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2019-2020学年高一数学下学期半期考试试题理含解析
一、单选题
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= A.-1B.0C.1D.6【答案】B【解析】根据题意知a4=a2+4-2d,即,解得d=-1,∴.选B.
2.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别根据符号特征和数值特征写出规律,写出通项公式【详解】由符号来看,奇数项为正,偶数项为负,所以符号满足,由数值1,3,5,7,9…显然满足奇数,所以满足2n-1所以通项公式为,选C.【点睛】对于用归纳法写复杂数列的通项公式,常分块写出规律,分子,分母,符号等分别找到规律再组合成通项公式
3.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据公式把转化为,再求出d.【详解】故公差.故选B.【点睛】本题考查两个常见变形公式和
4.函数取得最小值时,的值为()A.B.C.1D.2【答案】B【解析】,当且仅当时取等号此时,故选B.
5.在△ABC中,,则△ABC外接圆的半径为()A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理(其中R为外接圆半径)可求解【详解】由正弦定理可得外接圆半径,故选D.【点睛】本题考查正弦定理的应用(其中R为外接圆半径).
6.已知,则下列不等式中成立的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,则,,,所以A、B、D是错误的,因为为单调递减函数,所以成立,故选C.
7.在锐角中,角所对的边长分别为,,则角等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】由可得
8.在中,内角所对的边分别为,已知的面积为,则的值为()A.8B.16C.32D.64【答案】A【解析】【分析】由,得,再由解出bc.再由角A的余弦定理求出边a.【详解】因为,所以,又,解方程组得,由余弦定理得,所以.故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式,在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
9.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是 .A.B.4C.D.2【答案】B【解析】【分析】由不等式组画出可行域,得到可行域是一个三角形,所以由三角形面积公式求得面积【详解】由约束条件画出可行域如下图,所以,故选B.【点睛】本题是考查不等式组所表示约束条件的可行域面积问题,画出正确的图像是本题的关键
10.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为()A.192里B.96里C.63里D.6里【答案】A【解析】设第一天走了里,则是以为首项,以为公比的等比数列,根据题意得解得故选
11.已知实数,,,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,,∴当且仅当,即,时取等号.故选B点睛本题主要考查了不等式,不等式求最值问题,属于中档题解决此类问题,重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式,很多情况下,要根据一正、二定、三取等的思路去思考,本题根据条件构造,然后乘“1”变形,即可形成所需条件,应用均值不等式.
12.已知等比数列,,,且,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为,则,解得,∴,∴,∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴,∴.故的取值范围是.选D.
二、填空题20分
13.在中,角,,所对的边分别为,,,若,,,则=___________.【答案】【解析】【分析】由角B的余弦定理代入三边长可求得角B.【详解】由余弦定理可得所以填.【点睛】本题是已知三角形三边求角的类型的解三角形题型,选择合适的余弦定理是解本题的关键
14.已知正数x、y满足,则的最小值是__________.【答案】18【解析】试题分析考点均值不等式求最值
15.已知数列的前n项和是则数列的通项=_______.【答案】【解析】【分析】由于知道的表达式,所以应用公式可求的通项的表达式【详解】由,所以,当n=1时,,满足,所以【点睛】本题考查已知数列和求数列通项的题型,常用公式
16.在中,,则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理角的关系转化为边的关系,再由角B的余弦定理求得,得,即可求【详解】由题意及正弦定理得,即由余弦定理的推论得,∵,∴,∴,∴答案【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值求范围问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是第一步定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向第二步定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化第三步求结果,判定是否符合条件,或有多解情况
三、解答题
17.已知等比数列中,
(1)求数列的通项公式;
(2)设等差数列中,,求数列的前项和.【答案】
(1);
(2)【解析】试题分析
(1)利用基本量法求等比数列的通项公式;
(2)求等差数列的前项和.试题解析解
(1)设等比数列的公比为由已知,得,解得)
(2)由
(1)得设等差数列的公差为,则,解得)
18.在中,内角对边的边长分别是,已知,.
(1)若的面积等于,求;
(2)若,求的面积.【答案】
(1);
(2)【解析】试题分析
(1)由已知可以得到两个有关于边的方程,一个是余弦定理,,一个是面积公式,,两个方程联立解得;
(2)由正弦定理得到,同样结合上一问的余弦定理,解得,然后代入面积公式.试题解析
(1)由余弦定理得,,又因为的面积等于,所以,得.联立方程组解得,.
(2)由正弦定理,已知条件化为,联立方程组解得,.所以的面积.考点1.余弦定理;2.正弦定理;3.面积公式.
19.已知正项等比数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求满足的正整数的最小值.【答案】
(1);
(2)5【解析】1由题意知∴得设等比数列的公比为又∵∴化简得解得.∴.2由1知 .∴∴.令得解得∴满足的正整数的最小值是
5.
20.已知在中,角,,的对边分别为,,,且有.
(1)求角的大小;
(2)当时,求的最大值.【答案】1;
2.【解析】试题分析根据题意和正弦定理及和差角的三角函数公式,易得,由三角形内角的范围可得;利用余弦定理,基本不等式的性质,三角形面积计算公式即可得出解析
(1)由及正弦定理,得,即,即.因为在中,,,所以,所以,得.
(2)由余弦定理,得,即,故,当且仅当时,取等号.所以,即的最大值为.点睛在解三角形的过程中运用正弦定理进行边角的互化,通常情况下求什么化成什么,要求角,则把条件里的边化为角,然后利用和差的三角函数进行化简就可以求得结果在求三角形面积时运用面积公式,遇到最值题目需要借助基本不等式解答
21.已知首项都是1的两个数列{},{}≠0,n∈N*满足1令,求数列{}的通项公式;2若=,求数列{}的前n项和.【答案】
(1);
(2)【解析】【分析】
(1)两边同时除以,得,可得.2由
(1),所以,由错位相减法可求和【详解】1因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0n∈N*,所以,即cn+1-cn=2,所以数列{cn}是以c1=1为首项,d=2为公差的等差数列,故cn=2n-
1.2由bn=3n-1,知an=2n-13n-1,于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32+…+2n-1×3n-1,3Sn=1×31+3×32+…+2n-3×3n-1+2n-1×3n,将两式相减得-2Sn=1+2×31+32+…+3n-1-2n-1×3n=-2-2n-2×3n,所以Sn=n-13n+
1.【点睛】当数列通项形式为,且数列{}是等差数列,数列是等比数列,则数列的前n项和,我们常采用错位相减法
22.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?结论保留根号形式【答案】【解析】试题分析连结,根据题意计算,的值,再根据出根据,推出是等边三角形,由此到此,导出的值,再根据余弦定理,在中先求出的距离,最后由时间求出乙船航行的速度.试题解析如图,连结,由已知,,,又,是等边三角形,,由已知,,,在中,由余弦定理,..因此,乙船的速度的大小为(海里/小时)答乙船每小时航行海里.考点解直角三角形的应用-方向角问题.。