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课时跟踪训练十二函数与方程[基础巩固]
一、选择题1.若函数fx在区间[-22]上的图象是连续不断的曲线,且fx在-22内有一个零点,则f-2·f2的值 A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定[解析] 若函数fx在-22内有一个零点,且该零点是变号零点,则f-2·f20,否则,f-2·f20,故选D.[答案] D2.若函数fx=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为 A.0B.-C.0或-D.2[解析] 当a=0时,函数fx=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数fx=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.∴Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.[答案] C3.2017·湖北襄阳四校联考函数fx=3x+x3-2在区间01内的零点个数是 A.0B.1C.2D.3[解析] 由题意知fx单调递增,且f0=1+0-2=-10,f1=3+1-2=20,即f0·f10且函数fx在01内连续不断,所以fx在区间01内有一个零点.[答案] B4.2018·长沙模拟已知函数fx=lnx-x-2的零点为x0,则x0所在的区间是 A.01B.12C.23D.34[解析] ∵f1=--1=-20,f2=ln2-0=ln2-
10.f3=ln3-=ln3-lneeq\s\up15,∵3eeq\s\up15,∴f30,故x0∈23,选C.[答案] C5.2017·辽宁大连二模已知偶函数y=fxx∈R满足fx=x2-3xx≥0,若函数gx=则y=fx-gx的零点个数为 A.1B.3C.2D.4[解析] 作出函数fx与gx的图象如图,由图象可知两个函数有3个不同交点,所以函数y=fx-gx有3个零点,故选B.[答案] B6.2017·河北承德模拟若函数fx=有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 A.B.C.-∞,0∪D.-∞,0∪[解析] 由题意知,当x≤0时,函数fx有1个零点,即2x-2a=0在x≤0上有根,所以02a≤1解得0a≤;当x0时函数fx有2个零点,只需解得a,综上可得实数a的取值范围是a≤.[答案] B
二、填空题7.已知函数fx=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在13内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为________.[解析] f1=31+3-8=-20,f2=32+6-8=70,f3=33+9-8=280,故下一个有根区间为12.[答案] 128.2017·四川绵阳模拟函数fx=2x--a的一个零点在区间12内,则实数a的取值范围是________.[解析] 由题意,知函数fx在12上单调递增,又函数一个零点在区间12内,所以即解得0a3,故填03.[答案] 039.已知函数fx=有3个零点,则实数a的取值范围是________.[解析] 因为函数fx有3个零点,所以当x0时,方程ax-3=0有解,故a0,所以当x≤0时,需满足即0a
1.综上,a的取值范围是01.[答案] 01
三、解答题10.已知函数fx=-x2+2ex+m-1,gx=x+x0.1若y=gx-m有零点,求m的取值范围;2确定m的取值范围,使得gx-fx=0有两个相异实根.图1[解] 1作出gx=x+x0的大致图象如图1.可知若使y=gx-m有零点,则只需m≥2e.2若gx-fx=0有两个相异实根,即gx与fx的图象有两个不同的交点,图2作出gx=x+x0的大致图象如图2.∵fx=-x2+2ex+m-1=-x-e2+m-1+e
2.∴其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e
2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,gx与fx有两个交点,即gx-fx=0有两个相异实根.∴m的取值范围是-e2+2e+1,+∞.[能力提升]11.2017·云南昆明一模设函数fx=ex+x-2,gx=lnx+x2-
3.若函数fx,gx的零点分别为a,b,则有 A.ga0fbB.fb0gaC.0gafbD.fbga0[解析] 易知函数fx,gx在定义域上都是单调递增函数,且f0=-10,f1=e-10,g1=-20,g2=ln2+10,所以a,b存在且唯一,且a∈01,b∈12,从而f1fbf2,g0gag1,于是fb0,ga0,即ga0fb.[答案] A12.2017·甘肃省兰州市高三诊断设函数fx是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有fx+2=fx.当0≤x≤1时,fx=x
2.若直线y=x+a与函数y=fx的图象有两个不同的公共点,则实数a的值是 A.nn∈ZB.2nn∈ZC.2n或2n-n∈ZD.n或n-n∈Z[解析] 依题意得,函数y=fx是周期为2的偶函数,在[02上,由图象图略易得,当a=0或-时,直线y=x+a与函数y=fx的图象有两个不同的公共点,∵函数fx的周期为2,∴a的值为2n或2n-n∈Z.[答案] C13.2017·陕西省宝鸡市高三一检设函数fx=若函数y=fx-k有且只有两个零点,则实数k的取值范围是________.[解析] ∵当x1时,2-x;当x≥1时,log2x≥0,依题意函数y=fx的图象和直线y=k的交点有两个,∴k.[答案] 14.2017·云南省高三统一检测已知y=fx是R上的偶函数,对于任意的x∈R,均有fx=f2-x,当x∈
[01]时,fx=x-12,则函数gx=fx-log2017|x-1|的所有零点之和为________.[解析] 因为函数fx是偶函数,fx=f2-x,所以fx=f-x=fx+2,所以函数fx的周期为2,又当x∈
[01]时,fx=x-12,将偶函数y=log2017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数y=log2017|x-1|的图象,由此可在同一平面直角坐标系下作函数y=fx与y=log2017|x-1|的图象图略,函数gx的零点,即为函数y=fx与y=log2017|x-1|图象的交点的横坐标,当x2018时,两函数图象无交点,又两函数图象在
[12018]上有2016个交点,由对称性知两函数图象在[-20161]上也有2016个交点,且它们关于直线x=1对称,所以函数gx的所有零点之和为
4032.[答案] 403215.2018·烟台模拟已知二次函数fx=x2+2a-1x+1-2a,1判断命题“对于任意的a∈R,方程fx=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;2若y=fx在区间-10及内各有一个零点,求实数a的取值范围.[解] 1“对于任意的a∈R,方程fx=1必有实数根”是真命题.依题意,fx=1有实根,即x2+2a-1x-2a=0有实根,因为Δ=2a-12+8a=2a+12≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+2a-1x-2a=0必有实根,从而fx=1必有实根.2依题意,要使y=fx在区间-10及内各有一个零点,只需即解得a.故实数a的取值范围为{a.16.已知二次函数fx的最小值为-4,且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.1求函数fx的解析式;2求函数gx=-4lnx的零点个数.[解] 1∵fx是二次函数,且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},∴fx=ax+1x-3=ax2-2ax-3a,且a
0.∴fxmin=f1=-4a=-4,a=
1.故函数fx的解析式为fx=x2-2x-
3.2∵gx=-4lnx=x--4lnx-2x0,∴g′x=1+-=.令g′x=0,得x1=1,x2=
3.当x变化时,g′x,gx的取值变化情况如下x0111333,+∞g′x+0-0+gx极大值极小值当0x≤3时,gx≤g1=-
40.又因为gx在3,+∞上单调递增,因而gx在3,+∞上只有1个零点.故gx在0,+∞上仅有1个零点.[延伸拓展]2017·郑州市高三一测对于函数fx与gx,若存在λ∈{x∈R|fx=0},μ∈{x∈R|gx=0},使得|λ-μ|≤1,则称函数fx与gx互为“零点密切函数”,现已知函数fx=ex-2+x-3与gx=x2-ax-x+4互为“零点密切函数”,则实数a的取值范围是________.[解析] 易知函数fx为增函数,且f2=e2-2+2-3=0,所以函数fx=ex-2+x-3只有一个零点x=2,则取λ=2,由|2-μ|≤1,知1≤μ≤
3.由fx与gx互为“零点密切函数”知函数gx=x2-ax-x+4在区间
[13]内有零点,即方程x2-ax-x+4=0在
[13]内有解,所以a=x+-1,而函数a=x+-1在
[12]上单调递减,在
[23]上单调递增,所以当x=2时,a取最小值3,又当x=1时,a=4,当x=3时,a=,所以amax=4,所以实数a的取值范围是
[34].[答案]
[34]。