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考查角度2 空间中点、线、面的位置关系及其判断 分类透析一 点、线、面位置关系的判定例1若lm是两条不同的直线α为平面且m⊥α则“l⊥m”是“l∥α”的 . A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若l⊥m∵m⊥α∴l∥α或l⊂α;若l∥α∵m⊥α∴l⊥m.∴“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件故选B.答案B方法技巧空间点、线、面位置关系的判断有两种方法一是借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断;二是借助空间几何模型如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系结合有关定理进行判断. 分类透析二 异面直线所成的角例21在三棱柱ABC-A1B1C1中若∠BAC=90°AB=AC=AA1AA1⊥平面ABC则异面直线BA1与AC1所成的角等于 . 2在四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCDABCD为正方形AB=PA=2MN分别为PAPB的中点则MD与AN所成角的余弦值为 . 解析1如图延长CA到D使得AD=AC连接A1D则四边形ADA1C1为平行四边形∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又由AB=AC=AA1得△A1DB为等边三角形则∠DA1B=60°所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.2如图取CD的中点E连接AEANNEMNMD易得MN∥DEMN=DE所以MD∥NE则∠ANE为异面直线AN与MD所成的角.在△ANE中AE=NE=MD=AN=PB=所以cos∠ANE===.答案160° 2方法技巧求异面直线所成的角常用方法是平移法平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移;补形平移等. 分类透析三 动态立体几何问题例31如图矩形ABCD中AB=2ADE为边AB的中点将△ADE沿线段DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点则在△ADE翻折过程中下面四个命题中不正确的是 .
①BM是定值;
②点M在某个球面上运动;
③存在某个位置使DE⊥A1C;
④MB∥平面A1DE.2如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1E、F分别是棱AA
1、CC1的中点过直线EF的平面分别与棱BB
1、DD1交于点M、N设BM=xx∈
[01]给出以下四个命题:
①平面MENF⊥平面BDD1B1;
②当且仅当x=时四边形MENF的面积最小;
③四边形MENF周长L=fxx∈
[01]是单调函数;
④四棱锥C1-MENF的体积V=hx为常函数;以上命题中假命题的序号为 .A.
①④B.
②C.
③D.
③④解析1如图取DC中点F连接MFBFMF∥A1D且MF=A1DFB∥ED且FB=ED所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值所以点M是在以B为球心MB为半径的球上可得
①②正确;由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE可得
④正确;A1C在平面ABCD中的投影与AC重合AC与DE不垂直可得
③不正确.2因为E、F分别是棱AA
1、CC1的中点所以EF∥AC.因为ABCD-A1B1C1D1为正方体所以BB1⊥AC.又因为ABCD为正方形所以AC⊥BD.因为BD∩BB1=B所以AC⊥平面BDD1B即EF⊥平面BDD1B.因为EF⊂平面MENF所以平面MENF⊥平面BDD1B
1.故
①正确;由面面平行的性质定理可得EM∥FNEN∥MF所以四边形MENF为平行四边形.又因为ABCD-A1B1C1D1为正方体且E、F分别是棱AA
1、CC1的中点所以EM=MF所以四边形MENF为菱形所以SMENF==|MN|.当M、N分别是棱BB
1、DD1的中点时|MN|取得最小值SMENF的最小值为1此时x=.故
②正确;由
②知四边形MENF为菱形L=fx=4=4在递减在递增.故
③错误;C1-MENF可分割成两个小三棱锥它们以C1EF为底因为三角形C1EF的面积为常数点MN到平面C1EF的距离为常数故
④正确.所以选C.答案1
③ 2C方法技巧立体几何动态问题是近年高考的热点问题.在立体几何中除了固定不变的线线、线面、面面关系之外经常渗透一些“动态”的点、线、面等元素.在求解这类立体几何问题时如果我们能探寻运动中静止的一面运用数学思想方法进行有效转化进而求解.
1.2016年全国Ⅱ卷理14改编已知直线ab平面α且满足a⊥αb∥α有下列四个命题:
①对任意直线c⊂α有c⊥a;
②存在直线c⊄α使c⊥b且c⊥α;
③对满足a⊂β的任意平面β有β∥α;
④存在平面β⊥α使b⊥β.其中正确的命题有 .填序号 解析因为a⊥α所以a垂直于α内任一直线所以
①正确;由b∥α得α内存在一直线l与b平行在α内作直线m⊥l则m⊥b再将m平移得到直线c使c⊄α即可所以
②正确;由面面垂直的判定定理可得
③不正确;若b⊥β则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行必有l⊥β即有α⊥β所以
④正确.答案
①②④
2.2018全国Ⅱ卷文9改编在三棱柱ABC-A1B1C1中AA1与AC、AB所成角均为60°∠BAC=90°且AB=AC=AA1则A1B与AC1所成角的余弦值为 . A.1B.-1C.D.-解析如图所示把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1连接BD1则BD1//AC1则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角设AB=a在△A1BD1中A1B=aBD1=aA1D1=acos∠A1BD1===.故选C.答案C
3.2016年全国Ⅰ卷文11改编平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱ABα⊥平面CB1D1α∩平面ADD1A1=m则直线mBD所成角的大小为 .A.B.C.D. 解析连接BC1AD1则B1C⊥BC
1.又∵AB⊥平面BCC1B1B1C⊂平面BCC1B1∴AB⊥B1C从而B1C⊥平面ABC1D1∴平面ABC1D1⊥平面CB1D1即平面ABC1D1即为平面α.又∵平面ABC1D1∩平面ADD1A1=AD1∴m=AD1易发现△AB1D1是等边三角形∴∠AD1B1=∵BD∥B1D1所以直线mBD所成角的大小为.答案C
4.2018年全国Ⅰ卷文10改编如图点E为正方形ABCD边CD上异于点CD的动点将△ADE沿AE翻折成△SAE使得平面SAE⊥平面ABCE则下列说法中正确的是 .
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC;
②平面SBC内存在直线与SA平行;
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行;
④存在点E使得SE⊥AB.解析若直线SA⊥平面SBC则直线SA垂直平面SBC内任意一条直线∴SA⊥BC.又∵AD∥BC∴SA⊥AD这与∠SAD为锐角矛盾故
①错误;∵平面SBC∩直线SA=S∴平面SBC内的直线与SA相交或异面故
②错误;取AB的中点F连接BE取BE的中点G连接FG则FG∥AE.由线面平行的判定定理得FG∥平面SAE故
③正确;若SE⊥BA由EC∥AB得SE⊥EC这与∠SEC为钝角矛盾故
④错误.答案
③
1.2018届西安市长安区第二次模拟设mn是两条不同的直线αβ是两个不同的平面则下列命题:
①若m⊥nm⊥α则n∥α;
②若α∥βm⊥α则m⊥β;
③m⊥βα⊥β则m∥α;
④若m∥αn∥α则m∥n.其中正确的命题个数是 .A.0B.1C.2D.3解析
①存在反例n⊂α所以错误;
②正确;
③存在反例m⊂α所以错误;
④直线mn可能相交或异面所以错误.所以正确的是
②个数为1故选B.答案B
2.2018届齐齐哈尔市八中二模已知lmn是三条直线α是一个平面下列命题中正确命题的个数是 .
①若l⊥α则l与α相交;
②若l∥α则α内有无数条直线与l平行;
③若m⊂αn⊂αl⊥ml⊥n则l⊥α;
④若l∥mm∥nl⊥α则n⊥α.A.1B.2C.3D.4解析据题可知
①正确;
②正确;
③若m∥n则存在l不垂直α错误;
④若l∥mm∥n则有l∥n.又∵l⊥α∴n⊥α正确.∴正确的有3个故选C.答案C
3.2018湖南长沙模拟已知αβγ为平面l是直线若α∩β=l则“α⊥γβ⊥γ”是“l⊥γ”的 .A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由α⊥γβ⊥γα∩β=l可以推出l⊥γ;反过来若l⊥γα∩β=l则根据面面垂直的判定定理可知α⊥γβ⊥γ.所以若α∩β=l则“α⊥γβ⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件.答案C
4.2018广东百校第二次联考如图E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点不与端点重合BD1∥平面B1CE则 .A.BD1∥CEB.AC1⊥BD1C.D1E=2EC1D.D1E=EC1解析设B1C∩BC1=O如图BD1∥平面B1CE平面BC1D1∩平面B1CE=OE∴BD1∥OE∵O为BC1的中点∴E为C1D1的中点∴D正确.由异面直线的定义知BD1CE是异面直线故A错.在矩形ABC1D1中AC1与BD1不垂直故B错.D1E=EC1C显然是错误的故选D.答案D
5.2018届四川省资阳市三诊如图平面α与平面β相交于BCAB⊂αCD⊂β点A∉BC点D∉BC则下列叙述错误的是 .A.直线AD与BC是异面直线B.过AD只能作一个平面与BC平行C.过AD只能作一个平面与BC垂直D.过D只能作唯一平面与BC垂直但过D可作无数个平面与BC平行解析由异面直线判定定理得直线AD与BC是异面直线;在平面β内仅有一条直线过点D且与BC平行这条直线与AD确定一个平面与BC平行即过AD只能作一个平面与BC平行;若AD垂直BC则过AD可以作一个平面与BC垂直若AD不垂直BC则过AD不可以作一个平面与BC垂直.因此C错;过D只能作唯一平面与BC垂直但过D可作无数个平面与BC平行.选C.答案C
6.新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测已知mn为两条不同的直线αβ为两个不同的平面则下列命题中正确的是 .A.若α⊥βm⊥β则m∥αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等则α∥βC.若m⊥αm⊥n则n∥αD.若m∥nn⊥α则m⊥α解析对于A若α⊥βm⊥β则除了m∥α还可以m⊂α故错误;对于B若三点不在平面β的同侧则α与β相交故错误;对于Cm⊥αm⊥n有可能n⊂α故错误;对于D根据平行线中的一条垂直于一个平面另一条也垂直于平面故正确故选D.答案D
7.2018年山东济南外国语学校月考如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中P为线段BC1上的动点则下列判断错误的是 .A.DB1⊥平面ACD1B.BC1∥平面ACD1C.BC1⊥DB1D.三棱锥P-ACD1的体积与P点位置有关解析连接BD则BD⊥AC∵BB1⊥面ABCD∴DB1⊥AC连接A1D则A1D⊥AD1∵A1B1⊥面ADD1A1∴DB1⊥AD1∴DB1⊥平面ACD1故A正确;∵BC1∥AD1BC1⊄面ACD1AD1⊂ACD1∴BC1∥平面ACD1故B正确;∵DB1⊥平面ACD1AD1⊂平面ACD1∴DB1⊥AD1∵BC1∥AD1∴BC1⊥DB1故C正确;∵BC1∥平面ACD1P为线段BC1上的动点∴三棱锥P-ACD1的体积为定值与P点位置无关故D错误.故答案为D.答案D
8.四川省德阳市2018届高三二诊考试以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面得到以下四个结论:
①BD⊥平面ACD;
②△ABC为等边三角形;
③平面ADC⊥平面ABC;
④点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心.其中正确的有 .A.
①②③B.
②③④C.
①②④D.
①③④解析由于三角形ABC为等腰直角三角形故BD⊥ADBD⊥CD所以BD⊥平面ACD故
①正确排除B选项.由于AD⊥BD且平面ABD⊥平面ACD故BD⊥平面ACD所以BD⊥CD由此可知AB=BC=AC三角形为等边三角形故
②正确排除D选项.由于DA=DB=DC且△ABC为等边三角形故点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心
④正确故选C.答案C
9.山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟考试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中已知AA1=8AC=AB=5BC=6点A1在底面ABC上的射影是线段BC的中点O则直线B1C与直线A1O所成角的正切值为 .A.B.C.D.解析如图所示:由题知A1O⊥平面ABC而BC⊂平面ABC∴A1O⊥BC又∵AC=AB=5∴BC⊥AO∵A1O∩AO=O∴BC⊥平面AOA1∴BC⊥AA1在△AOB中AO2+BO2=AB2则AO=4在△A1AO中A1A2=AO2+A1O2则A1O=4过点O作OD∥AB且AB=OD连接BDB1D∵A1B1∥ABA1B1=AB∴A1B1∥ODA1B1=OD∴B1D∥A1O因此∠CB1D为直线B1C与直线A1O所成的角又∵BC⊥BD∴CD=2tan∠CB1D==故选B.答案B
10.2018年成都石室中学期中如图是一几何体的平面展开图其中ABCD为正方形四个三角形是以P为顶点的等腰三角形EF分别为PAPD的中点在此几何体中给出下面四个结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.其中一定正确的选项是 .A.
①③B.
②③C.
②③④D.
①③④解析画出几何体的图形如图.在
①中因为EF是PA与PD的中点可知EF∥AD所以EF∥BC直线BE与直线CF是共面直线故
①不正确;直线BE与直线AF异面故
②正确;在
③中由EF是PA与PD的中点可知EF∥AD所以EF∥BC因为EF⊄平面PBCBC⊂平面PBC所以直线EF∥平面PBC故
③正确;在
④中因为△PAB是等腰三角形BE与PA的关系不能确定所以平面BCE与平面PAD不一定垂直故
④不正确.故选B.答案B
11.2018广西模拟已知ml是直线αβ是平面给出下列命题:
①若l垂直α则l垂直α内的所有直线;
②若l平行α则l平行α内的所有直线;
③若l⊂β且l⊥α则α⊥β;
④若m⊂αl⊂β且α∥β则m∥l.其中正确的是 . 解析由线面垂直的定义可知
①正确;若l平行α内的所有直线根据平行公理可得α内的所有直线都互相平行显然是错误的故
②错误;由面面垂直的判定定理可知
③正确;若m⊂αl⊂β且α∥β则l与m无公共点∴l与m平行或异面故
④错误.答案
①③
12.河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试三棱锥A-BCD中底面△BCD是边长为3的等边三角形侧面三角形△ACD为以CD为底边的等腰三角形且腰长为若AB=2则三棱锥A-BCD外接球的表面积是 . 解析如图∵三棱锥A-BCD中底面△BCD是边长为3的等边三角形侧面△ACD为等腰三角形且腰长为AB=2∴AB2+BC2=AC2AB2+BD2=AD2∴AB⊥BCAB⊥BD.∵BC∩BD=B∴AB⊥平面BCD∴将三棱锥还原成三棱柱AEF-BCD则上下底面中心O1O2的连线的中点O为三棱锥A-BCD外接球的球心如图BO2=O2O=1则r=BO==2∴三棱锥A-BCD外接球表面积S=4πr2=4π×22=16π.答案16π
13.南宁市2018届高三毕业班摸底联考如图在正方形ABCD中E、F分别是BC、CD的中点G是EF的中点.现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形使B、C、D三点重合重合后的点记为H.下列说法错误的是 将符合题意的选项序号填到横线上.
①AG⊥△EFH所在平面;
②AH⊥△EFH所在平面;
③HF⊥△AEF所在平面;
④HG⊥△AEF所在平面.解析折之前AG⊥EFCG⊥EF折之后也垂直所以EF⊥平面AHG折之前∠B∠D∠C均为直角折之后三点重合所以折之后AHEHFH三条直线两两垂直.所以AH⊥△EFH所在平面
②对.HF⊥△AEH所在平面过AE不可能作两个平面与直线HF垂直
③错.如果HG⊥△AEF所在平面则有HG⊥AG与
②中AH⊥HG矛盾所以
④错.若AG⊥△EFH所在平面则AG⊥HG与
②中AH⊥HG矛盾所以
①也错选
①③④.答案
①③④
14.2018河南二模如图GHMN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点则表示GHMN是异面直线的图形的序号为 . 解析由异面直线的判定定理可知在图
②④中直线GH、MN是异面直线.在图
①中由G、M均为棱的中点可知GH∥MN.在图
③中由G、M均为棱的中点可得四边形GMNH为梯形所以GH与MN相交.故选
②④.答案
②④
15.2018届福建省泉州市质量检查数学试题如图一张A4纸的长宽之比为EF分别为ADBC的中点.现分别将△ABE△CDF沿BEDF折起且AC在平面BFDE同侧下列命题正确的是 .写出所有正确命题的序号
①AGHC四点共面;
②当平面ABE∥平面CDF时AC∥平面BFDE;
③当AC重合于点P时平面PDE⊥平面PBF;
④当AC重合于点P时设平面PBE∩平面PDF=l则l∥平面BFDE.解析
①在△ABE中tan∠ABE=在△ACD中tan∠CAD=∴∠ABE=∠DAC∴AC⊥BE同理可得AC⊥DF则折叠后BE⊥平面AGHDF⊥平面CGH∵DF∥BE平面AGH与平面CHG有公共点则平面AGH与平面CHG重合即AGHC四点共面;
②由
①可知平面ABE∩平面AGHC=AG平面CDF∩平面AGHC=CH当平面ABE∥平面CDF时得到AG∥CH∴AGCH∴四边形AGHC是平行四边形∴AC∥GH;
③设PE=DE=1可得PD=∴PE⊥DE则PE⊥BF又PE⊥PBBF∩PB=B∴PE⊥平面PBF则平面PDE⊥平面PBF;
④由BE∥DFBE⊂平面PBEDF⊄平面PBE∴DF∥平面PBE;平面PDF∩平面PBE=l则l∥DF∵l⊄平面BEDF∴l∥平面BEDF.故命题正确的是
①②③④.答案
①②③④。