅰ当m=-1时,不等式化为-x-120,对于x≠1均成立;ⅱ当-1m0时,不等式的解集是∪,要使不等式0m≠0对一切x≥4恒成立,必须4,结合-1m0,解得-1m-;ⅲ当m-1时,不等式的解集是∪,所以-≤4恒成立.综上,实数m的取值范围是.答案7.某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,因竞争加剧收入将逐月减少,分析测算得从2015年开始第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且2015年后每月再投入1万元进行员工培训,且测算得自2015年后第一个月起累计收入Tn与时间n以月为单位的关系为Tn=an+b,且2015年第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问2015年后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.解2015年改革后经过n个月的纯收入为Tn-300-n万元,公司若不进行改革,由题设知2015年后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得2015年第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元.所以不改革,第一个月70-3-2×1-1,第二个月70-3-22-1,第三个月70-3-23-1,…第n个月70-3-2n-1,所以不改革时的纯收入为70n-万元,由题设知所以由题意建立不等式80n+10-300-n70n-3n-n-1n,整理,得n2+11n-2900,得n
12.4,因为n∈N,故取n=
13.答经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.8.已知不等式mx2-2x-m+10,1若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围.2若对一切m∈[-22]不等式恒成立,求x的取值范围.解1不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数fx=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.当m=0时,不等式变为1-2x0,对任意实数x不恒成立,故m=0不满足;当m≠0时,函数fx=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即则m无解.综上可知不存在这样的m,使不等式恒成立.2设gm=x2-1m+1-2x,当x2-1=0时,即x=±1,检验得x=1时符合题意,当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时在x轴下方,∴即解
①,得x或x,解
②,得x.由
①②,得x,且x≠1,综上得x的取值范围为.预习课本P75~80,思考并完成以下问题。