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课时跟踪训练五十椭圆二[基础巩固]
一、选择题1.2017·辽宁师大附中期中过点M-20的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1k1≠0,直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为 A.2B.-2C.D.-[解析] 由过点M-20的直线m的方程为y-0=k1x+2,代入椭圆的方程,化简得2k+1x2+8kx+8k-2=0,设P1x1,y1,P2x2,y2,∴x1+x2=,∴P的横坐标为,P的纵坐标为k1=,即点P,∴直线OP的斜率k2=,∴k1k2=-.故选D.[答案] D2.如图,Fc0为椭圆+=1ab0的右焦点,A,B为椭圆的上、下顶点,P为直线AF与椭圆的交点,则直线PB的斜率kPB= A.B.C.D.[解析] 直线AF的方程为+=1,把y=-x+b代入+=1,得x2-x=0,∴xP=,yP=,∴kPB==.[答案] D3.2017·河北唐山统考平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2= A.B.-C.-D.-2[解析] 解法一设AB的中点为G,由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点,则GO∥AD.设Ax1,y1,Bx2,y2,则有两式相减是=-,整理得=-=-k1=-1,即=-.又G,所以kOG==-,即k2=-,故选B.解法二设直线AB的方程为y=x+t,Ax1,y1,Bx2,y2,利用椭圆与平行四边形的对称性可得D-x2,-y2.则直线AD的斜率k2===1+.联立消去y得3x2+4tx+2t2-4=0,则x1+x2=-,∴k2=1+=-.故选B.[答案] B
二、解答题4.2017·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考已知椭圆C+=1ab0的离心率为,且椭圆C与圆M x2+y-32=4的公共弦长为
4.1求椭圆C的方程;2已知O为坐标原点,过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点B,求·的值.[解] 1∵椭圆C与圆M的公共弦长为4,∴椭圆C经过点±23,∴+=1,又=,a2=b2+c2,解得a2=16,b2=12,∴椭圆C的方程为+=
1.2已知右顶点A40,∵直线l与圆x2+y2=相切,设直线l的方程为y=kx-4,∴=,∴9k2=1,∴k=±.联立y=±x-4与+=1,消去y,得31x2-32x-368=
0.设Bx0,y0,则由根与系数的关系得4x0=-,∴·=4x0=-.5.2017·吉林长春外国语学校期中已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=2,它的焦距为
2.1求椭圆C的方程.2是否存在正实数t,使直线x-y+t=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.[解] 1∵F1,F2为椭圆的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=2,∴a=.∵2c=2,∴c=1,∴b==1,∴椭圆C的方程为+y2=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2,联立化简得3x2+4tx+2t2-2=
0.
①由
①知x1+x2=-,∴y1+y2=x1+x2+2t=.∵线段AB的中点在圆x2+y2=上,∴2+2=,解得t=负值舍去,故存在t=满足题意.6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.1求椭圆C的方程;2设直线l经过点M01,且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.[解] 1设椭圆方程为+=1a0,b0,因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=
1.2由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,则由得3+4k2x2+8kx-8=0,且Δ=192k2+
960.设Ax1,y1,Bx2,y2,则由=2得x1=-2x
2.又所以消去x2,得2=,解得k2=,k=±.所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=
0.[能力提升]7.2017·河南考前预测已知椭圆+=1ab0的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为.1求椭圆C的方程;2若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,求|AF2|·|F2B|的取值范围.[解] 1因为椭圆的标准方程为+=1ab0,由题意知解得a=2,b=.所以椭圆C的标准方程为+=
1.2因为F210,所以
①当直线l的斜率不存在时,A,B,则|AF2|·|F2B|=.
②当直线l的斜率存在时,直线l的方程可设为y=kx-1.由消去y,得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=
0.*设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1,x2是方程*的两个根,所以x1+x2=,x1x2=.所以|AF2|==·|x1-1|,|F2B|==·|x2-1|,所以|AF2|·|F2B|=1+k2·|x1x2-x1+x2+1|=1+k2·=1+k2·=1+k2·=.当k2=0时,|AF2|·|F2B|取最大值3,所以|AF2|·|F2B|的取值范围为.由
①②知|AF2|·|F2B|的取值范围为.8.2018·河北百校联盟期中平面直角坐标系xOy中,过椭圆M+=1ab0右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.1求M的方程;2C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.[解] 1设Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0,则+=1,+=1,=-
1.由此可得=-=
1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b
2.又由题意知,M的右焦点为,0,故a2-b2=
3.因此a2=6,b2=
3.所以M的方程为+=
1.2由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设Cx3,y3,Dx4,y4.由得3x2+4nx+2n2-6=
0.于是x3+x4=-,x3·x4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.9.设焦点在x轴上的椭圆M的方程为+=1b0,其离心率为.1求椭圆M的方程;2若直线l过点P04,则直线l何时与椭圆M相交?[解] 1因为椭圆M的离心率为,所以=2,得b2=
2.所以椭圆M的方程为+=
1.2
①过点P04的直线l垂直于x轴时,直线l与椭圆M相交.
②过点P04的直线l与x轴不垂直时,可设直线l的方程为y=kx+
4.由消去y,得1+2k2x2+16kx+28=
0.因为直线l与椭圆M相交,所以Δ=16k2-41+2k2×28=162k2-70,解得k-或k.综上,当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时,直线l与椭圆M相交.10.2017·广东惠州调研已知椭圆C+=1ab0的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.1求椭圆C的方程;2已知动直线y=kx+1与椭圆C相交于A,B两点.
①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;
②已知点M,求证·为定值.[解] 1+=1ab0满足a2=b2+c2,又=,×b×2c=,解得a2=5,b2=,则椭圆方程为+=
1.2设Ax1,y1,Bx2,y2.
①将y=kx+1代入+=1,得1+3k2x2+6k2x+3k2-5=0,∴Δ=48k2+200,x1+x2=-,∵AB中点的横坐标为-,∴-=-1,解得k=±.
②证明由
①知x1+x2=-,x1x2=,∴·=·=+y1y2=+k2x1+1x2+1=1+k2x1x2+x1+x2++k2=1+k2+++k2=++k2=定值.。