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课时跟踪训练五十一双曲线[基础巩固]
一、选择题1.2017·江西九江一模若双曲线mx2+2y2=2的虚轴长为4,则该双曲线的焦距为 A.2B.C.2D.[解析] 双曲线方程为y2-=1,∴-=4,∴m=-,双曲线的焦距为2,故选A.[答案] A2.2017·全国卷Ⅱ若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是 A.,+∞B.,2C.1,D.12[解析] 依题意得,双曲线的离心率e=,因为a1,所以e∈1,,选C.[答案] C3.2017·全国卷Ⅰ已知F是双曲线C x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是13,则△APF的面积为 A.B.C.D.[解析] 解法一由题可知,双曲线的右焦点为F20,当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P23,因为点A13,所以AP∥x轴;又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.解法二由题可知,双曲线的右焦点为F20,当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P23,因为点A13,所以=10,=0,-3,所以·=0,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF||AP|=×3×1=.故选D.[答案] D4.2017·天津卷已知双曲线-=1a0,b0的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形O为原点,则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1[解析] 由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,=tan60°=,又c2=a2+b2,联立可得a=1,b=,∴双曲线的方程为x2-=
1.[答案] D5.2018·广东六校联盟联考设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 A.4B.8C.24D.48[解析] 依题意,得F1-50,F250,|F1F2|=
10.∵3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|=x.由双曲线的性质知x-x=2,解得x=
6.∴|PF1|=8,|PF2|=6,∴∠F1PF2=90°,∴△PF1F2的面积=×8×6=
24.故选C.[答案] C6.2016·天津卷已知双曲线-=1b0,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[解析] 根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为x,y,于是有⇒则xy=·=⇒b2=
12.故所求双曲线的方程为-=1,故选D.[答案] D
二、填空题7.若双曲线的渐近线方程为x±2y=0,焦距为10,则该双曲线的方程为__________.[解析] 设双曲线的方程为x2-4y2=λλ≠0,焦距2c=10,c2=25,当λ0时,-=1,λ+=25,∴λ=20;当λ0时,-=1,-λ+=25,∴λ=-
20.故该双曲线的方程为-=1或-=
1.[答案] -=1或-=18.2018·银川第二中学月考若以双曲线-=1b0的左、右焦点和点P1,为顶点的三角形为直角三角形,则b等于__________.[解析] 设双曲线-=1b0的左、右焦点为F1-c0,F2c0,依题意,kPF1·kPF2=·=-1,∴c2=3,b2=1,∴b=
1.[答案] 19.2017·全国卷Ⅰ已知双曲线C-=1a0,b0的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.[解析] 双曲线的右顶点为Aa0,一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,圆心A到此渐近线的距离d==,因为∠MAN=60°,圆的半径为b,所以b·sin60°=,即=,所以e==.[答案]
三、解答题10.如图,已知F
1、F2为双曲线-=1a0,b0的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求1双曲线的离心率;2双曲线的渐近线方程.[解] 1∵∠PF2F1=90°,∠PF1F2=30°.在Rt△PF2F1中,|PF1|===,|PF2|=|PF1|=,又|PF1|-|PF2|=2a,即c=2a,=,∴e==.2对于双曲线,有c2=a2+b2,∴b=.∴====.∴双曲线的渐近线方程为y=±x.[能力提升]11.2017·广东佛山一中段考已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,与双曲线的渐近线在第二象限内交于点D,且|CD|=|CF2|,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.[解析] ∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|CD|=|CF2|,∴|DF1|=2a,由题意,切线的斜率为,切线方程为y=x+c,与y=-x垂直,∴2a=b,∴c==a,∴e==,故选B.[答案] B12.2017·吉林长春市二模已知双曲线C1-y2=1,双曲线C2-=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是 A.32B.16C.8D.4[解析] 双曲线C1-y2=1的离心率为,设F2c0,双曲线C2一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|==b,即有|OM|==a,由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且=,解得a=8,b=4,c=4,即有双曲线的实轴长为16,故选B.[答案] B13.2017·江西上饶一模已知双曲线方程为-=1,若其过焦点的最短弦长为2,则该双曲线的离心率的取值范围是 A.B.C.D.[解析] 由题意,=2,a≥2,∴b=,∴e==≤,∵e1,∴1e≤.[答案] A14.2018·山东日照模拟已知双曲线C-=1a0,b0,其右顶点是A,若双曲线C右支上存在两点B,D,使△ABD为正三角形,则双曲线C的离心率e的取值范围是________.[解析] 双曲线C的渐近线方程为y=±x,要使△ABD为正三角形,则只需过右顶点A,且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点,即只需该直线的斜率大于渐近线y=x的斜率.∴,∴ba.即b2a2,则c2a2+a2,即ca,则e,又e1,所以1e.[答案] 1e15.2017·云南省高三统一检测已知双曲线M-=1a0,b0的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,与双曲线M的两条渐近线交于C,D两点.若|AB|=|CD|,则双曲线M的离心率是________.[解析] 设双曲线的右焦点为Fc0,易知,|AB|=.该双曲线的渐近线方程为y=±x,当x=c时,y=±,所以|CD|=.由|AB|=|CD|,得=×,即b=c,所以a==c,所以e==.[答案] 16.设A,B分别为双曲线-=1a0,b0的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.1求双曲线的方程;2已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,O为坐标原点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.[解] 1由题意知a=
2.∵一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,右焦点的坐标为c0,∴由焦点到渐近线的距离为,得=.∴b2=3,∴双曲线的方程为-=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,Dx0,y0,则x1+x2=tx0,y1+y2=ty
0.将直线的方程y=x-2代入双曲线的方程-=1,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=x1+x2-4=12,∴∴∴t=4,点D的坐标为4,3.[延伸拓展]1.2017·福州市高三质量检测已知双曲线E-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=6,P是双曲线E右支上一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|=,则双曲线E的离心率是 A.2B.C.D.[解析] 如图所示,设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知,|AF1|=|AF2|,根据双曲线的定义,以及P是双曲线E右支上一点,得2a=|PF1|-|PF2|,根据三角形内切圆的性质,得|PF1|=|AF1|+|PA|=|AF1|+|PM|+|AQ|,|PF2|=|PM|+|MF2|=|PM|+|QF2|=|PM|+|AF2|-|AQ|.所以2a=2|AQ|=2,即a=.因为|F1F2|=6,所以c=3,所以双曲线E的离心率是e===,故选C.[答案] C2.2017·武汉武昌区高三三调已知双曲线-=1a0,b0的两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且与反向,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.[解析] 设实轴长为2a,虚轴长为2b,令∠AOF=α,则由题意知tanα=,在△AOB中,∠AOB=180°-2α,tan∠AOB=-tan2α=,∵|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,∴设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,∵OA⊥BF,∴m-d2+m2=m+d2,整理,得d=m,∴-tan2α=-===,解得=2或=-舍去,∴b=2a,c==a,∴e==.故选C.[答案] C。