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(二)数列时间120分钟 满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分,将答案填在题中的横线上1.在等比数列{an}中,若a2=1,a5=-8则a8=________.解析设等比数列{an}的公比为q,则a2=a1q=1,a5=a1q4=8,两式相除得q3=8,∴a8=a5q3=8×8=
64.或利用a=a2a8解得答案642.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=________.解析由题意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-
1.又数列{an}单调递增,得q1,∴q=
2.答案23.等差数列{an}中,a3=2,a5=7,则a7=________.解析∵{an}是等差数列,∴d==,∴a7=2+4×=
12.答案124.数列{an}的前n项和Sn=an-3,则这个数列的通项公式为________.解析a1=S1=a1-3,∴a1=
6.又Sn+1=an+1-
3.∴Sn+1-Sn=an+1-an.∴an+1=an+1-an.∴an+1=3an.{an}是首项为6,公比为3的等比数列.∴an=6×3n-1=2×3n.答案2×3n5.等差数列181512,…,前n项和的最大值为________.解析由已知得a1=18,d=-3,∴an=a1+n-1d=18-3n-1=21-3n.∴当n=7时,a7=
0.∴Sn最大值为S7=18×7+×-3=
63.答案636.已知等差数列{an}中,a4+a6=10,前5项和S5=5,则其公差为________.解析设等差数列{an}的公差为d,因为a4+a6=2a5=10,所以a5=5,又S5=5a3=5,所以a3=1,故d===
2.答案27.已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-
6.若将a1,a4,a5都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列,则m的值为________.解析由题意可得an=2n-10,则-8+m,-2+m,m成等比数列,所以m-8+m=-2+m2,解得m=-
1.答案-18.正项等比数列{an}中,++=81,则+=________.解析∵在正项等比数列{an}中,++=81,∴++=
81.∴2=
81.∴+=
9.答案99.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程3x2-11x+9=0的两根,则a5的值为________.解析由已知得∴a30,a
70.∴a=a3·a7=
3.∴a5=.答案10.已知数列{an}中a1=1,a2=2,当n≥2时,Sn+1+Sn-1=2Sn+S1都成立,则S15=________.解析由Sn+1+Sn-1=2Sn+S1得,Sn+1-Sn-Sn-Sn-1=2S1=2,即an+1-an=2n≥2,所以数列{an}从第二项起构成等差数列,S15=1+2+4+6+8+…+28=
211.答案21111.已知数列{an}满足=n∈N*且a1=1,则an=________.解析累乘法求数列通项公式an=a1×××…×=1××××…×=.答案12.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得=4a1,则m+n的值为________.解析∵a7=a6+2a5,∴a5q2=a5q+2a5,又a5≠0,∴q2=q+2,∴q=2或q=-1,又an0,∴q=
2.又=4a1,∴aman=16a,∴aqm-1·qn-1=16a,∴qm+n-2=16,即2m+n-2=24,∴m+n-2=4,即m+n=
6.答案613.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1006S1008S1007,则满足SnSn+10的正整数n=________.解析因为S1006S1008S1007,所以a1007+a10080,a10080,所以S2014==1007a1007+a10080,S2015==2015a10080,由于等差数列具有单调性,所以满足SnSn+10的正整数n=
2014.答案201414.某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价由于首层与顶层均为复式结构,因此首层价格为a1元/m3,顶层由于景观好价格为a2元/m2,第二层价格为a元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2,则该商品房各层的平均价格为________元/m
2.解析设第二层到第22层的价格构成数列{bn},则{bn}是等差数列,b1=a,公差d=,共21项,所以其和为S21=21a+·=
23.1a,故平均价格为a1+a2+
23.1a元/m
2.答案a1+a2+
23.1a
二、解答题本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=
2.1求{an}的通项公式;2设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问b6与数列{an}的第几项相等?解1设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=
2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=
4.所以an=4+2n-1=2n+
2.2设等比数列{bn}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=
4.所以b6=4×26-1=
128.由128=2n+2,得n=
63.所以b6与数列{an}的第63项相等.16.本小题满分14分已知等差数列{an}的公差不为0,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.1求{an}的通项公式;2求a1+a4+a7+…+a3n-
2.解1设{an}的公差为d.由题意得,a=a1a13,即a1+10d2=a1a1+12d,于是d2a1+25d=
0.又a1=25,所以d=0舍去,d=-
2.故an=-2n+
27.2令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-
2.由1知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=a1+a3n-2=-6n+56=-3n2+28n.17.本小题满分14分若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+Sn+1+Sn+2=6n2-2n∈N*.1若数列{an}是等差数列,求{an}的通项公式.2若a1=a2=1,求S
50.解1由题意可得,设数列{an}公差为d,当n=1时,S1+S2+S3=6-2=4,即a1+a1+a2+a1+a2+a3=a1+2a1+d+3a1+3d=6a1+4d=4,整理可得3a1+2d=
2.
①当n=2时,S2+S3+S4=6×22-2=22,即2a1+d+3a1+3d+4a1+6d=9a1+10d=
22.
②联立
①②求得a1=-2,d=4,所以an=4n-
6.所以等差数列{an}的通项公式an=4n-6n∈N*.2因为Sn+Sn+1+Sn+2=6n2-2,所以Sn-1+Sn+Sn+1=6n-12-2,联立得an+an+1+an+2=12n-6n≥2所以S50=a1+a2+…+a50=a1+a2+[a3+a4+a5+…+a48+a49+a50]=2+[12×3-6+12×6-6+…+12×48-6]=
4802.18.本小题满分16分等比数列{an}中,已知a1=2,a4=
16.1求数列{an}的通项公式;2若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解1设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴an=2n.2由1得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=
32.设{bn}的公差为d,则有解得从而bn=-16+12n-1=12n-28,所以数列{bn}的前n项和Sn==6n2-22n.19.本小题满分16分甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为n2-n+2万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多n-1a万元.1求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;2若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年.解1设甲、乙超市第n年销售额分别为an,bn,又设甲超市前n年总销售额为Sn,则Sn=n2-n+2n≥2.当n=1时,a1=a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-n+2-[n-12-n-1+2]=an-1,故an=又因b1=a,n≥2时,bn-bn-1=n-1a,故bn=b1+b2-b1+b3-b2+…+bn-bn-1=a+a+2a+…+n-1a=a=a=a,显然n=1也适合,故bn=a,n∈N*.2当n=2时,a2=a,b2=a,a2b2;当n=3时,a3=2a,b3=a,a3b3;当n≥4时,an≥3a,而bn3a,故乙超市可能被收购.当n≥4时,令anbn,则n-1aa,即n-16-4·n-1,即n7-4·n-
1.又当n≥7时,04·n-11,故当n∈N*且n≥7时,n7-4·n-1恒成立.答第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.20.本小题满分16分已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,anan+1,且S3=2S2+
1.1求数列{an}的通项公式;2若数列{bn}满足bn=2n-1ann∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.解1设等比数列{an}的公比为q,由anan+1,得q1,又a1=1,则a2=q,a3=q2,因为S3=2S2+1,所以a1+a2+a3=2a1+a2+1,则1+q+q2=21+q+1,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1舍去,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1n∈N*.2由1知,bn=2n-1·an=2n-1·2n-1n∈N*,则Tn=1×20+3×21+5×22+…+2n-1×2n-1,2Tn=1×21+3×22+5×23+…+2n-3×2n-1+2n-1×2n,两式相减,得-Tn=1+2×21+2×22+…+2×2n-1-2n-1×2n,即-Tn=1+22+23+24+…+2n-2n-1×2n,化简得Tn=2n-3×2n+
3.。