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课时跟踪训练六函数的单调性与最值[基础巩固]
一、选择题1.2016·北京卷下列函数中,在区间-11上为减函数的是 A.y=B.y=cosxC.y=lnx+1D.y=2-x[解析] 函数y=,y=lnx+1在-11上都是增函数,函数y=cosx在-10上是增函数,在01上是减函数,而函数y=2-x=x在-11上是减函数,故选D.[答案] D2.已知函数fx=,则该函数的单调递增区间为 A.-∞,1]B.[3,+∞C.-∞,-1]D.[1,+∞[解析] 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥
3.所以函数的定义域为-∞,-1]∪[3,+∞.因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞上单调递增.[答案] B3.下列函数fx中,满足“对任意的x1,x2∈0,+∞时,均有x1-x2[fx1-fx2]0”的是 A.fx=B.fx=x2-4x+4C.fx=2xD.fx=logx[解析] x1-x2[fx1-fx2]0等价于x1-x2与fx1-fx2正负号相同,故函数fx在0,+∞上单调递增.显然只有函数fx=2x符合,故选C.[答案] C4.函数fx=的最大值是 A.B.C.D.[解析] 由fx=≤,则[fx]max=,故选D.[答案] D5.2017·东北三校联考一设函数fx=x2+a-2x-1在区间[2,+∞上是增函数,则实数a的最小值为 A.-2B.-1C.1D.2[解析] 由题意得≤2,解得a≥-2,所以实数a的最小值为-
2.[答案] A6.2017·德州市模拟设偶函数fx在0,+∞上为增函数,且f1=0,则不等式0的解集为 A.-10∪1,+∞B.-∞,-1∪01C.-∞,-1∪1,+∞D.-10∪01[解析] 因为函数fx为偶函数,且在区间0,+∞上是增函数,f1=0,所以函数fx在区间-∞,0上是减函数,且f-1=
0.由0,可得0,即0,当x0时,fx0,即fxf-1,解得-1x0;当x0时,fx0,即fxf1,解得x
1.故不等式0的解集为-10∪1,+∞.[答案] A
二、填空题7.函数fx=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b=________.[解析] 易知fx在[a,b]上为减函数,∴即∴∴a+b=
6.[答案] 68.函数y=log|x-3|的单调递减区间是________.[解析] 函数的定义域为{x|x≠3}.令u=|x-3|,则在-∞,3上u为x的减函数,在3,+∞上u为x的增函数.又∵01,∴在区间3,+∞上,y为x的减函数.[答案] 3,+∞9.若函数fx=在区间-2,+∞上是单调递增函数,则实数a的取值范围是________.[解析] 解法一fx===+a.任取x1,x2∈-2,+∞,且x1x2,则fx1-fx2=-=.∵函数fx=在区间-2,+∞上是递增的,∴fx1-fx
20.∵x2-x10,x1+20,x2+20,∴1-2a0,a,即实数a的取值范围是.解法二fx==a+,∵fx在-2,+∞上单调递增,∴1-2a0,∴a.[答案]
三、解答题10.已知函数fx=a-.1求证函数y=fx在0,+∞上是增函数;2若fx2x在1,+∞上恒成立,求实数a的取值范围.[解] 1证明当x∈0,+∞时,fx=a-,设0x1x2,则x1x20,x2-x10,fx2-fx1=-=-=0,所以fx在0,+∞上是增函数.2由题意a-2x在1,+∞上恒成立,设hx=2x+,则ahx在1,+∞上恒成立.任取x1,x2∈1,+∞且x1x2,hx1-hx2=x1-x
2.因为1x1x2,所以x1-x20,x1x21,所以2-0,所以hx1hx2,所以hx在1,+∞上单调递增.故a≤h1,即a≤3,所以实数a的取值范围是-∞,3].[能力提升]11.已知fx=是-∞,+∞上的减函数,那么a的取值范围是 A.01B.C.D.[解析] 据题意要使原函数在定义域R上为减函数,要满足3a-10,且0a1,及x=1时3a-1×1+4a≥loga1,解得a的取值范围为,故选C.[答案] C12.如果函数y=fx在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=fx是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数fx=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为 A.[1,+∞B.[0,]C.
[01]D.[1,][解析] 因为函数fx=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=fx在区间[1,+∞上是增函数,又当x≥1时,=x-1+,令gx=x-1+x≥1,则g′x=-=,由g′x≤0得1≤x≤,即函数=x-1+在区间[1,]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,].[答案] D13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数fx=-x+3,gx=log2x,则函数hx=min{fx,gx}的最大值是________.[解析] 依据题意,作出函数hx的图象,如图由图可知,当x=2时,hx取得最大值
1.[答案] 114.已知函数fx=lnx+2x,若fx2-42,则实数x的取值范围是________.[解析] 因为函数fx=lnx+2x在定义域上单调递增,且f1=ln1+2=2,所以由fx2-42得,fx2-4f1,所以0x2-41,解得-x-2或2x.[答案] -,-2∪2,15.2018·江苏徐州期中已知a∈R,函数fx=x|x-a|.1当a=2时,写出函数y=fx的单调递增区间;2当a2时,求函数y=fx在区间
[12]上的最小值.[解] 1当a=2时,fx=x|x-2|=由图象可知,y=fx的单调递增区间为-∞,1],[2,+∞.2因为a2,x∈
[12],所以fx=xa-x=-x2+ax=-2+.当1≤,即2a≤3时,fxmin=f2=2a-4;当,即a3时,fxmin=f1=a-
1.∴fxmin=16.已知函数fx=lg,其中a是大于0的常数.1求函数fx的定义域;2当a∈14时,求函数fx在[2,+∞上的最小值;3若对任意x∈[2,+∞恒有fx0,试确定a的取值范围.[解] 1由x+-20,得0,a1时,x2-2x+a0恒成立,定义域为0,+∞,a=1时,定义域为{x|x0且x≠1},0a1时,定义域为{x|0x1-或x1+}.2设gx=x+-2,当a∈14,x∈[2,+∞时,g′x=1-=0恒成立,∴gx=x+-2在[2,+∞上是增函数.∴fx=lg在[2,+∞上是增函数.∴fx=lg在[2,+∞上的最小值为f2=lg.3对任意x∈[2,+∞恒有fx0,即x+-21对x∈[2,+∞恒成立.∴a3x-x2,而hx=3x-x2=-2+在x∈[2,+∞上是减函数,∴hxmax=h2=
2.∴a
2.[延伸拓展]已知定义在区间0,+∞上的函数fx满足f=fx1-fx2,且当x1时,fx
0.1求f1的值;2证明fx为单调递减函数;3若f3=-1,求fx在
[29]上的最小值.[解] 1令x1=x20,代入得f1=fx1-fx1=0,故f1=
0.2证明任取x1,x2∈0,+∞,且x1x2,则1,由于当x1时,fx0,所以f0,即fx1-fx20,因此fx1fx2,所以函数fx在区间0,+∞上是单调递减函数.3∵fx在0,+∞上是单调递减函数.∴fx在
[29]上的最小值为f9.由f=fx1-fx2得,f=f9-f3,而f3=-1,所以f9=-
2.∴fx在
[29]上的最小值为-
2.。