2019届高考数学二轮复习第二篇考点六函数、导数与不等式考查角度1用导数解决函数的单调性、极值与最值问题突破训练文

考查角度1　用导数解决函数的单调性、极值与最值问题　　分类透析一　求函数的单调区间例1已知函数fx=ax3+x2a∈R在x=-处取得极值.1确定a的值;2若gx=fxex求函数gx的单调减区间.分析1先求出函数的导数然后把x=-代入可确定a的值;2先求出gx的函数解析式再求导数最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间.解析1对fx求导得fx=3ax2+2x因为fx在x=-处取得极值∴f=0即3a×+2×=-=0解得a=.2由1得gx=ex故gx=ex+ex=ex=xx+1x+4ex.令gx0得xx+1x+40解得-1x0或x-4∴函数gx的单调递减区间为-10-∞-

4.方法技巧1已知函数的极值点求参数的值应利用函数在极值点的导数为0这一条件求解.2划分函数的单调区间时要在函数定义域内讨论还要确定导数为零的点和函数的间断点.　　分类透析二　利用函数的单调性求参数例2已知函数fx=lnxgx=ax2+2x.1若函数hx=fx-gx存在单调递减区间求实数a的取值范围;2若函数hx=fx-gx在

[14]上单调递减求实数a的取值范围.分析整理函数分离出参数构造函数然后求导确定参数的取值范围.解析1∵hx=lnx-ax2-2xx0∴hx=-ax-

2.若函数hx在0+∞上存在单调递减区间则当x0时-ax-20有解即a-有解.设Gx=-x0∴aGxmin.又Gx=-1∴Gxmin=-

1.∴a-

1.即实数a的取值范围是-1+∞.2∵hx=lnx-ax2-2x在

[14]上单调递减∴当x∈

[14]时hx=-ax-2≤0恒成立则a≥-恒成立.设Gx=-x∈

[14]∴a≥Gxmax.又Gx=-1x∈

[14]∴Gxmax=-此时x=4∴a≥-.故实数a的取值范围是.方法技巧

1.已知函数的单调性求参数的取值范围应用条件fx≥0或fx≤0x∈ab恒成立求出参数的取值范围一般可用不等式恒成立的理论求解应注意参数的取值范围是fx不恒等于0的参数的取值范围.

2.若函数y=fx在区间ab上不是单调函数则问题转化为fx=0在ab上有解.　　分类透析三　已知函数求极值点例3已知函数fx=x-1+a∈Re为自然对数的底数.1若曲线y=fx在点1f1处的切线平行于x轴求a的值;2求函数fx的极值.分析运用导数的几何意义求出参数的值求带有参数的函数的极值时要注意分类讨论.解析1由fx=x-1+得fx=1-.又曲线y=fx在点1f1处的切线平行于x轴得f1=0即1-=0解得a=e.2fx=1-

①当a≤0时fx0fx为-∞+∞上的增函数所以函数fx无极值.

②当a0时令fx=0得ex=a即x=lna当x∈-∞lna时fx0;当x∈lna+∞时fx

0.所以fx在-∞lna上单调递减在lna+∞上单调递增.故fx在x=lna处取得极小值且极小值为flna=lna无极大值.综上当a≤0时函数fx无极值;当a0时fx在x=lna处取得极小值lna无极大值.方法技巧函数极值的两类热点问题1由函数极值求参数的值或取值范围.已知函数极值利用导数的几何意义求参数的值利用极值点的定义求参数的取值范围.2求函数fx的极值这类问题的一般解题步骤:

①确定函数的定义域;

②求导数fx;

③解方程fx=0求出在函数定义域内方程的所有根;

④列表检验fx在fx=0的根x0左右两侧值的符号如果左正右负那么fx在x0处取极大值如果左负右正那么fx在x0处取极小值.　　分类透析四　利用导数求函数的最值例4已知函数fx=lnx-axa∈R.1求函数fx的单调区间;2当a0时求函数fx在

[12]上的最小值.分析1已知函数的解析式求单调区间实质上是求导数fx0fx0的解区间并注意定义域.2先研究函数fx在

[12]上的单调性再确定最值是端点值还是极值.3两小问中由于解析式中含有参数a所以要对参数a进行分类讨论.解析1fx=-ax0

①当a≤0时fx=-a0即函数fx的单调递增区间为0+∞.

②当a0时令fx=-a=0可得x=;当0x时fx=0;当x时fx=

0.故函数fx的单调递增区间为单调递减区间为.综上可知当a≤0时函数fx的单调递增区间为0+∞;当a0时函数fx的单调递增区间为单调递减区间为.2

①当≤1即a≥1时函数fx在区间

[12]上是减函数所以fx的最小值是f2=ln2-2a.

②当≥2即0a≤时函数fx在区间

[12]上是增函数所以fx的最小值是f1=-a.

③当12即a1时函数fx在上是增函数在上是减函数.又f2-f1=ln2-a所以当aln2时最小值是f1=-a;当ln2≤a1时最小值为f2=ln2-2a.综上可知当0aln2时函数fx的最小值是f1=-a;当a≥ln2时函数fx的最小值是f2=ln2-2a.方法技巧用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤:

①求导数求函数fx的导数fx;

②求极值求fx在给定区间上的单调性和极值;

③求端点值求fx在给定区间上的端点值;

④求最值将fx的各极值与fx的端点值进行比较确定fx的最大值与最小值;

⑤反思反思回顾查看关键点易错点和解题规范.

1.2016年全国Ⅱ卷文20改编已知函数fx=x2-lnx-axa∈R.1当a=1时求fx的最小值;2若fxx求a的取值范围.解析1当a=1时fx=x2-lnx-x则fx=.当x∈01时fx0;当x∈1+∞时fx

0.所以fx的最小值为f1=

0.2由fxx得fx-x=x2-lnx-a+1x

0.由于x0所以fxx等价于x-a+

1.令gx=x-则gx=.当x∈01时gx0;当x∈1+∞时gx

0.故gx的最小值为g1=

1.故a+11解得a0即a的取值范围是-∞

0.

2.2018年北京卷文19改编函数fx=ax2+xex其中e是自然对数的底数a∈R.1当a0时解不等式fx≤0;2当a=0时求整数t的所有值使方程fx=x+2在[tt+1]上有解.解析1因为ex0ax2+xex≤0所以ax2+x≤

0.又因为a0所以不等式化为x≤

0.所以不等式fx≤0的解集为.2当a=0时方程为xex=x+2由于ex0所以x=0不是方程的解所以原方程等价于ex--1=

0.令hx=ex--1则hx=ex+.因为hx0对于x∈-∞0∪0+∞恒成立所以hx在-∞0和0+∞内是单调递增函数.又h1=e-30h2=e2-20h-3=e-3-0h-2=e-20所以方程fx=x+2有且只有两个实数根且实数根分别在区间

[12]和[-3-2]上所以整数t的所有值为{-31}.

3.2016年天津卷文20改编已知函数fx=x3+ax2-x+c且a=f.1求a的值;2求函数fx的单调区间;3设函数gx=[fx-x3]ex若函数gx在[-32]上单调递增求实数c的取值范围.解析1由fx=x3+ax2-x+c得fx=3x2+2ax-

1.当x=时得a=f=3×+2a×-1解得a=-

1.2由1可知fx=x3-x2-x+c则fx=3x2-2x-1=3x-

1.当x变化时fxfx的变化情况如下表:　　所以fx的单调递增区间是和1+∞单调递减区间是.3函数gx=[fx-x3]ex=-x2-x+cex则gx=-2x-1ex+-x2-x+cex=-x2-3x+c-1ex.因为函数gx在区间[-32]上单调递增所以hx=-x2-3x+c-1≥0在区间[-32]上恒成立.又hxmin=h2所以h2≥0解得c≥11所以c的取值范围是[11+∞.

1.孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末已知函数fx=x3-3ax-1a≠

0.1求fx的单调区间;2若fx在x=-1处取得极值直线y=m与曲线y=fx有三个不同的交点求m的取值范围.解析1fx=3x2-3a.当a0时fx0∴fx在R上单调递增.当a0时fx=3x+x-.　　∴fx在-∞-和+∞上单调递增在-上单调递减.2fx在x=-1处取得极值∴f-1=

0.∴3-3a=0a=1fx=x3-3x-1∴fx极大值=f-1=1fx极小值=f1=-

3.∵直线y=m与曲线y=fx有三个交点∴fx极小值mfx极大值∴-3m1∴m的取值范围是-

31.

2.河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题已知函数fx=.1求函数fx的图象在x=2处的切线方程;2求函数fx的单调区间.解析1因为x=2所以切点为22ln

2.因为fx=所以切线的斜率为f2=1-ln2所以所求的切线方程为y-2ln2=1-ln2x-2即y=1-ln2x+4ln2-

2.2fx的定义域为01∪1+∞由1知fx=.记gx=x-1-lnx则gx=1-=.当0x1时gx0gx在01上是减函数;当x1时gx0gx在1+∞上是增函数.所以gx在0+∞上的最小值为g1=0所以fx0恒成立所以fx的单调递增区间为01和1+∞无单调递减区间.

3.天水市一中2015级2017~2018学年第二次模拟考试已知函数fx=ex-x2+ax.1当a-1时试判断函数fx的单调性;2若a1-e求证:函数fx在[1+∞上的最小值小于.解析1由题意可得fx=ex-x+a设gx=fx=ex-x+a则gx=ex-1所以当x0时gx0gx在0+∞上单调递增;当x0时gx0gx在-∞0上单调递减.所以fx≥f0=1+a因为a-1所以1+a0即fx0所以函数fx在R上单调递増.2由1知fx在[1+∞上单调递増因为a1-e所以f1=e-1+a0所以存在t∈1+∞使得ft=0即et-t+a=0亦即a=t-et所以函数fx在[1t上单调递减在t+∞上单调递増所以当x∈[1+∞时fxmin=ft=et-t2+at=et-t2+tt-et=et1-t+t

2.令hx=ex1-x+x2x1则hx=x1-ex0恒成立所以函数hx在1+∞上单调递减所以hxe1-1+×12=即当x∈[1+∞时fxmin故函数fx在[1+∞上的最小值小于.

4.山东省实验中学2018届第二次模拟考试高三试题已知函数fx=.1求函数fx的单调区间;2若关于x的方程fx=ex-1+e1-x+k有实数解求实数k的取值范围.解析1函数fx的定义域为0+∞fx=.当x∈01时fx0;当x∈1+∞时fx

0.所以fx的单调递增区间为01单调递减区间为1+∞.2令gx=ex-1+e1-x+k则gx=ex-1-e1-x.当x∈01时gx0gx为减函数;当x∈1+∞时gx0gx为增函数.所以gxmin=g1=2+k.由1得fxmax=f1=1若关于x的方程fx=ex-1+e1-x+k有实数解则gxmin≤fxmax即2+k≤1解得k≤-

1.所以k的取值范围为-∞-1].x-11+∞fx+0-0+fx↗极大值↘极小值↗x-∞---+∞fx+0-0+fx↗极大值↘极小值↗。