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课时跟踪训练四十七圆的方程[基础巩固]
一、选择题1.已知点A1,-1,B-11,则以线段AB为直径的圆的方程是 A.x2+y2=2B.x2+y2=C.x2+y2=1D.x2+y2=4[解析] AB的中点坐标为00,|AB|==2,∴圆的方程为x2+y2=
2.[答案] A2.2017·豫北名校4月联考圆x-22+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是 A.x-2+y-12=4B.x-2+y-2=4C.x2+y-22=4D.x-12+y-2=4[解析] 设圆x-22+y2=4的圆心20关于直线y=x对称的点的坐标为a,b,则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为x-12+y-2=
4.故选D.[答案] D3.2017·湖南长沙二模圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是 A.1+B.2C.1+D.2+2[解析] 将圆的方程化为x-12+y-12=1,圆心坐标为11,半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d+1=+1,选A.[答案] A4.若曲线C x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为 A.-∞,-2B.-∞,-1C.1,+∞D.2,+∞[解析] 曲线C的方程可以化为x+a2+y-2a2=4,则该方程表示圆心为-a2a,半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a
2.[答案] D5.点P4,-2与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是 A.x-22+y+12=1B.x-22+y+12=4C.x+42+y-22=4D.x+22+y-12=1[解析] 设圆上任一点坐标为x0,y0,则x+y=4,连线中点坐标为x,y,则⇒代入x+y=4中得x-22+y+12=
1.[答案] A6.2017·福建厦门4月联考若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为 A.0B.1C.2D.3[解析] 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件为a2+4a2-42a2+a-10,即3a2+4a-40,解得-2a.又a∈,∴仅当a=0时,方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,故选B.[答案] B
二、填空题7.已知直线l x-y+4=0与圆C x-12+y-12=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为__________.[解析] 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心11到直线l的距离减去半径,即-=.[答案] 8.已知点Px,y在圆x2+y-12=1上运动,则的最大值为________.[解析] 设=k,则k表示点Px,y与点21连线的斜率.当该直线与圆相切时,k取得最大值与最小值.由=1,解得k=±.故的最大值为.[答案] 9.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A0,-4,B0,-2,则圆C的方程为________.[解析] 圆心是AB的垂直平分线和2x-y-7=0的交点,则圆心为E2,-3,r=|EA|==,则圆的方程为x-22+y+32=r2=
5.[答案] x-22+y+32=5
三、解答题10.2017·江西南昌二中检测在平面直角坐标系xOy中,经过函数fx=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.1求圆C的方程;2求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.[解] 1设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,函数fx=x2-x-6的图象与两坐标轴交点为0,-6,-20,30,由解得所以圆C的方程为x2+y2-x+5y-6=
0.2由1知圆心坐标为,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方程为x+y+2=
0.综上可得,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=
0.[能力提升]11.2017·大连统考已知圆C1x-22+y-32=1,圆C2x-32+y-42=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5-4B.-1C.6-2D.[解析] 两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C2,-3,则|PC1|+|PC2|min=|CC2|=5,所以|PM|+|PN|min=5-1+3=5-
4.[答案] A12.2018·山西运城模拟已知两点A-20,B02,点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是 A.3-B.3+C.3-D.[解析] lAB x-y+2=0,圆心10到l的距离d==,∴AB边上的高的最小值为-
1.∴S△min=×2×=3-.∴选A.[答案] A13.2017·广州市高三综合测试若一个圆的圆心是抛物线x2=4y的焦点,且该圆与直线y=x+3相切,则该圆的标准方程是__________________.[解析] 抛物线x2=4y的焦点为01,即圆心为01,设该圆的标准方程是x2+y-12=r2r0,因为该圆与直线y=x+3相切,所以r==,故该圆的标准方程是x2+y-12=
2.[答案] x2+y-12=214.2017·江苏卷在平面直角坐标系xOy中,A-120,B06,点P在圆O x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.[解析] 本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交.解法一设Px,y,则由·≤20可得,-12-x-x+-y6-y≤20,即x+62+y-32≤65,所以P为圆x+62+y-32=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得解得或即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点如图,易知-5≤x≤
1.解法二设Px,y,则由·≤20,可得-12-x-x+-y6-y≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点如图.同解法一,可得N17,M-5,-5,易知-5≤x≤
1.[答案] [-5,1]15.已知点P22,圆C x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.1求M的轨迹方程;2当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.[解] 1圆C的方程可化为x2+y-42=16,所以圆心为C04,半径为
4.设Mx,y,则=x,y-4,=2-x2-y.由题设知·=0,故x2-x+y-42-y=0,即x-12+y-32=
2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是x-12+y-32=
2.2由1可知M的轨迹是以点N13为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为××=.16.2017·吉林省实验中学模拟已知圆M过C1,-1,D-11两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.1求圆M的方程;2设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.[解] 1设圆M的方程为x-a2+y-b2=r2r0,根据题意得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为x-12+y-12=
4.2由题意知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|.又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|2=|PM|2-|AM|2=|PM|2-4,所以S=
2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min=3,所以四边形PAMB面积的最小值为2=
2.[延伸拓展]1.若过点12总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值范围是__________.[解析] 由k2+4-4k2-150,得-k.由题意可知,点12在圆的外部,所以1+4+k+4+k2-150,得k-3或k
2.所以k的取值范围是∪.[答案] ∪2.2017·山西运城二模已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为________.[解析] 设圆C的方程为x-a2+y-b2=r2,则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知∴或故所求圆C的方程为x+12+y+12=2或x-12+y-12=
2.[答案] x+12+y+12=2或x-12+y-12=2。