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考查角度1 坐标系与参数方程 分类透析一 方程互化与相交弦长问题例1河北衡水中学2018届高三数学复习题在直角坐标系xOy中圆C的参数方程为φ为参数以O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.1求圆C的普通方程;2直线l的极坐标方程是2ρsin=4射线OM:θ=与圆C的交点为P与直线l的交点为Q求线段PQ的长.分析1利用cos2φ+sin2φ=1消去φ即可.2先求出圆C的极坐标方程再由直线l和圆C的极坐标方程得到PQ两点的极径它们的差的绝对值就是线段PQ的长.解析1∵圆C的参数方程为φ为参数又cos2φ+sin2φ=1∴圆C的普通方程为x2+y-32=
9.2化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ设Pρ1θ1则由得设Qρ2θ2则由得∵θ1=θ2∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=
1.方法技巧化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方消参等注意消参后变量的取值范围.化普通方程为极坐标方程则需利用关系式x=ρcosθy=ρsinθ来转化.在极坐标系中求线段的长度、图形的面积等问题时注意观察几何对象隐含的特点如三点共线等从而得到解决问题的合理方法. 分类透析二 方程互化与参数几何意义的应用例2福建省三明市第一中学2018届高三适应性试题在直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为t为参数在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;2若曲线C1与C2交于AB两点点P的坐标为09求+.分析1消元法解出直线C1的普通方程利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C2的直角坐标方程.2将直线C1的参数方程代入圆C2的直角坐标方程并化简整理得关于t的一元二次方程利用|t|的几何意义求解问题.解析1由曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ即ρ2=8ρsinθ得x2+y2=8y故曲线C2的直角坐标方程为x2+y-42=
16.由曲线C1的参数方程为t为参数可得y-9=2x即曲线C1的普通方程为2x-y+9=
0.2显然点P在直线C1上又直线C1的参数方程为t为参数将其代入x2+y-42=16中并化简得t2+4t+9=
0.设点A对应的参数为t1点B对应的参数为t2则t1+t2=-4t1t2=9从而+=+===.方法技巧利用|t|的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法.注意|PA|=|t1||PB|=|t2|要去绝对值符号需判断交点与定点的位置关系上方为正下方为负. 分类透析三 方程互化与最值问题例3安徽省六安市第一中学2018届高三适应性试题在直角坐标系xOy中C1:t为参数以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C2:ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=
0.1求C1的普通方程及C2的直角坐标方程;2若PQ分别为C1C2上的动点且|PQ|的最小值为2求k的值.分析1消去参数可得C1的普通方程;由互化公式可得曲线C2的直角坐标方程.2利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d利用d-r=2即可得出.解析1由可得其普通方程为y=kx-1它表示过定点10斜率为k的直线.由ρ2+10ρcosθ-6ρsinθ+33=0可得其直角坐标方程为x2+y2+10x-6y+33=0整理得x+52+y-32=1它表示圆心为-53半径为1的圆.2因为圆心-53到直线y=kx-1的距离d=所以|PQ|的最小值为-1故-1=2得3k2+4k=0解得k=0或k=-.方法技巧求解与极坐标有关的问题的主要方法:1直接利用极坐标系求解可与数形结合思想配合使用;2转化为直角坐标系用直角坐标求解.使用后一种方法时应注意若结果要求的是极坐标还应将直角坐标化为极坐标.
1.2017年全国Ⅰ卷文22改编在平面直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为θ为参数θ∈[02π曲线C2的参数方程为t为参数.1求曲线C1C2的普通方程;2求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围.分析1直接消去参数即得普通方程.2求曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围可借助参数方程设此点为cosα3sinα然后根据点到直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问题即可.解析1直接消去参数得C1的普通方程为x2+=1直接消去参数得C2的普通方程为y=-x+2即x+y+2=
0.2设Pcosα3sinα则点P到C2的距离d===.∵α∈[02π∴当sin=1即α=时dmax=2;当sin=-1即α=时dmin=
0.∴曲线C1上一点P到曲线C2距离的取值范围为
[02].
2.2018年全国Ⅰ卷文22改编在直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为α为参数以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;2若曲线C1和曲线C2有三个公共点求以这三个点为顶点的三角形的面积.解析1由曲线C1:α为参数消去参数α得曲线C1的普通方程为x2+y-a2=
16.由曲线C2:ρcos2θ=4sinθ得ρ2cos2θ=4ρsinθ化为直角坐标方程为x2=4y.2因为曲线C1和曲线C2都是关于y轴对称的图形它们有三个公共点所以原点为其中的一个公共点.将原点O00代入x2+y-a2=16得a=4或a=-4舍去此时曲线C1的方程为x2+y-42=16故曲线C1和曲线C2的三个公共点坐标为0044-44易得以这三个点为顶点的三角形的面积为×4×[4--4]=
16.
3.2018年全国Ⅱ卷文22改编在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为θ为参数.1求曲线C的普通方程;2经过点P直角坐标系xOy中的点作直线l交曲线C于AB两点若P恰好为线段AB的中点求直线l的方程.解析1由曲线C的参数方程得所以cos2θ+sin2θ=+y2=1所以曲线C的普通方程为+y2=
1.2设直线l的倾斜角为θ1则直线l的参数方程为t为参数将其代入曲线C的直角坐标方程得cos2θ1+4sin2θ1t2+2cosθ1+4sinθ1t-2=0所以t1+t2=-.由题意知t1=-t2所以2cosθ1+4sinθ1=0得直线l的斜率k=-所以直线l的方程为x+2y-2=
0.
1.福建省两大名校2018届高三下学期第一次模拟题已知直线l的参数方程为t为参数在以坐标原点O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ-
4.1求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;2若直线l与曲线C交于AB两点求|OA|·|OB|的值.解析1∵直线l的参数方程为t为参数∴直线l的普通方程为y=+x-1即y=x∴直线l的极坐标方程为θ=.∵曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ-4∴x2+y2=4x+2y-4即x-22+y-2=3∴曲线C的直角坐标方程为x-22+y-2=
3.2将直线l:θ=代入曲线C的极坐标方程:ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ-4得ρ2-5ρ+4=
0.设直线l与曲线C的两个交点AB的极坐标分别为Aρ1θ1Bρ2θ2∴ρ1ρ2=4∴|OA|·|OB|=|ρ1|·|ρ2|=|ρ1ρ2|=
4.
2.山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟题在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为t为参数α为直线的倾斜角.以平面直角坐标系的原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.1当α=45°时求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;2已知点C的直角坐标为C20直线l与曲线C交于AB两点当△ABC面积最大时求直线l的普通方程.解析1当α=45°时直线l的参数方程为消去t得直线l的普通方程为x-y-5=
0.曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ可得x2+y2-4x=0所以曲线C的直角坐标方程为x-22+y2=
4.2因为直线l与曲线C交于AB两点由参数方程设直线l的普通方程为y=kx-
5.曲线C是以C20为圆心2为半径的圆S△ABC=|CA||CB|sin∠ACB=2sin∠ACB.当∠ACB=90°时△ABC的面积最大此时点C到直线l的距离为所以=解得k=±所以直线l的普通方程为y=±x-
5.
3.江西省抚州市临川区一中2018届模拟以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为ρ=
2.1写出曲线C的参数方程;2在曲线C上任取一点P过点P分别作x轴y轴的垂线垂足分别为AB求矩形OAPB的面积的最大值.解析1由ρ=2得ρ2=2ρsinθ+ρcosθ+1所以x2+y2=2x+2y+2即x-12+y-12=4故曲线C的参数方程为φ为参数.2由1可设点P的坐标为1+2cosφ1+2sinφφ∈[02π则矩形OAPB的面积S=|1+2cosφ1+2sinφ|=|1+2sinφ+2cosφ+4sinφcosφ|.令t=sinφ+cosφ=sin则t∈[-]t2=1+2sinφcosφ所以S=|1+2t+2t2-2|=故当t=时Smax=3+
2.
4.河北省石家庄二中2018届高三三模试题在直角坐标系xOy中曲线C1过点Pa1其参数方程为t为参数a∈R.以坐标原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+3cosθ-ρ=
0.1求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;2已知曲线C1和曲线C2交于AB两点且|PA|=3|PB|求实数a的值.解析1由C1的参数方程消参得其普通方程为x-y-a+1=0由C2的极坐标方程易得ρ2cos2θ+3ρcosθ-ρ2=0从而得其直角坐标方程为y2=3x.2将曲线C1的参数方程t为参数a∈R代入曲线C2:y2=3x得t2+t+2-6a=0由Δ=-2-4×1×2-6a0得a.设AB对应的参数为t1t2由题意得|t1|=3|t2|即t1=3t2或t1=-3t
2.当t1=3t2时解得a=;当t1=-3t2时解得a=.综上所述a=或a=.。
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