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考查角度3 定值、定点问题 分类透析一定值问题例1如图在平面直角坐标系xOy中椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为F1-c
0、F2c0已知点1e和都在椭圆上其中e为椭圆的离心率.1求椭圆的方程.2设AB是椭圆上位于x轴上方的两点且直线AF1与直线BF2平行AF2与BF1交于点P.
①若|AF1|-|BF2|=求直线AF1的斜率.
②求证:|PF1|+|PF2|是定值.分析1运用椭圆的离心率公式和点1e满足椭圆方程以及abc的关系解方程可得ab进而得到椭圆方程.2
①设Ax1y1Bx2y2直线AF1BF2的方程分别为x+1=myx-1=my联立直线与椭圆的方程求出AB的坐标根据两点间的距离公式求出|AF1||BF2|的长然后由|AF1|-|BF2|=解得m的值即得斜率;
②运用平行线截得线段成比例的定理、椭圆的定义与1中的结论即可证明.解析1由点1e在椭圆上得+=1解得b2=1于是c2=a2-
1.又点在椭圆上所以+=1即+=1解得a2=
2.故所求椭圆的方程为+y2=
1.2
①由1知F1-10F210又直线AF1与BF2平行所以可设直线AF1的方程为x+1=my直线BF2的方程为x-1=my.设Ax1y1Bx2y2y10y20由得m2+2-2my1-1=0解得y1=.故|AF1|===.同理可得|BF2|=.由|AF1|-|BF2|==解得m2=
2.因为m0所以m=所以直线AF1的斜率为=.
②因为直线AF1与BF2平行所以=于是=故|PF1|=·|BF1|.由点B在椭圆上知|BF1|+|BF2|=
2.从而|PF1|=·2-|BF2|.同理可得|PF2|=·2-|AF1|因此|PF1|+|PF2|=·2-|BF2|+·2-|AF1|=2-.又|AF1|+|BF2|=|AF1|·|BF2|=所以|PF1|+|PF2|=2-=.因此|PF1|+|PF2|是定值.方法技巧对于解析几何中的定值问题要善于运用辩证的观点去思考分析在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.用特殊探索法特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题从而找到解决问题的突破口. 分类透析二 定点问题例2已知椭圆C:+=1ab0的左、右焦点分别为F
1、F2椭圆C过点P直线PF1交y轴于点Q且=2O为坐标原点.1求椭圆C的方程.2设M是椭圆C的上顶点过点M分别作直线MAMB交椭圆C于AB两点设这两条直线的斜率分别为k1k2且k1+k2=2证明:直线AB过定点.分析1将点P代入椭圆方程得+=1由=得PF2⊥F1F2则c=1联立方程得解.2分为直线AB的斜率存在和斜率不存在两种情况当斜率不存在时直接代入得解;当斜率存在时联立直线和椭圆的方程得到关于x的方程结合韦达定理运用整体代换的思想化简得mx+1=y-x可得其恒过定点.解析1∵椭圆C过点∴+=
1.
①∵=2∴PF2⊥F1F2则c=1∴a2-b2=
1.
②由
①②得a2=2b2=1∴椭圆C的方程为+y2=
1.2当直线AB的斜率不存在时设Ax0y0则Bx0-y0由k1+k2=2得+=2解得x0=-
1.当直线AB的斜率存在时设AB的方程为y=kx+mm≠1Ax1y1Bx2y2由消去y整理得1+2k2x2+4kmx+2m2-2=0得x1+x2=x1x2=∵k1+k2=2∴+=2∴=2即2-2kx1x2=m-1x2+x1解得2-2k2m2-2=m-1-4km.由m≠1得1-km+1=-km解得k=m+1∴y=kx+m=m+1x+m∴mx+1=y-x.故直线AB过定点-1-
1.方法技巧解析几何中常见的定点问题有直线过定点问题圆过定点问题.处理此类问题的关键就是设法找到一个含有参数的方程然后说明该定点和参数无关.
1.2018年全国Ⅰ卷文20改编设椭圆C:+y2=1的右焦点为F过F的直线l与C交于AB两点点M的坐标为
20.1当直线l的倾斜角为45°时求线段AB中点的横坐标;2设直线MA的斜率为k1直线MB的斜率为k2证明:k1+k2为定值.解析1设Ax1y1Bx2y2因为直线l的倾斜角为45°F10所以直线AB的方程为y=x-
1.联立方程组消去y并整理得3x2-4x=0所以x1+x2==故线段AB中点的横坐标为.2当直线l与x轴重合时k1=k2=0所以k1+k2=
0.当直线l与x轴垂直时OM为AB的垂直平分线O为坐标原点∠OMA=∠OMB所以k1=-k2k1+k2=
0.当直线l与x轴不重合也不垂直时设直线l的方程为y=kx-1k≠0Ax1y1Bx2y2则x1x2直线MAMB的斜率之和为k1+k2=+.由y1=kx1-ky2=kx2-k得k1+k2=.将y=kx-1代入+y2=1得2k2+1x2-4k2x+2k2-2=
0.所以x1+x2=x1x2=则2kx1x2-3kx1+x2+4k==
0.从而k1+k2=
0.综上可得k1+k2为定值.
2.2017年全国Ⅰ卷理20改编已知椭圆C:+=1ab0四点P111P220P3P4中恰有三点在椭圆C上.1求椭圆C的方程;2过原点O的直线l与椭圆C交于AB两点椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证++为定值.解析1由椭圆的对称性可知点P3P41必在椭圆上则P111不在椭圆上∴P220在椭圆上可得a=2∴椭圆方程为+=1把代入椭圆方程可得+=1得b2=
3.∴椭圆C的方程为+=
1.2由|MA|=|MB|知点M在线段AB的垂直平分线上由椭圆的对称性知点AB关于原点对称.若AB是椭圆的短轴顶点则点M是椭圆的一个长轴顶点此时++=++=2=.同理若AB是椭圆的长轴顶点则点M是椭圆的一个短轴顶点此时++=++=2+=.若ABM不是椭圆的顶点设直线l的方程为y=kxk≠0则直线OM的方程为y=-x.设Ax1y1Bx2y2由解得==.∴|OA|2=|OB|2=+=同理可得|OM|2=∴++=2×+==综上所述++=为定值.
1.2018届山东烟台月考已知抛物线C:y2=2pxp0与直线x-y+4=0相切.1求该抛物线的方程.2在x轴正半轴上是否存在某个确定的点P过该点的动直线l与抛物线C交于AB两点使得+为定值若存在求出点P坐标;若不存在请说明理由.解析1联立方程得y2-2py+8p=0由直线与抛物线相切得Δ=8p2-32p=0解得p=4所以y2=8x.2假设存在满足题意的点Pm0m0设直线l:x=ty+m联立消去参数得y2-8ty-8m=
0.设Ax1y1Bx2y2则y1+y2=8ty1y2=-8m|PA|2=x1-m2+=t2+1|PB|2=x2-m2+=t2+1+=+==.当m=4时+为定值此时点P的坐标为P40所以假设成立存在点P的坐标为P
40.
2.2017届哈尔滨市第六中学高三下学期第一次模拟已知两点A-0B0动点P在y轴上的投影是Q且2·=||
2.1求动点P的轨迹C的方程;2过F10作互相垂直的两条直线交轨迹C于点GHMN且E1E2分别是GHMN的中点.求证:直线E1E2恒过定点.解析1设点P的坐标为xy∴点Q的坐标为0y.∵2·=||2∴2[--x-x+y2]=x2∴点P的轨迹方程为+=
1.2当两条直线的斜率都存在且不为0时设lGH:y=kx-1Gx1y1Hx2y2lMN:y=-x-1Mx3y3Nx4y4联立方程得2k2+1x2-4k2x+2k2-4=
0.∵Δ0恒成立∴∴GH的中点E1的坐标为.同理可得MN的中点E2的坐标为.∴=∴直线E1E2的方程为y=∴直线E1E2过点.当两条直线的斜率分别为0和不存在时直线E1E2的方程为y=0也过点.综上所述直线E1E2恒过定点.
3.2018届河北省邯郸市高三第一次模拟已知p0抛物线C1:x2=2py与抛物线C2:y2=2px异于原点O的交点为M且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B与y轴交于点C.1若直线y=x+1与抛物线C1交于点PQ且|PQ|=2求抛物线C1的方程;2证明:△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值.解析1由消去y得x2-2px-2p=
0.设PQ的坐标分别为x1y1x2y2则x1+x2=2px1x2=-2p.∴|PQ|=·=
2.∵p0∴p=
1.故抛物线C1的方程为x2=2y.2由得x=y=2p或x=y=0则M2p2p.设直线AM:y-2p=k1x-2p与x2=2py联立得x2-2pk1x-4p21-k1=
0.由Δ1=4p2+16p21-k1=0得k1-22=0∴k1=
2.设直线BM:y-2p=k2x-2p与y2=2px联立得k2y2-2py-4p21-k2=
0.由Δ2=4p2+16p2k21-k2=0得1-2k22=0∴k2=.故直线AM:y-2p=2x-2p直线BM:y-2p=x-2p从而求得Ap0B-2p0C0p∴S△BOC=p2S△ABM=3p2∴△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为=为定值.
4.黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测已知椭圆C:+=1ab0的离心率为由四个顶点构成的四边形的面积是
4.1求椭圆C的方程;2若直线l与椭圆C交于点PQ且均在第一象限设直线l的斜率为k直线OPOQ其中O为坐标原点的斜率分别为k1k2且k2=k1k
2.证明:直线l的斜率k为定值.解析1由题意得又a2=b2+c2解得a=2b=1所以椭圆C的方程为+y2=
1.2设直线l的方程为y=kx+mm≠0点PQ的坐标分别为x1y1x2y2由消去y得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0Δ=64k2m2-161+4k2m2-1=164k2-m2+10则x1+x2=x1x2=.∴y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m
2.∵k2=k1k2∴k1k2===k2即+m2=
0.又m≠0从而有k2=结合图象图略可知k=-∴直线l的斜率k为定值-.。
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