2019届高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练37基本不等式及其应用文

课时跟踪训练三十七基本不等式及其应用[基础巩固]

一、选择题1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是　　A．a2＋b22abB．a＋b≥2C.＋D.＋≥2[解析]　∵a2＋b2－2ab＝a－b2≥0，∴A错误．对于B，C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴＋≥2＝

2.[答案]　D2．2017·福建福州外国语学校期中在下列各函数中，最小值为2的函数是　　A．y＝x＋x≠0B．y＝cosx＋C．y＝x∈RD．y＝ex＋－2x∈R[解析]　对于A项，当x0时，y＝x＋≤－2，故A错；对于B项，因为0x，所以0cosx1，所以y＝cosx＋≥2中等号不成立，故B错；对于C项，因为≥2，所以y＝＝＋≥2中等号也不能取到，故C错；对于D项，因为ex0，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝2，即x＝ln2时等号成立．故选D.[答案]　D3．2017·陕西咸阳质检已知x＋y＝3，则2x＋2y的最小值是　　A．8B．6C．3D．4[解析]　因为2x02y0，x＋y＝3，所以由基本不等式得2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝2y，即x＝y＝时等号成立，故选D.[答案]　D4．2017·湖南衡阳四校联考设x，y为正实数，且x＋2y＝1，则＋的最小值为　　A．2＋2B．3＋2C．2D．3[解析]　因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，所以＋＝x＋2y·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当x＝y＝－1时取等号．所以＋的最小值为3＋

2.故选B.[答案]　B5．2017·江西九江一中期中已知a0，b0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于　　A．10B．7C．8D．9[解析]　不等式＋≥恒成立，即不等式m≤2a＋b·恒成立，而2a＋b＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以m≤9，m的最大值等于9，故选D.[答案]　D6．2015·陕西卷设fx＝lnx0ab，若p＝f，q＝f，r＝fa＋fb，则下列关系式中正确的是　　A．q＝rpB．p＝rqC．q＝rpD．p＝rq[解析]　∵0ab，∴，又fx＝lnx在0，＋∞上单调递增，故ff，即qp，∵r＝fa＋fb＝lna＋lnb＝ln＝f＝p，∴p＝rq.故选B.[答案]　B

二、填空题7．2017·山东卷若直线＋＝1a0，b0过点12，则2a＋b的最小值为________．[解析]　∵直线＋＝1a0，b0过点12，∴＋＝1，∴2a＋b＝2a＋b＝2＋＋2＋≥4＋2＝8当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时取等号．[答案]　88．设ba0，且a＋b＝1，则，2ab，a2＋b2，b四个数中最大的是________．[解析]　根据基本不等式知a2＋b22abba0，因为ba0，且a＋b＝1，所以ba.因为b－a2－b2＝ba＋b－a2－b2＝ab－a0，所以，2ab，a2＋b2，b四个数中最大的是b.[答案]　b9．2017·江苏卷某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．[解析]　本题考查基本不等式及其应用．设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4≥

240.当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．[答案]　30

三、解答题10．1已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≥

9.2设a、b均为正实数，求证＋＋ab≥

2.[证明]　1∵a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．2∵＋≥2＝，当且仅当a＝b时取等号．又＋ab≥2，当且仅当ab＝时取等号，∴＋＋ab≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号．[能力提升]11．2017·河北保定一模司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析　　A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适[解析]　设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，因为x≠y，所以＝＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案]　B12．2018·贵州铜仁一中月考若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋m2－3m有解，则实数m的取值范围是　　A．－14B．－41C．－∞，－1∪4，＋∞D．－∞，－4∪1，＋∞[解析]　x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝

4.当且仅当＝，即y＝2x时等号成立，所以x＋最小值为

4.因为x＋m2－3m有解，所以m2－3m

4.解得m－1或m

4.故选C.[答案]　C13．已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．[解析]　因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝.由x＝0，得－2y4，又y0则0y4，所以x＋y＝＋y＝＋y＋2－3≥2－3，当且仅当＝y＋20y4，即y＝－2时取等号．[答案]　2－314．2017·四川资阳期末已知函数fx＝x3＋3xx∈R，若不等式f2m＋mt2＋f4t0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析]　因为fx＝x3＋3xx∈R，满足f－x＝－fx，所以fx为奇函数且fx在R上单调递增．因为不等式f2m＋mt2＋f4t0对任意实数t≥1恒成立，则2m＋mt2－4t在t≥1时恒成立，分离参数得m－＝－.因为t＋≥2＝2当且仅当t＝时取等号，所以m－.[答案]　－∞，－15．2017·河北唐山一模已知x，y∈0，＋∞，x2＋y2＝x＋y.1求＋的最小值．2是否存在x，y满足x＋1y＋1＝5？并说明理由．[解]　1因为＋＝＝≥＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为

2.2不存在．理由如下因为x2＋y2≥2xy，所以x＋y2≤2x2＋y2＝2x＋y．又x，y∈0，＋∞，所以x＋y≤

2.从而有x＋1y＋1≤2≤4，因此不存在x，y满足x＋1y＋1＝

5.16．某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x台x为正整数，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值不含运费成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7800元．1求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数关系式；2若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？[解]　1设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k，则y＝×300＋k3000×x＝＋3000kx.又当x＝20时，y＝7800，代入可得k＝

0.

04.故所求y关于x的函数关系式为y＝＋120xx∈N*．2由1知，y＝＋120xx∈N*．根据基本不等式可得，y＝＋120x≥2＝2×3600＝7200，当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立．故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7200元，此时资金够用．[延伸拓展]　2017·内蒙古包头二模已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为　　A.B.C.D.[解析]　解法一常数代换法设数列{an}的公比为qq0，由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，所以q＝

2.因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以＋＝m＋n＝≥×5＋4＝，当且仅当＝时，等号成立．所以＋的最小值为，故选A.解法二拼凑法由解法一可得m＋n＝6，所以n＝6－m，又m，n≥1，所以1≤m≤

5.故＋＝＋＝＝＝＝＝.由基本不等式可得m＋2＋－10≥2－10＝－2当且仅当m＋2＝，即m＝2时等号成立，易知m＋2＋－100，所以＋≥＝.故选A.[答案]　A。