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课时跟踪训练五十五古典概型[基础巩固]
一、选择题1.2017·河北唐山二模从1234四个数字中任取两个不同数字,则这两个数字之积小于5的概率为 A.B.C.D.[解析] 从1234四个数字中任取两个不同数字,共有12,13,14,23,24,34共6个基本事件,其中这两个数字之积小于5的有12,13,13共3个基本事件,则这两个数字之积小于5的概率为P==;故选B.[答案] B2.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为 A.B.C.D.1[解析] 从15个球中任取出2个球有=105种方法,其中恰有一个白球,1个红球的概率P==.[答案] B3.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.B.C.D.[解析] 试验发生包含的事件数是3×3=9,满足条件的事件数是这两位同学参加同一个兴趣小组.由于共有3个小组,所以有3种结果.根据古典概型概率计算公式得P==,故选A.[答案] A4.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具,每个玩具的各面上分别写有数字
1234.把两个玩具各抛掷一次,斜向上的面上的数字之和能被5整除的概率为 A.B.C.D.[解析] 把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为事件A,每个玩具斜向上的面的数字之和均有4种情况,两个玩具各抛掷一次,斜向上的面的数字之和共有16种情况,其中能被5整除的有4种情况123,234;124,134;134,124;234,123.故PA==.[答案] B5.某袋中有编号为123456的6个小球小球除编号外完全相同,甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号放回,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是 A.B.C.D.[解析] 记a,b为甲、乙摸球的编号,如下表ab123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566可知基本事件共有36个,满足a=b的基本事件共有6个,故所求事件的概率P=1-=.[答案] C6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 A.B.C.D.[解析] 如图所示,从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,可以看作随机选择2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.若要构成矩形,只要选相对的顶点即可,有A,D,B,E,C,F,共3种,故其概率为=.[答案] D
二、填空题7.盒子里有大小相同的白球3个、黑球1个.若从中随机摸出2个球,则它们颜色不同的概率是__________.[解析] 设3个白球为A,B,C1个黑球为D,则从中随机摸出2个球的情形有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种.其中2个球颜色不同的有3种,故所求概率为.[答案] 8.2017·湖南湘中名校联考从集合A={-2,-12}中随机选取一个数记为a,从集合B={-113}中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为________.[解析] 集合A,B中各有三个元素,随机选取a,b,共有9种可能的结果,若直线不经过第四象限,则a0,且b0,满足条件的a,b,有21,23,∴直线不经过第四象限的概率为P=.[答案] 9.从两名男生和两名女生中任意选择两人在星期
六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________.[解析] 两名男生记为A1,A2,两名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期
六、星期日参加某公益活动,共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B112种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B24种情况,则所求的概率P==.[答案]
三、解答题10.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛每人被选到的可能性相同.1用表中字母列举出所有可能的结果;2设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.[解] 1从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.2选出的2人来自在不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率PM==.[能力提升]11.2017·山西考前适应性测试甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于其他任何人的概率是 A.B.C.D.[解析] 用x,y,z表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为114,141,411,123,132,213,231,312,321,222.乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为411,312,321,222.根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率是P==.故选D.[答案] D12.2017·河南省中原名校期末从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动,则所选的3人中女生人数不超过1的概率是 A.
0.8B.
0.6C.
0.4D.
0.2[解析] 设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”,事件M为“所选3人中女生人数为1”,事件N为“所选3人中女生人数为0”,则事件M,N是互斥事件.4名男生分别记为1234;2名女生分别记为a,b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果,分别为{123},{124},{12,a},{12,b},{134},{13,a},{13,b},{14,a},{14,b},{1,a,b},{234},{23,a},{23,b},{24,a},{24,b},{2,a,b},{34,a},{34,b},{3,a,b},{4,a,b}.事件M所含的基本事件分别为{12,a},{12,b},{13,a},{13,b},{14,a},{14,b}{23,a},{23,b},{24,a},{24,b},{34,a},{34,b},共12个,所以PM==;事件N所含的基本事件分别为{123},{124},{134},{234},共4个,所以PN==;所以事件Q的概率为PQ=PM+PN=+=
0.8,故选A.[答案] A13.属相,也叫生肖,包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪十二种动物.已知在甲、乙、丙、丁、戊五人中,甲、乙、丙的属相均是牛,丁、戊的属相均是猪,现从这五人中随机选出两人,则所选出的两人的属相互不相同的概率为__________.[解析] 从这五人中随机选出两人的选法为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{甲,戊},{乙,丙},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁},{丙,戊},{丁,戊},共10种;所选出的两人的属相互不相同的选法为{甲,丁},{甲,戊},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁},{丙,戊},共6种.故所选出的两人的属相互不相同的概率P==
0.
6.[答案]
0.614.小李加工外形完全一样的甲、乙两种零件,已知他加工的4个甲种零件中有2个次品,2个乙种零件中有1个次品,现从这6个零件中随机抽取2个,则能抽到甲种零件的次品的概率为__________.[解析] 记“抽到甲种零件的次品”为事件A,“抽到甲种零件的次品数为1”为事件M,“抽到甲种零件的次品数为2”为事件N,则事件M,N为互斥事件.从这6个零件中随机抽取2个,利用枚举法可知共有15种不同的抽取方法,事件M所含的基本事件数为8,事件N所含的基本事件数为1,所以PM=,PN=,所以PA=PM+PN=+=
0.
6.[答案]
0.615.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字123,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.1求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;2求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.[解] 1由题意知,a,b,c所有的可能为111,112,113,121,122,123,131,132,133,211,212,213,221,222,223,231,232,233,311,312,313,321,322,323,331,332,333,共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括112,123,213,共3种.所以PA==.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.2设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括111,222,333,共3种.所以PB=1-P=1-=.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.16.某初级中学根据运动场地的影响,为尽可能让学生都参与到运动会中来,在2017冬季运动会中设置了五个项目,其中属于跑步类的两项分别是200米和400米,另外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学生必须参加,且只能参加其中一项,该校780名学生参加各运动项目人数统计如下表运动项目200米400米跳绳跳远跳高合计参加人数m240180120n780其中参加跑步类的人数所占频率为,为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系,用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析.1求表格中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数;2抽取的13名学生中恰好包含X,Y两名同学,其中X同学参加的项目是200米,Y同学参加的项目是跳绳,现从已抽出的参加200米和跳绳两个项目的学生中随机抽取3人,求这3人中正好有X,Y两名同学的概率.[解] 1由题意,得参加跑步类的学生人数为780×=420,所以m=420-240=180,n=780-420-180-120=
60.根据分层抽样法知,抽取的13人中参加200米的学生人数为13×=
3.2抽取的13人中参加200米的有3人,分别记为A1,A2,X,参加跳绳的有3人,分别记为B1,B2,Y.现从这6人中任选3人,所有不同的可能结果为A1,A2,X,A1,A2,B1,A1,A2,B2,A1,A2,Y,A1,X,B1,A1,X,B2,A1,X,Y,A1,B1,B2,A1,B1,Y,A1,B2,Y,A2,X,B1,A2,X,B2,A2,X,Y,A2,B1,B2,A2,B1,Y,A2,B2,Y,X,B1,B2,X,B1,Y,X,B2,Y,B1,B2,Y,共20种,其中这3人中正好有X,Y两名同学的情况有4种,由古典概型的概率计算公式,可得所求概率为P==.[延伸拓展]1.把分别标有“诚”“信”“考”“试”字样的四张卡片随意地排成一排,则卡片从左到右不能念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 A.B.C.D.[解析] 设事件M={卡片从左到右不能念成“诚信考试”和“考试诚信”},则其对立事件={卡片从左到右能念成“诚信考试”或“考试诚信”}.利用枚举法可知,分别标有“诚”“信”“考”“试”字样的四张卡片的排列方式共有24种,其中从左到右能念成“诚信考试”或“考试诚信”的有2种,所以P==,故PM=1-P=1-=,故选D.[答案] D2.从集合{2345}中随机抽取一个数a,从集合{135}中随机抽取一个数b,则向量m=a,b与向量n=1,-1垂直的概率为 A.B.C.D.[解析] 由题意可知,m=a,b有21,23,25,31,33,35,41,43,45,51,53,55,共12个基本事件.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×-1=0,即a=b,满足条件的基本事件为33,55,共2个,故所求的概率为=.[答案] A。