2019届高考数学二轮复习第一篇考点六立体几何考查角度1空间几何体的三视图、表面积与体积突破训练文

考查角度1　空间几何体的三视图、表面积与体积　　分类透析一　三视图与直观图的识别与还原例11图

①是一个正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图其中DD1=1AB=BC=AA1=

2.若此几何体的俯视图如图

②所示则可以作为其正视图的是　　.2某四棱锥的三视图如图所示该四棱锥最长棱的棱长为　　.A.1B.C.D.2解析1由题意结合该几何体的直观图和俯视图知其正视图的长应为底面正方形的对角线长高应为正方体的棱长故排除BD在三视图中看不见的棱用虚线表示故排除A选C.2由题中三视图知此四棱锥的直观图如图所示其中侧棱SA⊥底面ABCD且底面是边长为1的正方形SA=1所以四棱锥最长棱的棱长为SC=故选C.答案1C　2C方法技巧1解决空间几何体的三视图问题能否回归到正方体或长方体是求解问题的关键要在正方体或长方体中寻找已知三视图所对应的空间几何体;2对于简单几何体的组合体的三视图首先要确定正视、侧视、俯视的方向其次要注意组合体由哪些几何体组成弄清它们的组成方式特别应注意它们的交线的位置.　　分类透析二　根据三视图求解几何体的表面积与体积例21某几何体的三视图单位:cm如图所示则此几何体的表面积是　　.A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm22已知某几何体的三视图如下图所示其中正主视图中半圆的半径为1则该几何体的体积为　　.A.24-B.24-C.24-πD.24-解析1由三视图画出几何体的直观图如图所示则此几何体的表面积S=S1-S正方形+S2+2S3+S斜面其中S1是长方体的表面积S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积S3是三棱柱的一个底面的面积则S=4×6+3×6+3×4×2-3×3+3×4+2××4×3+5×3=138cm

2.故选D.2由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长宽高分别为

324.则长方体的体积为3×2×4=

24.半圆柱的高为3半圆柱的体积为×π×3=所以几何体的体积为24-.答案1D　2A方法技巧由几何体的三视图求几何体的表面积和体积通常情况下先将三视图转化为其几何体的直观图然后将三视图中的数据代入公式进行计算.　　分类透析三　柱体、锥体、台体的表面积与体积例31正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2侧棱长为D为BC中点则三棱锥A-B1DC1的体积为　　.A.3B.C.1D.2《九章算术》商功章有题:一圆台形谷仓谷仓口直径为六尺谷仓底直径为一丈八尺谷仓高一丈八尺若谷仓屯米高九尺则谷仓屯米约为　　.斛为容积单位1斛≈

1.62立方尺1丈=10尺π≈3A.650斛B.950斛C.1950斛D.2850斛解析1由题意可知AD⊥BC由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1又AD=2sin60°=所以=×AD×=××=

1.故选C.2圆台的轴截面如图所示GHF分别为CBDABA的中点E为GH的中点由题意得GB=3尺HA=9尺GH=18尺EH=9尺所以EF=HA+GB=6尺所以谷仓屯米的体积为V=×9×π×36+6×9+81=513π≈513×3=1539立方尺.因为1539÷

1.62=950所以谷仓屯米约为950斛.故选B.答案1C　2B方法技巧1求解空间几何体的体积的关键是确定几何体的形状以及线面的位置关系和尺寸利用相应体积公式求解;2若所给几何体的体积不能直接利用公式得出则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.　　分类透析四　球的接切问题例4已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上△ABC是边长为1的正三角形SC为球O的直径且SC=2则此棱锥的体积为　　.A.B.C.D.解析如图所示根据球的性质知OO1⊥平面ABC则OO1⊥O1C.在直角△OO1C中OC=1O1C=所以OO1===.因此三棱锥S-ABC的体积V=2VO-ABC=2×××=故选A.答案A方法技巧求解球的表面积和体积关键需要求出半径;与组合体有关的解答关键是要明确组合体是“切”还是“接”然后明确多面体的某一几何量与球的半径之间的关系再运用相关的知识求解特别要注意利用球的截面性质.

1.2018年全国Ⅰ卷文9改编一个几何体的三视图如图所示其中正视图是等边三角形俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点则蚂蚁所经过路程的最小值为　　　　. 解析如图所示侧面展开图为一个扇形与一个三角形从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点蚂蚁所经过路程的最小值为|AA1|===+.答案+

2.2018年全国Ⅲ卷文3改编榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式凸出部分叫榫凹进部分叫卯榫和卯咬合起到连接作用代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图其表面积为　　.A.8+12πB.8+16πC.9+12πD.9+16π解析由三视图知该榫是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体其表面积S=2π×2×2+2π×22+1×2×4=8+16π故选B.答案B

3.2017年全国Ⅰ卷理7改编某多面体的三视图如图所示其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成正方形的边长为2俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中面积最大的面的面积为　　.A.2B.6C.6D.12解析由三视图可知几何体为三棱锥与三棱柱的组合体.作出直观图如图所示:由俯视图可知DE⊥DF∴S梯形ACFD=S梯形ABED=×2+4×2=6S矩形BCFE=2×2=4S△ABC=×22=2S△DEF=×2×2=2故选B.答案B

4.2017年全国Ⅱ卷文6改编如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积为　　.A.90πB.6+πC.42πD.4+π解析由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体且三棱柱与半圆柱的高都是2三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面三棱柱的底面为等腰直角三角形且腰长为2半圆柱的底面半径为1∴几何体的体积V=×2×22+×π×12×2=4+π.答案D

1.2018佛山二模某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.8-B.8-C.24-πD.24+π解析由已知三视图得该几何体是一个正方体切去半径为2的个球所以表面积为2×2×6-×π×22+×4π×22=24-π.故选C.答案C

2.2018届陕西省渭南市模拟如图一个四面体的三视图如图所示则该四面体的体积是　　.A.B.C.D.1解析根据题意得到原图是三棱锥底面为等腰直角三角形高为1故得到体积为××2×1×1=故选B.答案B

3.2018黄山一模《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽周四丈八尺高一丈一尺.问积几何答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘以高乘之十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体它的体积为“周自相乘以高乘之十二而一”.就是说:圆堡瑽圆柱体的体积为V=×底面圆的周长的平方×高则由此可推得圆周率π的取值为　　.A.3B.

3.1C.

3.14D.

3.2解析设圆柱体的底面半径为r高为h由圆柱的体积公式得体积为V=πr2h.由题意知V=×2πr2×h.所以πr2h=×2πr2×h解得π=

3.故选A.答案A

4.2018重庆模拟某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为　　.A.54B.60C.66D.72解析由三视图知该几何体是由直三棱柱削去一个同底的三棱锥所得如图.三棱柱的高为5削去的三棱锥的高为3三棱锥与三棱柱的底面都是边长为3和4的直角三角形.∵AB⊥平面BEFC∴AB⊥BCBC=5FC=2AD=BE=5DF=5∴该几何体的表面积S=×3×4+3×5+++×3×5=

60.故选B.答案B

5.2018届齐齐哈尔市第八中学二模如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积为　　.A.1+2πB.1+πC.2+3πD.2+π解析该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成所以体积为2×××2×2×2+×4π×4=1+2π故选A.答案A

6.2018届甘肃省兰炼一中第二次模拟在四面体ABCD中若AB=CD=AC=BD=2AD=BC=则四面体ABCD的外接球的表面积为　　.A.2πB.4πC.6πD.8π解析如图所示该四面体为长方体的四个顶点设长、宽、高分别为abc则三式相加得a2+b2+c2=6因为易知该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长所以2R2=

6.故外接球的表面积为4πR2=6π.答案C

7.2018届河南省安阳市模拟考试如图所示的是一个几何体的三视图则该几何体的体积是　　.A.4+2πB.4+πC.4+πD.4+解析由三视图知该组合体是由长方体与半个圆柱组合而成体积为V=1×1×4+×π×12×1=4+故选D.答案D

8.2018南平一模已知某简单几何体的三视图如图所示若正主视图的面积为1则该几何体最长的棱的长度为　　.A.B.C.2D.解析如图该几何体为三棱锥A-BCDBC=2CD=2因为正主视图的面积为1故正主视图的高为1由此可计算AB=AC=BD=2为最长棱长故选C.答案C

9.2018陕西一模《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积则该“堑堵”的侧面积为　　.A.2B.4+2C.4+4D.4+6解析根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱底面是一个直角三角形两条直角边是斜边是2且侧棱与底面垂直侧棱长是2∴几何体的侧面积S=2×2+2×2×=4+4故选C.答案C

10.2018合肥模拟某几何体的三视图如图所示则该几何体的外接球的表面积为　　.A.13πB.16πC.25πD.27π解析该几何体是底面为正方形的长方体底面对角线长为4高为3∴长方体底面边长为

2.设长方体外接球的半径为r则2r==5∴r=∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π.故选C.答案C

11.2018届镇江市第一次模拟已知正四棱锥的底面边长为2侧棱长为则正四棱锥的体积为　　　　　. 解析正四棱锥的底面边长为2底面面对角线的一半为所以棱锥的高为h==2∴V=Sh=×22×2=.答案

12.2018届江苏省常州市第一次模拟已知圆锥的高为6体积为8用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的圆台体积是7则该圆台的高为　　　　　. 解析设该圆台的高为h由题意得用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的小圆锥体积是1则==解得h=3即该圆台的高为

3.答案

313.2018届四川省成都市龙泉中学高三12月月考一个棱锥的三视图如图所示其中侧视图为边长为1的正三角形则四棱锥侧面中最大侧面的面积是　　　　　. 解析由四棱锥的三视图可知该四棱锥底面ABCD为边长为1的正方形△PAD是边长为1的等边三角形PO垂直于AD于点O其中O为AD的中点所以四棱锥侧面中最大侧面是△PBCPB=PC=BC=1面积是×1×=.答案

14.2018届合肥市第一次教学质量检测如图已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2∠A=60°∠C=90°将△ABD沿对角线BD翻折使平面ABD⊥平面CBD则四面体ABCD外接球的体积为　　　　. 解析由题意可知△ABD是等边三角形作AE⊥BD垂足为E利用面面垂直的性质可知AE⊥平面BCD则外接球的球心在直线AE上故△ABD的重心F为外接球球心设外接球半径为R则=2R∴R=外接球的体积V=πR3=π×=π.答案π

15.2018湖南联考在三棱锥A-BCD中侧棱ABACAD两两垂直△ABC△ACD△ABD的面积分别为则三棱锥A-BCD的外接球的体积为　　　　. 解析如图以ABACAD为棱把该三棱锥补成长方体则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.由题意得解得∴长方体的体对角线长为=∴三棱锥外接球的半径为.∴三棱锥外接球的体积为V=π·=π.答案π。