还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
课时跟踪训练七函数的奇偶性与周期性[基础巩固]
一、选择题1.2017·石家庄质检下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞上单调递增的是 A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=|x|[答案] B2.设fx是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f等于 A.-B.-C.D.[解析] ∵fx是周期为2的奇函数,∴f=f=f=-f=-2××=-.[答案] A3.已知函数fx是奇函数,在0,+∞上是减函数,且在区间[a,b]ab0上的值域为[-34],则在区间[-b,-a]上 A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-3[解析] 解法一根据题意作出y=fx的简图,由图知,选B.解法二当x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b],由题意得fb≤f-x≤fa,即-3≤-fx≤4,∴-4≤fx≤3,即在区间[-b,-a]上fxmin=-4,fxmax=3,故选B.[答案] B4.2017·绵阳诊断已知偶函数fx在区间[0,+∞上单调递增,则满足f2x-1f的x的取值范围是 A.B.C.D.[解析] ∵fx是偶函数,∴fx=f|x|,∴f|2x-1|f,再根据fx的单调性,得|2x-1|,解得x,故选A.[答案] A5.2017·陕西省高三一检奇函数fx的定义域为R,若fx+2为偶函数,则f8= A.-1B.0C.1D.-2[解析] 由奇函数fx的定义域为R,可得f0=0,由fx+2为偶函数,可得f-x+2=fx+2,故fx+4=f[x+2+2]=f[-x+2+2]=f-x=-fx,则fx+8=f[x+4+4]=-fx+4=-f[-fx]=fx,即函数fx的周期为8,所以f8=f0=0,选B.[答案] B6.2016·山东卷已知函数fx的定义域为R.当x<0时,fx=x3-1;当-1≤x≤1时,f-x=-fx;当x>时,f=f,则f6= A.-2B.-1C.0D.2[解析] 由题意得,当x时,fx+1=f=f=fx,所以当x时,fx的周期为1,所以f6=f1.又f1=-f-1=-[-13-1]=2,所以f6=2,故选D.[答案] D
二、填空题7.2017·全国卷Ⅱ已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x∈-∞,0时,fx=2x3+x2,则f2=________.[解析] 依题意得,f-2=2×-23+-22=-12,由函数fx是奇函数,得f2=-f-2=
12.[答案] 128.2018·唐山一中测试已知函数fx=ax5-bx+|x|-1,若f-2=2,则f2=________.[解析] 因为f-2=2,所以-32a+2b+2-1=2,则32a-2b=-1,即f2=32a-2b+2-1=
0.[答案] 09.2017·甘肃省张掖市高三一诊已知定义在R上的函数fx,对任意的实数x,均有fx+3≤fx+3,fx+2≥fx+2且f1=2,则f2017的值为________.[解析] ∵fx+3≤fx+3,fx+2≥fx+2,∴fx+1+2≤fx+3≤fx+3,∴fx+1≤fx+
1.又fx+1+1≥fx+2≥fx+2,∴fx+1≥fx+1,∴fx+1=fx+1,利用迭加法,得f2017=
2018.[答案] 2018
三、解答题10.已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.[解] 1设x0,则-x0,所以f-x=--x2+2-x=-x2-2x.又fx为奇函数,所以f-x=-fx,于是x0时,fx=x2+2x=x2+mx,所以m=
2.2要使fx在[-1,a-2]上单调递增,结合fx的图象知所以1a≤3,故实数a的取值范围是13].[能力提升]11.2017·广东省惠州市高三三调已知定义在R上的函数y=fx满足条件f=-fx,且函数y=f为奇函数,给出以下四个命题
①函数fx是周期函数;
②函数fx的图象关于点对称;
③函数fx为R上的偶函数;
④函数fx为R上的单调函数.其中真命题的序号为 A.
①③④B.
①②③C.
①②④D.
②③④[解析] fx+3=f=-f=fx,所以fx是周期为3的周期函数,
①正确;函数f是奇函数,其图象关于点00对称,则fx的图象关于点对称,
②正确;因为fx的图象关于点对称,-=,所以f-x=-f,又f=-f=-fx,所以f-x=fx,
③正确;fx是周期函数,在R上不可能是单调函数,
④错误.故真命题的序号为
①②③.选B.[答案] B12.2017·湖北省七市州高三联考函数y=fx为R上的偶函数,函数y=gx为R上的奇函数,fx=gx+2,f0=-4,则gx可以是 A.4tanB.-4sinC.4sinD.-4sin[解析] ∵fx=gx+2,f0=-4,∴g2=-
4.而4tan=4tan=4,-4sin=-4sinπ=04sin=4sin=4,-4sin=-4,∴y=gx可以是gx=-4sin,经检验,选项D符合题干条件.故选D.[答案] D13.2017·江西调研已知函数fx是偶函数,且当x0时,fx=x3+x+1,则当x0时,fx的解析式为________.[解析] 设x0,则-x0,因为当x0时,fx=x3+x+1,所以f-x=-x3-x+
1.又函数fx是偶函数,所以fx=-x3-x+
1.[答案] fx=-x3-x+114.2017·云南省高三统一检测已知函数fx=若fx-1f2x+1,则x的取值范围为________.[解析] 若x0,则-x0,f-x=3-x2+ln+x=3x2+ln+x=fx,同理可得,x0时,f-x=fx,且x=0时,f0=f0,所以fx是偶函数.因为当x0时,函数fx单调递增,所以不等式fx-1f2x+1等价于|x-1||2x+1|,整理得xx+20,解得x0或x-
2.[答案] -∞,-2∪0,+∞15.2018·日照检测设fx是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f1+x=f1-x.当-1≤x≤0时,fx=-x.1判定fx的奇偶性;2试求出函数fx在区间[-12]上的表达式.[解] 1∵f1+x=f1-x,∴f-x=f2+x.又fx+2=fx,∴f-x=fx,∴fx是偶函数.2当x∈
[01]时,-x∈[-10],则fx=f-x=x;进而当x∈
[12]时,x-2∈[-10],fx=fx-2=-x-2=-x+
2.故所求为fx=16.函数fx=是定义在-11上的奇函数,且f=.1确定函数fx的解析式;2用定义证明fx在-11上是增函数;3解不等式ft-1+ft
0.[解] 1依题意得即⇒∴fx=.2证明任取-1x1x21,fx1-fx2=-=.∵-1x1x21,∴x1-x201+x01+x
0.又-1x1x21,∴1-x1x20,∴fx1-fx20,∴fx在-11上是增函数.3ft-1-ft=f-t.∵fx在-11上是增函数,∴-1t-1-t1,解得0t.[延伸拓展]2017·昆明市高三质检定义“函数y=fx是D上的a级类周期函数”如下函数y=fx,x∈D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有afx=fx+T恒成立,此时T为fx的周期.若y=fx是[1,+∞上的a级类周期函数,且T=1,当x∈[12时,fx=2x+1,且y=fx是[1,+∞上的单调递增函数,则实数a的取值范围为 A.B.[2,+∞C.D.[10,+∞[解析] 因为x∈[12时,fx=2x+1,所以当x∈[23时,fx=afx-1=a2x-1,当x∈[n,n+1时,fx=afx-1=a2fx-2=…=an-1fx-n+1=an-1·2x-2n+3,即x∈[n,n+1时,fx=an-1·2x-2n+3,n∈N*,同理可得,x∈[n-1,n时,fx=an-22x-2n+5,n∈N*.因为fx在[1,+∞上单调递增,所以a0且an-1·2n-2n+3≥an-22n-2n+5,解得a≥,故选C.[答案] C。