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文本内容:
课时跟踪训练四十一空间几何体的表面积和体积[基础巩固]
一、选择题1.如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为8的矩形.则该几何体的表面积是 A.8B.20+8C.16D.24+8[解析] 由题意可知,该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,其侧棱为4,故其表面积S表=2×4+2×4+2×4+×2×2×2=20+
8.[答案] B2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为 A.B.C.D.[解析] VB1-ABC1=VC1-ABB1=××1×1×=.[答案] A3.2015·全国卷Ⅰ《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米如图,米堆为一个圆锥的四分之一,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为
1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛[解析] 米堆的体积为××π×2×5=.将π=3代入上式,得体积为立方尺.从而这堆米约有≈22斛.[答案] B4.2017·河北唐山二模一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 A.24-πB.24-3πC.24+πD.24-2π[解析] 由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方球后得到的几何体,该球以顶点为球心,2为半径,则该几何体的表面积为2×2×6-3××π×22+×4×π×22=24-π,故选A.[答案] A5.2017·浙江卷某几何体的三视图如图所示单位cm,则该几何体的体积单位cm3是 A.+1B.+3C.+1D.+3[解析] 由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积V=×π×3+××2×1×3=+1,故选A.[答案] A6.2017·全国卷Ⅰ某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10B.12C.14D.16[解析] 由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为×2=12,故选B.[答案] B
二、填空题7.2017·天津卷已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.[解析] 由正方体的表面积为18,得正方体的棱长为.设该正方体外接球的半径为R,则2R=3,R=,所以这个球的体积为R3=×=.[答案] 8.下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是________.[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得,直观图如图所示,半球的半径为1,长方体的长、宽、高分别为
2、
2、1,∴该几何体的表面积为S=16+×4π×12-π×12=16+π.[答案] 16+π9.2017·山东卷由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.[解析] 由三视图可知,该组合体中的长方体的长、宽、高分别为211,其体积V1=2×1×1=2;两个圆柱合起来就是圆柱的一半,圆柱的底面半径r=1,高h=1,故其体积V2=×π×12×1=.故该几何体的体积V=V1+V2=2+.[答案] 2+
三、解答题10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.[解] 由已知得CE=2,DE=2,CB=5,S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π2+5×5+π×25+π×2×2=60+4π,V=V圆台-V圆锥=π·22+π·52+×4-π×22×2=π.[能力提升]11.2015·全国卷Ⅱ已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 A.36πB.64πC.144πD.256π[解析] 如图,设点C到平面OAB的距离为h,球O的半径为R,因为∠AOB=90°,所以S△OAB=R2,要使VO-ABC=·S△OAB·h最大,则OA,OB,OC应两两垂直,且VO-ABCmax=×R2×R=R3=36,此时R=6,所以球O的表面积为S球=4πR2=144π.故选C.[答案] C12.2017·重庆诊断某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.B.2C.D.3[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB1DC1C,其体积是底边边长为2的等边三角形,高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥A-A1C1D的体积,即3-×3×=.[答案] C13.2017·河南南阳一中四模球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,AB=2,E,F分别为棱AD,CC1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为________.[解析] 设EF与球面交于M,N两点,因为AB=2,E,F分别为棱AD,CC1的中点,所以EF=,OE=OF=,取EF中点O′,则O′F=,所以OO′==.由球O为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,可得ON=1,由勾股定理得O′N=,故MN=.所以直线EF被球O截得的线段长为.[答案] 14.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2,PA=PC=2,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是__________.[解析] 由已知得,△PAD,△PDC,△PAB,△PBC都是直角三角形.设内切球的球心为O,半径为R,连接OA,OB,OC,OD,OP,易知VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD,即×22×2=×22×R+××22×R+××2×2×R+××2×2×R+××22×R,解得R=2-,所以此球的最大半径是2-.[答案] 2-15.如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,△ABC为等边三角形,AA′⊥平面ABC,AB=3,AA′=4,M为AA′的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC′的交点为N,求1该三棱柱的侧面展开图的对角线长;2PC与NC的长;3三棱锥C-MNP的体积.[解] 1该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形,故对角线长为=.2将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开,如下图,设PC=x,则MP2=MA2+AC+x
2.∵MP=,MA=2,AC=3,∴x=2,即PC=
2.又∵NC∥AM,故=,即=.∴NC=.3S△PCN=×CP×CN=×2×=.在三棱锥M-PCN中,M到面PCN的距离,即h=×3=.∴VC-MNP=VM-PCN=·h·S△PCN=××=.16.2017·全国卷Ⅲ如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.1证明AC⊥BD;2已知△ADC是正三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.[解] 1证明取AC的中点O,连接BO、DO,如图所示.因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.2连接EO.由1及题设知,∠ADC=90°,所以DO=AO.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB
2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶
1.[延伸拓展] 2017·安徽蚌埠一模如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面积为4π的鸡蛋视为球体放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心球心与蛋巢底面的距离为 A.+B.+C.D.+[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为
1.因为鸡蛋的表面积为4π,所以球的半径为1,所以球心到截面的距离d==,而截面到底面的距离即为三角形的高,所以球心到底面的距离为+.[答案] D。