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文本内容:
考查角度2 立体几何中的翻折问题与探索性问题 分类透析一 翻折问题例1如图在边长为4的菱形ABCD中∠DAB=60°点EF分别是边CDCB的中点AC∩EF=O以EF为折痕将△CEF折起使点C运动到点P的位置连接PAPBPD得到如图所示的五棱锥P-ABFED且PB=.1求证:BD⊥PA.2求四棱锥P-BFED的体积.分析1抓住EF与BD的平行关系结合菱形的性质利用翻折前后的垂直关系可证EF⊥平面PAO问题得以解决;2分别计算PO的长度和四边形BFED的面积再利用公式计算体积.解析1∵点EF分别是边CDCB的中点∴BD∥EF.∵菱形ABCD的对角线互相垂直∴BD⊥AC∴EF⊥AC∴EF⊥AOEF⊥PO.∵AO⊂平面POAPO⊂平面POAAO∩PO=O∴EF⊥平面POA∴BD⊥平面POA∴BD⊥PA.2设AO∩BD=H连接BO∵∠DAB=60°∴△ABD为等边三角形∴BD=4BH=2HA=2HO=PO=.∴在Rt△BHO中BO==.∵在△PBO中BO2+PO2=10=PB2∴PO⊥BO.又PO⊥EFEF∩BO=OEF⊂平面BFEDBO⊂平面BFED∴PO⊥平面BFED.∵梯形BFED的面积S=EF+BD×HO=3∴四棱锥P-BFED的体积V=S×PO=×3×=
3.方法技巧
1.画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图;
2.分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了改变哪些没有改变.一般地在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的在两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱. 分类透析二 空间线面关系的探索性问题例2如图三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2AA1⊥平面ABCEF分别为棱A1B1BC的中点.1求证:直线BE∥平面A1FC
1.2若平面A1FC1与直线AB交于点M请指出点M的位置说明理由并求三棱锥B-EFM的体积.分析1取A1C1的中点G连接EGFG利用线线平行得到线面平行;2采用分析法进行求解.解析1取A1C1的中点G连接EGFG则EGB1C1又BFB1C1所以BFEG.所以四边形BFGE是平行四边形所以BE∥FG.而BE⊄平面A1FC1FG⊂平面A1FC1所以直线BE∥平面A1FC
1.2M为棱AB的中点.理由如下:因为AC∥A1C1AC⊄平面A1FC1A1C1⊂平面A1FC1所以直线AC∥平面A1FC
1.又平面A1FC1∩平面ABC=FM所以AC∥FM.又F为棱BC的中点所以M为棱AB的中点.所以S△BFM=S△ABC=××2×2×sin60°=所以VB-EFM=VE-BFM=××2=.方法技巧探索性问题的处理思路:先假设存在再通过推理进行验证.探索空间中的线面平行与垂直关系可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探索. 分类透析三 条件追溯型例3如图已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等边三角形且AA1⊥底面ABCM为AA1的中点点N在线段AB上且AN=2NB点P在线段CC1上.1证明:平面BMC1⊥平面BCC1B
1.2当为何值时PN∥平面BMC1分析1取BC1的中点OBC的中点Q连接MOOQ得MO∥AQ.由AQ⊥平面BCC1B1得MO⊥平面BCC1B1再利用线面垂直得到面面垂直.2采用分析法求解.解析1设BC1的中点为OBC的中点为Q连接MOOQAQ则OQCC1AM∴四边形AQOM是平行四边形∴AQ∥MO.∵AA1∥CC1AA1⊥平面ABC∴CC1⊥平面ABC.∵AQ⊂平面ABC∴CC1⊥AQ.又∵AB=AC∴AQ⊥BC.∵CC1⊂平面BCC1B1BC⊂平面BCC1B1BC∩CC1=C∴AQ⊥平面BCC1B1∴MO⊥平面BCC1B
1. ∵MO⊂平面BMC1∴平面BMC1⊥平面BCC1B
1.2取AE=2EM则NE∥BM.∵NE⊄平面BMC1BM⊂平面BMC1∴NE∥平面BMC
1.若PN∥平面BMC1则平面NEP∥平面BMC
1.∵EP⊂平面NEP∴EP∥平面BMC
1.∵平面BMC1∩平面AA1C1C=MC1∴EP∥MC
1.又∵EM∥PC1∴四边形EMC1P是平行四边形∴PC1=EM=AM=AA1=CC1∴当=5时PN∥平面BMC
1.方法技巧以空间几何体为背景的探索存在性问题涉及的点具有运动性和不确定性比较简单的探索可以先猜后证利用传统方法解决.若用向量法处理可以避免繁杂的画图、推理及验证过程只需通过坐标运算进行判断在解题过程中往往把“是否存在问题”转化为“点的坐标是否有解是否有规定范围的解问题”等问题的解决简单、有效且解法固定操作方便.
1.2018年全国Ⅰ卷文18改编如图在平行四边形ABCM中AB=AC=3∠ACM=90°以AC为折痕将△ACM折起使点M到达点D的位置且AB⊥DA.1证明:CD⊥平面ABC.2Q为线段AD上一点P为线段BC上一点且BP=DQ=DA求三棱锥Q-ABP的体积.解析1由已知可得∠BAC=90°所以AB⊥AC.又AB⊥AD且AC∩AD=A所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥CD.又因为∠ACM=90°所以CD⊥AC.因为AB⊂平面ABCAC⊂平面ABCAB∩AC=A所以CD⊥平面ABC.2由已知可得DC=CM=AB=3DA=
3.又BP=DQ=DA所以BP=
2.作QE⊥AC垂足为E则QE=DC=
1.结合1得QE⊥平面ABC因此三棱锥Q-ABP的体积V=×QE×S△ABP=×1××3×2sin45°=
1.
2.2016年全国Ⅱ卷文19改编如图菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O点EF分别在线段ADCD上且AE=CFEF交BD于点H将△DEF沿EF折起到△DEF的位置.1证明:AC⊥平面HBD.2若AB=5AC=6AE=OD=2求点O到平面DEF的距离.解析1由已知得AC⊥BHAD=CD.又由AE=CF得=故AC∥EF.所以EF⊥HDEF⊥HD所以AC⊥HD.又因为BH⊂平面HBDHD⊂平面HBDBH∩HD=H所以AC⊥平面HBD.2由EF∥AC得==.由AB=5AC=6得DO=BO==
4.所以OH=1DH=DH=
3.所以OD2+OH2=22+12=9=DH2故OD⊥OH.由1知AC⊥平面BHD所以AC⊥OD.又AC⊂平面ABCOH⊂平面ABCAC∩OH=O所以OD⊥平面ABC.由=得EF=.所以VD-OEF=S△OEF×DO=×××1×2=设点O到平面DEF的距离为h则VO-DEF=×S△DEF×h=×××3×h=解得h=所以点O到平面DEF的距离为.
1.黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2018届高三第二次模拟考试如图E是边长为2的正方形ABCD的边AB的中点将△AED与△BEC分别沿EDEC折起使得点A与点B重合记为点P得到三棱锥P-CDE.1求证:平面PED⊥平面PCD.2求点P到平面CDE的距离.解析1∵∠A=∠B=90°∴PE⊥PDPE⊥PC.∵又PC⊂平面PCDPD⊂平面PCDPC∩PD=P∴PE⊥平面PCD.∵PE⊂平面PED∴平面PED⊥平面PCD.2设点P到平面CDE的距离为h依题意可知三角形CDE是底边长为2高为2的等腰三角形∴其面积为×2×2=
2.易知△PCD是边长为2的等边三角形∴其面积为×22=由1知PE⊥平面PCD又PE=1∴VE-PCD=××1=.∵VE-PCD=VP-ECD∴×2×h=∴h=.
2.四川省广元市2018届高三第二次高考适应性统考如图菱形ABCD的边长为6∠BAD=60°AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥B-ACDM是棱BC的中点DM=
3.1求证:OM∥平面ABD.2求证:平面ABC⊥平面MDO.3求三棱锥M-ABD的体积.解析1因为点O是菱形ABCD的对角线的交点所以O是AC的中点.又M是棱BC的中点所以OM是△ABC的中位线所以OM∥AB.因为OM⊄平面ABDAB⊂平面ABD所以OM∥平面ABD.2由题意知OM=OD=
3.因为DM=3所以OM2+OD2=DM2所以∠DOM=90°OD⊥OM.又四边形ABCD为菱形所以OD⊥AC.因为OM⊂平面ABCAC⊂平面ABCOM∩AC=O所以OD⊥平面ABC.因为OD⊂平面MDO所以平面ABC⊥平面MDO.3三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积.由2知OD⊥平面ABC所以OD为三棱锥D-ABM的高.因为△ABM的面积=×BA×BM×sin120°=×6×3×=所以三棱锥M-ABD的体积=×S△ABM×OD=.
3.2018年湖南东部六校联考如图在直角梯形ABCD中AB∥CDAB⊥BCAB=2CDDE⊥AB将△AED沿DE折起到△A1ED的位置连接A1BA1C得到如图所示的四棱锥A1-EBCDMN分别为A1CBE的中点.1求证:DE⊥A1B.2求证:MN∥平面A1ED.3在棱A1B上是否存在一点G使得EG⊥平面A1BC若存在求出的值;若不存在请说明理由.解析1由题意知DE⊥A1EDE⊥BE.∵A1E⊂平面A1BEBE⊂平面A1BEA1E∩BE=E∴DE⊥平面A1BE.∵A1B⊂平面A1BE∴DE⊥A1B.2如图取CD的中点F连接NFMF.∵MN分别为A1CBE的中点∴MF∥A1DNF∥DE.又∵A1D⊂平面A1DEDE⊂平面A1DE∴MF∥平面A1DENF∥平面A1DE.∵MF⊂平面MNFNF⊂平面MNFMF∩NF=F∴平面A1DE∥平面MNF∴MN∥平面A1ED.3取A1B的中点G连接EG.∵A1E=BE∴EG⊥A1B.由1知DE⊥平面A1BE.∵DE∥BC∴BC⊥平面A1BE∴EG⊥BC.又∵A1B⊂平面A1BCBC⊂平面A1BCA1B∩BC=B∴EG⊥平面A1BC.故棱A1B上存在点G使得EG⊥平面A1BC此时=
1.
4.2018年重庆巴蜀中学模拟如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是边长为2的正方形PA=PBPA⊥PBF为线段PC上的点且BF⊥平面PAC.1求证:平面PAB⊥平面ABCD.2求证:PC=PD.3在棱PD上是否存在一点G使得FG∥平面PAB若存在求出PG的长;若不存在请说明理由.解析1∵BF⊥平面PAC∴BF⊥PA.∵PA⊥PBPB⊂平面PBCBF⊂平面PBCPB∩BF=B∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC.∵AB⊥BCPA⊂平面PABAB⊂平面PABPA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD.2如图作PE⊥AB垂足为E连接ECED.∵PA=PBPA⊥PBAB=2∴PE=BE=AE=1PB=.∵BC⊥平面PAB∴BC⊥PB.在Rt△PBC中由勾股定理得PC==.∵平面PAB⊥平面ABCDPE⊥AB∴PE⊥平面ABCD∴PE⊥ED.∵DE==∴在Rt△PED中PD==∴PC=PD.3作FG∥CD交PD于点G.∵FG∥CDAB∥CD∴FG∥AB.∵FG⊄平面PABAB⊂平面PAB∴FG∥平面PAB.∵BF⊥平面PAC∴BF⊥PC.∴BF==∴PF==.∵FG∥CD∴=∴PG=PF=故棱PD上存在点G使得FG∥平面PAB且PG=.。