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第3讲 圆锥曲线的综合问题限时:45分钟【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题23探索性问题4取值范围问题
51.2018·广西柳州市一模已知椭圆C:+=1ab0的离心率为F1F2为椭圆的左右焦点P为椭圆短轴的端点△PF1F2的面积为
2.1求椭圆C的方程;2设O为原点若点A在椭圆C上点B在直线y=2上且OA⊥OB试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系并证明你的结论.解:1由题意解得a=2b=c=所以椭圆C的方程为+=
1.2直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点AB的坐标分别为x0y0t2其中x0≠
0.因为OA⊥OB所以·=0即tx0+2y0=0解得t=-.当x0=t时y0=-代入椭圆C的方程得t=±故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时直线AB的方程为y-2=x-t.即y0-2x-x0-ty+2x0-ty0=
0.d=又+2=4t=-故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上AB与圆x2+y2=2相切.
2.2018·湖北省八市联考如图已知抛物线x2=2pyp0其焦点到准线的距离为2圆S:x2+y2-py=0直线l:y=kx+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点ABCD.1若线段ABBCCD的长按此顺序构成一个等差数列求正数k的值;2若直线l1过抛物线的焦点且垂直于直线ll1与抛物线交于MN两点设MNAD的中点分别为PQ.求证:直线PQ过定点.1解:由题意可得p=2所以S01圆S的半径为
1.设Ax1y1Dx2y2由得x2-4kx-4=0所以x1+x2=4k所以y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2所以|AB|+|CD|=|AS|+|DS|-|BC|=y1+1+y2+1-2=y1+y2=4k2+2又|AB|+|CD|=2|BC|即4k2+2=
4.又k0所以k=.2证明:由1知x1+x2=4ky1+y2=4k2+2所以Q2k2k2+
1.当k=0时直线l1与抛物线没有两个交点所以k≠0用-替换k可得P-+1所以kPQ=所以直线PQ的方程为y-2k2+1=x-2k化简得y=x+3所以直线PQ过定点
03.
3.2018·广东省海珠区一模已知椭圆C:+=1ab0的焦距为2且过点A
21.1求椭圆C的方程;2若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于PQ两点且直线AP与直线AQ的斜率之和为0证明:直线PQ的斜率为定值.1解:因为椭圆C的焦距为2且过点A21所以+=12c=
2.因为a2=b2+c2解得a2=8b2=2所以椭圆C的方程为+=
1.2证明:设点Px1y1Qx2y2则y1=kx1+my2=kx2+m由消去y得4k2+1x2+8kmx+4m2-8=0*则x1+x2=-x1x2=因为kPA+kAQ=0即=-化简得x1y2+x2y1-x1+x2-2y1+y2+4=
0.即2kx1x2+m-1-2kx1+x2-4m+4=
0.代入得--4m+4=0整理得2k-1m+2k-1=0所以k=或m=1-2k.若m=1-2k可得方程*的一个根为2不合题意所以直线PQ的斜率为定值该值为.
4.2018·山西八校联考已知圆C:x2+y2-2x=0圆P在y轴的右侧且与y轴相切与圆C外切.1求圆心P的轨迹Γ的方程;2过点M20且斜率为kk≠0的直线l与Γ交于AB两点点N与点M关于y轴对称记直线ANBN的斜率分别为k1k2是否存在常数m使得+-为定值若存在求出该常数m与定值;若不存在请说明理由.解:1圆C的方程可化为x-12+y2=1则圆心C10半径r=
1.设圆心P的坐标为xyx0圆P的半径为R由题意可得所以|PC|=x+1即=x+1整理得y2=4x.所以圆心P的轨迹Γ的方程为y2=4xx
0.2由已知直线l的方程为y=kx-2不妨设t=则直线l的方程为y=x-2即x=ty+
2.联立得消去x得y2-4ty-8=
0.设Ax1y1Bx2y2则因为点M20与点N关于y轴对称所以N-20故k1=所以===t+同理得=t+所以+-=t+2+t+2-=2t2+8t×++16×+-mt2=2t2+8t×+16×-mt2=2t2+8t×+16×-mt2=2t2+4-mt2=2-mt2+4要使该式为定值则需2-m=0即m=2此时定值为
4.所以存在常数m=2使得+-为定值且定值为
4.
5.2018·南昌市一模已知椭圆+=1ab0连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形为正方形正方形的边长为.1求椭圆的方程;2设Cm0过焦点Fc0c0且斜率为kk≠0的直线l与椭圆交于AB两点使得+⊥求实数m的取值范围.解:1由椭圆的定义及题意得a=b=c=1所以椭圆的方程为+y2=
1.2由1得F10直线l的方程为y=kx-1代入+y2=1得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=0设Ax1y1Bx2y2AB的中点Mx0y0则x1+x2=所以y1+y2=kx1+x2-2=x0=y0=.因为+=2所以⊥所以kCM×k=×k=-1所以-m+×k=0m==∈0所以实数m的取值范围是
0.。