2019届高考数学一轮复习第八章立体几何课时跟踪训练41空间几何体的表面积和体积文

课时跟踪训练四十一空间几何体的表面积和体积[基础巩固]

一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为8的矩形．则该几何体的表面积是　　A．8B．20＋8C．16D．24＋8[解析]　由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋2×4＋×2×2×2＝20＋

8.[答案]　B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为　　A.B.C.D.[解析]　VB1－ABC1＝VC1－ABB1＝××1×1×＝.[答案]　A3．2015·全国卷Ⅰ《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有　　A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛[解析]　米堆的体积为××π×2×5＝.将π＝3代入上式，得体积为立方尺．从而这堆米约有≈22斛．[答案]　B4．2017·河北唐山二模一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为　　A．24－πB．24－3πC．24＋πD．24－2π[解析]　由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3××π×22＋×4×π×22＝24－π，故选A.[答案]　A5．2017·浙江卷某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是　　A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3[解析]　由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1，故选A.[答案]　A6．2017·全国卷Ⅰ某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为　　A．10B．12C．14D．16[解析]　由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B.[答案]　B

二、填空题7．2017·天津卷已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析]　由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，所以这个球的体积为R3＝×＝.[答案]　8．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析]　该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，半球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为

2、

2、1，∴该几何体的表面积为S＝16＋×4π×12－π×12＝16＋π.[答案]　16＋π9．2017·山东卷由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]　由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为211，其体积V1＝2×1×1＝2；两个圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，故其体积V2＝×π×12×1＝.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋.[答案]　2＋

三、解答题10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]　由已知得CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π2＋5×5＋π×25＋π×2×2＝60＋4π，V＝V圆台－V圆锥＝π·22＋π·52＋×4－π×22×2＝π.[能力提升]11．2015·全国卷Ⅱ已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为　　A．36πB．64πC．144πD．256π[解析]　如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝R2，要使VO－ABC＝·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且VO－ABCmax＝×R2×R＝R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案]　C12．2017·重庆诊断某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　A.B．2C.D．3[解析]　该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB1DC1C，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的体积减去三棱锥A－A1C1D的体积，即3－×3×＝.[答案]　C13．2017·河南南阳一中四模球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．[解析]　设EF与球面交于M，N两点，因为AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF＝，OE＝OF＝，取EF中点O′，则O′F＝，所以OO′＝＝.由球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝，故MN＝.所以直线EF被球O截得的线段长为.[答案]　14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，PA＝PC＝2，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是__________．[解析]　由已知得，△PAD，△PDC，△PAB，△PBC都是直角三角形．设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即×22×2＝×22×R＋××22×R＋××2×2×R＋××2×2×R＋××22×R，解得R＝2－，所以此球的最大半径是2－.[答案]　2－15．如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC为等边三角形，AA′⊥平面ABC，AB＝3，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC′的交点为N，求1该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2PC与NC的长；3三棱锥C－MNP的体积．[解]　1该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为＝.2将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如下图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋AC＋x

2.∵MP＝，MA＝2，AC＝3，∴x＝2，即PC＝

2.又∵NC∥AM，故＝，即＝.∴NC＝.3S△PCN＝×CP×CN＝×2×＝.在三棱锥M－PCN中，M到面PCN的距离，即h＝×3＝.∴VC－MNP＝VM－PCN＝·h·S△PCN＝××＝.16．2017·全国卷Ⅲ如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.1证明AC⊥BD；2已知△ADC是正三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．[解]　1证明取AC的中点O，连接BO、DO，如图所示．因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.2连接EO.由1及题设知，∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB

2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶

1.[延伸拓展]　2017·安徽蚌埠一模如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋视为球体放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心球心与蛋巢底面的距离为　　A.＋B.＋C.D.＋[解析]　蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为

1.因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d＝＝，而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为＋.[答案]　D。