还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
考查角度2 最值和取值范围问题 分类透析一 利用函数的性质求最值例1如图已知抛物线x2=y点AB抛物线上的点Pxy.过点B作直线AP的垂线垂足为Q.1求直线AP斜率的取值范围;2求|PA|·|PQ|的最大值.分析1求出AP的斜率k与x的关系式利用-x求出斜率的取值范围;2求出|PA|·|PQ|关于k的关系式构造函数用导数求出其最大值.解析1设直线AP的斜率为kk==x-因为-x所以直线AP斜率的取值范围是-
11.2联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=.因为|PA|==k+1|PQ|=xQ-x=-所以|PA|·|PQ|=-k-1k+
13.令fk=-k-1k+13因为fk=-4k-2k+12所以fk在区间上单调递增上单调递减因此当k=时|PA|·|PQ|取得最大值.方法技巧本题在求最大值时得到的结果是关于k的四次函数可以通过求导找出要求的最值.一般情况下若表达式不易转化为基本不等式或者二次函数模型但易求其导数时通常可以通过求导找出最值. 分类透析二 利用不等关系或均值不等式求最值 例2已知点P为椭圆E:+=1上的动点点Q满足=.1求点Q的轨迹M的方程;2直线l:y=kx+n与M相切且与圆x2+y2=交于AB两点求△ABO面积的最大值其中O为坐标原点.分析1设PxyQx0y0由已知找出坐标的关系用相关点法求出轨迹方程;2由直线与椭圆相切联立两个方程消去y建立一元二次方程通过判别式等于0并结合题设条件建立有关参变量kn的等量关系.求三角形的面积可利用弦长公式求出底边的长再利用点到直线的距离求出高进而可以确定面积然后利用均值不等式求其最大值.解析1设QxyPx0y0由=得xy=x0y0则又点Px0y0在椭圆E上故+=1即点Q的轨迹M的方程为+=
1.2直线l:y=kx+n与椭圆M:+=1相切故由得18k2+9x2+36knx+18n2-4=
0.因为Δ=36kn2-418k2+918n2-4=4×184k2-9n2+2=0所以4k2=9n2-2显然n≠
0.因为点O到直线AB的距离d=所以|AB|=
2.因为4k2=9n2-2所以n2≥所以d2==∈则S△AOB=·|AB|·d=·2·d=≤当且仅当-d2=d2即d2=时等号成立.所以△ABO面积的最大值为.方法技巧解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解;二是代数法将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题即根据条件列出所求的目标函数然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等求解最大或最小值. 分类透析三 取值范围问题例3已知椭圆C:+=1ab0的一个焦点是F10且离心率为.1求椭圆C的方程;2设经过点F的直线交椭圆C于MN两点线段MN的垂直平分线交y轴于点P0y0求y0的取值范围.分析1由焦点坐标知c=1由离心率知a=2进而可求得b2得到椭圆方程;2设Mx1y1Nx2y2MN的中点为Qx3y3讨论直线MN的斜率k当斜率存在时设出直线MN的方程代入椭圆方程由根与系数的关系得到x3y3与k的关系再求出线段MN的垂直平分线从而求出y0及其取值范围.解析1依题意得c=
1.因为椭圆C的离心率为e=所以a=2c=2b2=a2-c2=
3.故椭圆C的方程为+=
1.2当MN⊥x轴时显然y0=
0.当MN与x轴不垂直时可设直线MN的方程为y=kx-1k≠
0.由消去y并整理得3+4k2x2-8k2x+4k2-3=
0.设Mx1y1Nx2y2线段MN的中点为Qx3y3则x1+x2=.所以x3==y3=kx3-1=.故线段MN的垂直平分线的方程为y+=-x-.在上述方程中令x=0得y0==.当k0时+4k≤-4当且仅当=4kk=-时等号成立;当k0时+4k≥4当且仅当=4kk=时等号成立.所以-≤y00或0y0≤.综上所述y0的取值范围是.方法技巧在求解圆锥曲线中的取值范围问题时若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系则可先建立目标函数再求这个函数的取值范围.在利用代数法解决取值范围问题时常从以下方面考虑:
①利用判别式来构造不等关系从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的取值范围求新参数的取值范围解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式从而求出参数的取值范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤利用求函数的值域的方法确定参数的取值范围.
1.2018年全国Ⅲ卷文20改编已知斜率为1的直线m与椭圆C:+=1交于AB两点线段AB的中点为Mx0n.1证明:|n|.2过椭圆C的右焦点作斜率为kk≠0的直线l与椭圆C相交于GH两点线段GH的中点为P过点P垂直于GH的直线与x轴交于点D求证|k|=
1.解析1设直线AB的方程为y=x+bAx1y1Bx2y
2.由方程组消去y得关于x的方程7x2+8bx+4b2-12=
0.由直线m与椭圆C相交于AB两点知Δ0即|b|.由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=-y1+y2=x1+b+x2+b=x1+x2+2b=∴n==故|n|.2设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=kx-1k≠0设Gx3y3Hx4y4联立整理得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0由韦达定理得x3+x4=x3·x4=.则y3+y4=kx1+x2-2k=-.∵P为线段GH的中点∴P的坐标为.又直线PD的斜率为-故直线PD的方程为y-=-.令y=0得x=.∵直线AB与x轴交于点D∴=解得k=±
1.故|k|=1成立.
2.2018年浙江卷21改编如图已知抛物线C:y2=2pxp≠0的焦点F在直线2x+y-2=0上点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B、E.1设=λ求证:λ为定值.2在1的条件下直线PF与抛物线C交于另一点A求△PAB面积的最小值.解析1由题意知抛物线C的焦点F在x轴上.在方程2x+y-2=0中令y=0得x=1所以p=
2.所以抛物线C的方程为y2=4x.由点P是C上异于坐标原点O的任意一点设Pt≠
0.设切线BP的斜率为k则切线BP的方程为y-t=k.由消去x并整理得ky2-4y-kt2+4t=
0.由k≠0Δ=16-4k-kt2+4t=0可得4kt-22=
0.所以kt-2=
0.所以切线BP的斜率k=.所以切线BP的方程为y-t=即y=x+.在y=x+中令x=0得y=.所以点E的坐标为.在y=x+中令y=0得x=-.所以点B的坐标为.所以=-==-=.所以=.故λ=为定值.2由直线FP过点F10设直线FP的方程为x=my+
1.由消去x得-my-1=
0.由韦达定理得yAyP=-
4.所以yA=-=-.于是S△PAB=·|BF|·|yA-yP|=··=·4+t2·令ft=4+t2·t≠0则ft为偶函数只需研究函数ft在t0时的最小值即可.当t0时ft=4+t2·=ft==3t4+8t2-16=3t2-4t2+
4.当0t时ft0ft为减函数;当t时ft0ft为增函数.所以当t0时函数ft在t=时取得最小值f=.因为ft为偶函数所以当t0时函数ft在t=-时取得最小值f=.当t=时点P的坐标为;当t=-时点P的坐标为.综上所述△PAB面积的最小值为此时点P的坐标为或.
1.2018年江西上饶模拟已知椭圆的一个顶点为A0-1焦点在x轴上若右焦点到直线x-y+2=0的距离为
3.1求椭圆的方程;2设椭圆与直线y=kx+mk≠0相交于不同的两点MN当=时求m的取值范围.解析1依题意可设椭圆方程为+y2=1则右焦点F
0.由题设知=3解得a2=
3.故所求椭圆的方程为+y2=
1.2由得3k2+1x2+6mkx+3m2-1=
0.由于直线与椭圆有两个交点则Δ0即m23k2+
1.
①设P为弦MN的中点∴xP==-∴yP=kxP+m=∴kAP==-.又=∴AP⊥MN则-=-即2m=3k2+1
②把
②代入
①得2mm2解得0m
2.又由
②得k2=0解得m.∴所求m的取值范围是.
2.2018届安徽省黄山市一模设F
1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.1若P是第一象限内该椭圆上的一点且·=-求点P的坐标;2设过定点M02的直线l与椭圆交于不同的两点AB且∠AOB为锐角其中O为坐标原点求直线l的斜率k的取值范围.解析1易知a=2b=1c=∴F1-0F
20.设Pxyx0y0则·=--x-y-x-y=x2+y2-3=-.又+y2=1联立由x0y0得故点P的坐标为.2显然k=0不满足题意故设直线l的方程为y=kx+2Ax1y1Bx2y2联立消去y整理得1+4k2x2+16kx+12=
0.∴x1x2=x1+x2=-.由Δ=16k2-4·1+4k2·120得k
2.
①又∠AOB为锐角∴cos∠AOB0∴·0∴·=x1x2+y1y
20.∵y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+4∴x1x2+y1y2=1+k2x1x2+2kx1+x2+4=1+k2·+2k·+4=0∴0k
24.
②综合
①②可知k24∴直线l的斜率k的取值范围是∪.
3.2018届山西省高三第一次模拟考试已知椭圆E:+=1ab0过点且两个焦点的坐标为-
1010.1求椭圆E的方程;2若ABP点P不与椭圆顶点重合为E上的三个不同的点O为坐标原点且=+求AB所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.解析1由已知得c=12a=+=2∴a=b=1故椭圆E的方程为+y2=
1.2设直线AB的方程为x=my+tm≠0代入+y2=1得m2+2y2+2mty+t2-2=
0.设Ax1y1Bx2y2则y1+y2=-y1y2=Δ=8m2-t2+
2.设Px0y0由=+得y0=y1+y2=-x0=x1+x2=my1+t+my2+t=my1+y2+2t=.∵点P在椭圆E上∴+=1即=1∴4t2=m2+
2.在x=my+t中令y=0则x=t;令x=0则y=-.∴所求三角形的面积S=|xy|=×=×=|m|+≥×2=当且仅当m2=2t2=1时取等号此时Δ=240∴所求三角形面积的最小值为.
4.安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测在直角坐标系中已知点A-20B20两动点C0mD0n且mn=3直线AC与直线BD的交点为P.1求动点P的轨迹方程;2过点F10作直线l交动点P的轨迹于MN两点试求·的取值范围.解析1直线AC的方程:y=x+2
①直线BD的方程:y=-x-2
②上述两式相乘得y2=-x2-
4.又mn=3整理得+=
1.由mn=3得m≠0n≠0故x≠±
2.所以动点P的轨迹方程为+=1x≠±
2.2当直线MN的斜率不存在时MN1-有==得·=-.当直线MN的斜率存在时设其方程为y=kx-1Mx1y1Nx2y2联立整理得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0则x1+x2=x1x2=.故·=x1x2-x1+x2+1+y1y2=1+k2[x1x2-x1+x2+1]=1+k2=-=--.由k20可得-3---综上可得·的取值范围为.。