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课时跟踪训练三十九直接证明与间接证明[基础巩固]
一、选择题1.设a、b∈R,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是 A.b-a0B.a3+b30C.a2-b20D.b+a0[解析] ∵a-|b|0,∴|b|a.∴a
0.∴-aba.∴b+a
0.[答案] D2.“a=”是“对任意正数x,均有x+≥1”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件.既不充分也不必要条件[解析] 当a=时,x+≥2=1,当且仅当x=,即x=时取等号;反之,显然不成立.[答案] A3.已知m1,a=-,b=-,则以下结论正确的是 A.abB.abC.a=bD.a,b大小不定[解析] ∵a=-=,b=-=.而++0m1,∴,即ab.[答案] B4.设a,b是两个实数,给出下列条件
①a+b1;
②a+b=2;
③a+b2;
④a2+b22;
⑤ab
1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 A.
②③B.
①②③C.
③D.
③④⑤[解析] 若a=,b=,则a+b1,但a1,b1,故
①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故
②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b22,故
④推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故
⑤推不出;对于
③,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有一个大于
1.[答案] C5.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证a”索的因应是 A.a-b0B.a-c0C.a-ba-c0D.a-ba-c0[解析] 由题意知a⇐b2-ac3a2⇐a+c2-ac3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a20⇐-2a2+ac+c20⇐2a2-ac-c20⇐a-c2a+c0⇐a-ca-b
0.[答案] C6.设fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,若x1+x20,则fx1+fx2的值 A.恒为负B.恒等于零C.恒为正D.无法确定正负[解析] 由fx是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,fx单调递减,可知fx是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,则fx1f-x2=-fx2,则fx1+fx20,故选A.[答案] A
二、填空题7.2018·安徽合肥模拟设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.[解析] 解法一取特殊值法取a=2,b=1,则mn.解法二分析法-⇐+⇐ab+2·+a-b⇐2·0,显然成立.[答案] mn8.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________.[解析] 由题意2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,∴a2+c2-2ac=0,即a-c2=0,∴a=c,∴A=C,∴A=B=C=,∴△ABC为等边三角形.[答案] 等边三角形9.2018·广东佛山质检已知a0,b0,如果不等式+≥恒成立,则m的最大值为________.[解析] 因为a0,b0,所以2a+b
0.所以不等式可化为m≤2a+b=5+
2.因为5+2≥5+4=9,即其最小值为9,所以m≤9,即m的最大值等于
9.[答案] 9
三、解答题10.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明1ab+bc+ac≤;2++≥
1.[证明] 1由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得a+b+c2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=
1.所以3ab+bc+ca≤1,即ab+bc+ca≤.2因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++a+b+c≥2a+b+c,即++≥a+b+c.所以++≥
1.[能力提升]11.已知函数fx=x,a,b是正实数,A=f,B=f,C=f,则A,B,C的大小关系为 A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A[解析] ∵≥≥,又fx=x在R上是减函数,∴f≤f≤f.[答案] A12.设x,y,z∈0,+∞,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三数 A.至少有一个不大于2B.都大于2C.至少有一个不小于2D.都小于2[解析] a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,所以至少有一个不小于
2.故选C.[答案] C13.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证≤.[证明] ∵a⊥b,∴a·b=0,要证≤,只需证|a|+|b|≤|a+b|,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2a·b+b2,只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即|a|-|b|2≥0,上式显然成立,故原不等式得证.14.已知函数ux=lnx的反函数为vx,fx=x·vx-ax2+bx,且函数fx在点0,f0处的切线的倾斜角为45°.1求实数b的值;2若ae,用反证法证明函数fx=x·vx-ax2+bxx0无零点.[解] 1因为函数ux=lnx的反函数为vx,所以vx=ex,所以fx=xex-ax2+bx,所以f′x=ex+xex-2ax+b.因为函数fx在点0,f0处的切线的倾斜角为45°,所以f′0=tan45°=1,即e0+0·e0-2a×0+b=1,解得b=
0.2证明由1知,fx=xex-ax
2.假设函数fx=xex-ax2x0有零点,则fx=0在0,+∞上有解,即a=在0,+∞上有解.设gx=x0,则g′x=x0.当0x1时,g′x0;当x1时,g′x
0.所以gx≥gxmin=g1=e,所以a≥e,但这与条件ae矛盾,故假设不成立,即原命题得证.15.若a0,证明-≥a+-
2.[证明] 要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.∵a0,∴两边均大于零,∴只需证2≥2,即证a2++4+4≥a2++2+2+2,只需证≥,只需证a2+≥,即证a2+≥2,它显然成立.∴原不等式成立.。