2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练24解三角形应用举例文

课时跟踪训练二十四解三角形应用举例[基础巩固]

一、选择题1．已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为　　A．aB.aC.aD．2a[解析]　如图所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2得AB＝a.故选B.[答案]　B2．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为　　A．50mB．50mC．25mD.m[解析]　由题意得∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50m．[答案]　A3．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的　　A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°[解析]　灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.[答案]　B4．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为精确到

0.1m　　A．

2.7mB．

17.3mC．

37.3mD．373m[解析]　依题意画出示意图．则＝∴CM＝×10≈

37.

3.[答案]　C5．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是　　A．2kmB．3kmC．3kmD．2km[解析]　画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝

6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝

3.[答案]　B6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为　　A.米B.米C.米D.米[解析]　作出示意图如右图，由已知，在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30°，则OC＝OA·tan∠OAC＝200tan30°＝.在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30°，则BD＝AD·tan∠BAD＝·tan30°＝，∴BC＝CD－BD＝200－＝.[答案]　A

二、填空题7．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[解析]　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30km．[答案]　308．2017·广东广州市高三综合测试江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.[解析]　如图，由题意知，OA＝30，∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，∠MON＝30°.在Rt△AOM中，OM＝OA·tan∠OAM＝30·tan45°＝

30.在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝

10.在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝＝10m．[答案]　109．2018·山西大学附中检测如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于________m.[解析]　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m在Rt△ACD中，CD＝＝＝60m，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝602－m，∴BC＝CD－BD＝60－602－＝120－1m．[答案]　120－1

三、解答题

10.港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？[解]　在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×21÷＝

15.∴此时轮船距港口还有15海里．[能力提升]11．2017·山西太原模拟某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　　A．500＋1mB．500mC．500＋1mD．1000m[解析]　过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝＝＝500＋m所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500＋1m．[答案]　A12．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为　　A．15米B．5米C．10米D．12米[解析]　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即h2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5舍．[答案]　C13．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．[解析]　如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，由正弦定理知＝，∴＝，∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.[答案]　北偏东30°　a

14.2017·广东省五校协作体高三一诊如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.[解析]　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－15°＋θ－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－45°－θ－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin45°－30°＝25－1，又＝，即＝，得到cosθ＝－

1.[答案]　－

115.海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶有一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．假设游船匀速行驶1求该船行驶的速度单位米/分钟；2又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远？[解]　1在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10，则BC＝10米；在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝10，则BD＝10米；在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则CD＝＝20米．所以速度v＝＝20米/分钟．2在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知＝，所以EB＝＝5米．[延伸拓展]　2017·江西宜春段考某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE＝1米，则烟囱高AB＝________米．[解析]　∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°，在△CBD中，根据正弦定理得BC＝＝20，∴AB＝1＋tan30°·CB＝1＋20米．[答案]　1＋20。