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考查角度3 解三角形及其应用 分类透析一 利用正、余弦定理解三角形例11△ABC的内角ABC的对边分别为abc若cosA=cosC=a=1则b= . 2在△ABC中角ABC所对的边分别为abc若a=1c=2B=30°则sinC= . 解析1因为cosA=cosC=且AC为三角形的内角所以sinA=sinC=.所以sinB=sin[π-A+C]=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=.又因为=所以b==.2由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=1+12-4×=7即b=.由正弦定理得sinC===.答案1 2方法技巧1利用正弦定理可以解决两类三角形问题:
①已知两角和任一边求其他边和角这种情况有唯一解;
②已知两边和其中一边所对的角求其他边和角这种情况可能有一解可能有两解可能无解要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断.2利用余弦定理可以解决三类三角形问题:
①已知两边及其夹角求其他边和角这种情况有唯一解;
②已知三边求三角这种情况有唯一解;
③已知两边和其中一边所对的角求其他边和角这种情况可能有一解可能有两解可能无解要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断. 分类透析二 正、余弦定理的综合应用例21在△ABC中B=60°AC=则AB+2BC的最大值为 . 2在△ABC中角ABC所对的边分别是abccosC=且acosB+bcosA=2则△ABC面积的最大值为 . 解析1依题意知A+C=120°∴C=120°-A0°A120°.由正弦定理可得===2∴AB=2sin120°-ABC=2sinA∴AB+2BC=2sin120°-A+4sinA=5sinA+cosA=2sinA+φ≤2其中tanφ=当A+φ=90°时“=”成立故所求最大值是
2.2由题设及余弦定理可得a·+b·=2故c=2又由余弦定理可得22=a2+b2-2ab×即a2+b2=ab+
4.∵a2+b2≥2ab∴ab+4≥2ab∴ab≤当且仅当a=b时取等号.由cosC=可得sinC==∴S△ABC=absinC=×ab=ab≤×=.答案12 2方法技巧1三角函数中的最值问题常常转化为三角函数问题再结合辅助角公式或均值不等式求解;2与面积有关的问题一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 分类透析三 解三角形的实际应用例31如图从气球A上测得正前方的河流的两岸BC的俯角分别为75°30°此时气球的高是60m则河流的宽度BC等于 .A.240-1mB.180-1mC.120-1mD.30+1m22018唐山模拟一艘海监船在某海域实施巡航监视由A岛向正北方向行驶80海里至M处然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处再沿南偏东30°方向行驶30海里至B岛则AB两岛之间的距离是 海里. 解析1由题图知AB==m∠ACB=30°∠BAC=45°.在△ABC中由正弦定理得=可得BC=120-1m.故选C.2连接AN则在△AMN中由余弦定理可得cos60°=解得AN=70海里.由余弦定理可得cos∠ANM==所以sin∠ANM=.在△ANB中由余弦定理可得cos∠ANB=.又cos∠ANB=cos150°-∠ANM=cos150°cos∠ANM+sin150°sin∠ANM=所以=解得AB=70海里.答案1C 270方法技巧利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:1实际问题经抽象概括后已知量与未知量全部集中在一个三角形中可以利用正弦定理或余弦定理求解;2实际问题经抽象概括后已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形这时需作出这些三角形先解够条件的三角形再逐步解其他三角形有时需要设出未知量从几个三角形中列出方程组解方程组得出所要的解.
1.2018年全国Ⅱ卷理6改编在△ABC中角ABC所对的边分别为abc若a=1c=4B=45°则sin2C= . 解析由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=1+32-8×=25即b=
5.∴cosC===-sinC=.∴sin2C=2sinC·cosC=2××=-.答案-
2.2018年全国Ⅲ卷理9改编在△ABC中内角ABC所对的边分别为abc已知△ABC的面积为3b-c=2cosA=-则a的值为 . 解析因为S△ABC=bcsinA=3sinA==所以bc=
24.又b-c=2所以a2=b2+c2-2bccosA=b-c2+2bc-2bccosA=64所以a=
8.答案
83.2018年全国Ⅰ卷文16改编在△ABC中角ABC所对的边分别为abc且sinA-B+2cosAsinB=-2sin2C16a2+16b2-13c2=
0.若△ABC的面积为则a+b-c的值为 .A.1B.2C.3D.4解析因为sinA-B+2cosAsinB=-2sin2C且sinA-B+2cosAsinB=sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sin180°-C=sinC所以sinC=-2sin2C=-4sinCcosC.因为sinC≠0所以cosC=-sinC=.由余弦定理可知=-即16a2+16b2-16c2+8ab=
0.又16a2+16b2-13c2=0所以c2=ab.由已知得S△ABC=absinC=ab=解得ab=6所以c=
4.即有所以a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25解得a+b=5所以a+b-c=
1.答案A
4.2018年江苏卷13改编若△ABC的内角ABC满足sinA+sinB=2sinC则cosC的最小值是 . 解析由sinA+sinB=2sinC可得a+b=2c∴c=∴cosC====×+×-≥2-=.答案
5.2018年北京卷文14改编在△ABC中已知a2+b2-c2=4SS为△ABC的面积若c=则a-b的取值范围是 .A.0B.-10C.-1D.-解析∵a2+b2-c2=4S∴a2+b2-c2=4×absinC=2absinC∴=sinC∴cosC=sinC∴C=.∵====2∴a=2sinAb=2sinB.∴a-b=2sinA-×2sinB=2sinA-sinB=2sinA-sin=sinA-cosA=sin.又0A∴-A-∴-1sin∴-1a-b故选C.答案C
1.2018年沈阳模拟如图设AB两点在河的两岸一测量者在A的同侧选定一点C测出AC的距离为50m∠ACB=45°∠CAB=105°则AB两点的距离为 . A.50mB.50mC.25mD.m解析由正弦定理得AB===50m.答案A
2.2018天津河东区模拟在△ABC中角ABC所对的边分别为abcb=5B=tanA=2则a的值是 .A.10B.2C.D.解析在△ABC中∵tanA==2sin2A+cos2A=1∴sinA=.由正弦定理可得=解得a=
2.故选B.答案B
3.2017年北京昌平模拟在△ABC中已知AB=3AC=5A=120°则= .A.B.C.D.解析∵AB=3AC=5A=120°由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=49∴BC=
7.由正弦定理得==故选B.答案B
4.2018广东茂名二模在△ABC中内角ABC的对边分别是abc若2bcosC+c=2a且b=c=3则a= .A.1B.C.2D.4解析∵2bcosC+c=2a∴由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sinB+C=2sinBcosC+2cosBsinC∴sinC=2cosBsinC.∵sinC≠0∴cosB=.又0Bπ∴B=.∵b=c=3∴由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB解得a=
4.答案D
5.2018成都模拟在△ABC中内角ABC的对边分别为abc且B=2C2bcosC-2ccosB=a则角A的大小为 .A.B.C.D.解析由正弦定理得2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC∴sinBcosC=3sinCcosB∴sin2CcosC=3sinCcos2C∴2cos2C=3cos2C-sin2C解得tan2C=.∵B=2C∴C为锐角∴tanC=∴C=B=A=.故选A.答案A
6.2018年佛山调研在△ABC中角ABC所对的边分别是abc且abc成等差数列则角B的取值范围是 .A.B.C.D.解析因为2b=a+c所以cosB==×-
1.由基本不等式≥得cosB≥×4-1=所以角B的取值范围是故选B.答案B
7.2018届江西赣州期末在△ABC中内角ABC的对边分别为abc满足2acosA=bcosC+ccosB且b+c=4则a的最小值为 .A.2B.2C.3D.2解析由正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sinA故cosA=.由余弦定理得cosA===即a2=16-3bc≥16-3×=4所以a的最小值为
2.故选A.答案A
8.2018届邢台二中月考在△ABC中内角ABC的对边分别是abc若sin=且a+c=2则△ABC周长的取值范围是 .A.23]B.[34C.45]D.[56解析由0Bπ得B+∵sinB+=∴B+=解得B=.又∵a+c=2∴由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-ac=4-3ac.∵a+c=2a+c≥2当且仅当a=c时取等号∴0ac≤1∴-3≤-3ac0则1≤b24即1≤b
2.∴△ABC的周长L=a+b+c=b+2∈[
34.故选B.答案B
9.2018届河南濮阳一模在△ABC中sinAsinBsinC成等比数列则的取值范围是 .A.B.C.-1]D.解析由已知可得sin2B=sinA·sinC即b2=ac∴cosB==≥=∴0B≤sinB+cosB=sin∈1].原式==设t=sinB+cosB则原式==t-1t≤.∵函数y=t-是增函数当t=1时y=0当t=时y=∴原式的取值范围是故选B.答案B
10.2018届南昌一模已知台风中心位于城市A东偏北αα为锐角度的150公里处以v公里/小时沿正西方向快速移动
2.5小时后到达距城市A西偏北ββ为锐角度的200公里处若cosα=cosβ则v= .A.60B.80C.100D.125解析画出图象如图所示由余弦定理得
2.5v2=2002+1502+2×200×150cosα+β
①由正弦定理得=sinα=sinβ.因为cosα=cosβ所以由sin2α+cos2α=1解得sinβ=故cosβ=sinα=cosα=故cosα+β=-=0代入
①解得v=
100.故选C.答案C
11.2018上海普陀二模在锐角三角形ABC中角ABC的对边分别为abc若b2+c2-a2tanA=bc则角A的大小为 . 解析由b2+c2-a2tanA=bc两边同除以2bc得·tanA=由余弦定理可得cosA·tanA=∴sinA=.∵A是锐角∴A=.答案
12.2018届河南许昌调研如图已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm灯塔A在观察站C的北偏东20°灯塔B在观察站C的南偏东40°则灯塔A与B的距离为 km. 解析由题图可知∠ACB=120°由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=a2+a2-2·a·a·=3a2解得AB=akm.答案a
13.2018届济南期末已知△ABC的内角ABC的对边分别为abc若cosB=b=4sinC=2sinA则△ABC的面积为 . 解析∵sinC=2sinA∴由正弦定理可得c=2a.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB∴42=a2+c2-ac与c=2a联立解得a=2c=
4.∵cosB=B∈0π∴sinB==∴△ABC的面积S=acsinB=×2×4×=.答案
14.2018年衡水金卷五我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段有三斜其小斜一十三里中斜一十四里大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田三边分别为13里14里15里假设1里按500米计算则该三角形沙田外接圆的半径为 米. 解析由题意画出图象如图且AB=13里=6500米BC=14里=7000米AC=15里=7500米.在△ABC中由余弦定理得cosB===.因为B为锐角所以sinB==.设△ABC外接圆的半径为R则由正弦定理有=2R所以R===
4062.5米.答案
4062.
515.2018河北衡水二调已知锐角△ABC的外接圆的半径为1B=则·的取值范围为 . 解析如图设||=c||=a∵△ABC的外接圆的半径为1B=∴由正弦定理得==2∴a=2sinAc=2sinCC=-A.由得A.∴·=cacos=4×sinAsinC=2sinAsin-A=2sinAcosA+sinA=sinAcosA+3sin2A=sin2A+=sin2A-cos2A+=sin+.∵A∴2A-∴sin2A-≤1∴3sin+≤+.∴·的取值范围为.答案。
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