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第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系限时:45分钟【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系的判断14圆锥曲线的弦长问题256中点弦问题6轨迹方程7综合问题3
一、选择题
1.2018·广东珠海九月摸底已知抛物线C:y2=4x过点P-20作直线l与C交于AB两点直线l的斜率为k则k的取值范围是 A A-0∪0B[-]C-D[-0∪0]解析:设直线l的方程为y=kx+2由得k2x2+4k2-1x+4k2=0当k=0时不合题意当k≠0时Δ=16k2-12-16k40所以0k2所以k∈-0∪
0.故选A.
2.2018·吉林百校联盟联考已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点F到其准线l的距离为2过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于MN两点若MM′⊥lNN′⊥l垂足分别为M′N′则△M′N′F的面积为 B ABCD解析:由题意得p=2所以抛物线C的方程为y2=4xF10直线MN:x=y+1由得y2-y-4=0则y1+y2=y1y2=-4所以|y1-y2|==所以S△M′N′F=××2=.故选B.
二、填空题
3.2018·吉林百校联盟联考已知双曲线C:-=1ab0的左、右焦点分别为F1F2过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于MN两点若|NF1|=2|MF1|则双曲线C的渐近线方程为 . 解析:不妨设C与渐近线y=x垂直则直线l:y=-x+c由得M--由得N-因为|NF1|=2|MF1|所以M为NF1的中点所以=-即c2=-2a2-b2所以a2+b2=-2a2+2b2所以=故双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x
三、解答题
4.2018·石家庄重点高中摸底考试已知椭圆C:+=1ab0的右焦点为F10且点P1在椭圆C上O为坐标原点.1求椭圆C的标准方程;2设过定点T02的直线l与椭圆C交于不同的两点AB且∠AOB为锐角求直线l的斜率k的取值范围.解:1由题意得c=1所以a2=b2+
1.因为点P1在椭圆C上所以+=1所以a2=4b2=
3.则椭圆C的标准方程为+=
1.2由题意知l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2点Ax1y1Bx2y2由得4k2+3x2+16kx+4=
0.因为Δ=484k2-10所以k2由根与系数的关系得x1+x2=x1x2=.因为∠AOB为锐角所以·0即x1x2+y1y
20.所以x1x2+kx1+2kx2+20即1+k2x1x2+2kx1+x2+40所以1+k2·+2k·+40即0所以k
2.综上可知k2解得-k-或k.所以直线l的斜率k的取值范围为--∪.
5.已知椭圆C:+=1ab0的下顶点为A右顶点为B离心率e=.抛物线E:y=的焦点为FP是抛物线E上一点抛物线E在点P处的切线为l且l∥AB.1求直线l的方程;2若l与椭圆C相交于MN两点且S△FMN=求椭圆C的标准方程.解:1因为e2=1-=所以=所以kAB=又l∥AB所以直线l的斜率为.设Pt由y=得y′=因为过点P的直线l与抛物线E相切所以=解得t=2所以P2所以直线l的方程为x-2y-1=
0.2法一 设Mx1y1Nx2y2由得2x2-2x+1-4b2=0则x1+x2=1x1x2=易知Δ=4-81-4b20解得b2所以|x1-x2|==.l:x-2y-1=0中令x=0得y=-则l交y轴于点D0-又抛物线焦点为F02所以|FD|=2+=所以S△FMN=|FD|×|x1-x2|=×=解得b2=4所以椭圆C的标准方程为+=
1.法二 设Mx1y1Nx2y2由得2x2-2x+1-4b2=0则x1+x2=1x1x2=易知Δ=4-81-4b20解得b2所以|x1-x2|==.|MN|=|x1-x2|=l:x-2y-1=0抛物线焦点为F02则点F到直线l的距离d==所以S△FMN=|MN|×d=××=解得b2=4所以椭圆C的标准方程为+=
1.
6.在平面直角坐标系xOy中过椭圆M:+=1ab0右焦点的直线x+y-=0交M于AB两点P为AB的中点且OP的斜率为.1求M的方程;2CD为M上的两点若四边形ACBD的对角线CD⊥AB求四边形ACBD面积的最大值.解:1设Ax1y1Bx2y2Px0y0则+=1+=1=-1由此可得=-=
1.因为x1+x2=2x0y1+y2=2y0=所以=所以a2=2b
2.又由题意知M的右焦点的坐标为0故a2-b2=3因此a2=6b2=3所以M的方程为+=
1.2由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-n.设Cx3y3Dx4y
4.由得3x2+4nx+2n2-6=
0.于是x34=.因为直线CD的斜率为1所以|CD|=|x4-x3|=.由题意四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=当n=0S取得最大值最大值为所以四边形ACBD面积的最大值为.
7.2018·广州综合测试已知定点M10和N20动点P满足|PN|=|PM|.1求动点P的轨迹C的方程;2若AB为1中轨迹C上两个不同的点O为坐标原点.设直线OAOBAB的斜率分别为k1k2k.当k1k2=3时求k的取值范围.解:1设动点P的坐标为xy因为M10N20|PN|=|PM|所以=.整理得x2+y2=
2.所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=
2.2设点Ax1y1Bx2y2直线AB的方程为y=kx+b.由消去y整理得1+k2x2+2bkx+b2-2=
0.*由Δ=2bk2-41+k2b2-20得b22+2k
2.
①由根与系数的关系得x1+x2=-x1x2=.
②由k1·k2=·=·=3得kx1+bkx2+b=3x1x2即k2-3x1x2+bkx1+x2+b2=0
③将
②代入
③整理得b2=3-k
2.
④由
④得b2=3-k2≥0解得-≤k≤.
⑤由
①和
④解得k-或k.
⑥要使k1k2k有意义则x1≠0x2≠0所以0不是方程*的根所以b2-2≠0即k≠1且k≠-
1.
⑦由
⑤⑥⑦得k的取值范围为[--1∪-1-∪1∪1].。