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压轴小题抢分练二压轴小题集训练练就能力和速度筑牢高考满分根基!
一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1.已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x且fx+f′x1f1=0则不等式fx-1+≤0的解集是 A.-∞1]B.-∞0]C.[0+∞D.[1+∞【解析】选A.令gx=ex-1fx-ex-1+1则:g′x=ex-1fx+f′x-1由题意可知:g′x0则函数gx在R上单调递增且g1=1×0-1+1=0不等式fx-1+≤0即ex-1fx-ex-1+1≤0即:gx≤g1结合函数的单调性可得不等式的解集为:{x|x≤1}.
2.已知双曲线C:-=1a0b0的左、右焦点分别为F1F2离心率为e过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于AB两点若·=0且∠F1AF2=150°则e2= A.7-2 B.7- C.7+ D.7+2【解析】选A.如图:因为·=0所以AB⊥BF2∠F1BF2=90°因为∠F1AF2=150°所以∠BAF2=30°设BF2=x则AF2=2xAB=x由双曲线定义可得:F1A+AB-BF2=2a所以F1A=2a+x-xAF2-AF1=2aF1A=2x-2a故2x-2a=2a+x-x解得x=2-1a则F1B=2a在Rt△F1BF2中由勾股定理可得F1B2+B=F1即2a2+[2-1a]2=2c2得7-2a2=c2所以e2=7-
2.
3.若关于x的不等式x1+lnx+2kkx的解集为A且2+∞⊆A则整数k的最大值是 A.3B.4C.5D.6【解析】选B.关于x的不等式x1+lnx+2kkx的解集为A且2+∞⊆A所以当x2时x1+lnxkx-2恒成立即k恒成立令hx=h′x=x
2.令φx=x-4-2lnxφ′x=1-0所以φx在2+∞上单调递增因为φ8=4-2ln80φ9=5-2ln90方程φx=0在2+∞上存在唯一实根x0且满足x0∈
89.则φx0=x0-4-2lnx0=0即x0-4=2lnx
0.当x∈2x0时φx0h′x0当x∈x0+∞时φx0h′x
0.故hx在2x0上单调递减在x0+∞上单调递增.故hx的最小值为hx0===∈.所以整数k的最大值为
4.
4.函数fx=lnx+x2-bx+ab0a∈R的图象在点bfb处的切线的倾斜角为α则倾斜角α的取值范围是 A.B.C.D.【解析】选B.依题意得f′x=+2x-bf′b=+b≥2=1b0当且仅当=b0即b=时取等号因此有tanα≥1≤α即倾斜角α的取值范围是.
5.已知关于x的方程为=12ex-2-mx2-3其中m∈R则此方程实根的个数为 A.2 B.2或3 C.3 D.3或4【解析】选C.很明显x=±不是方程=12ex-2-mx2-3的根据此可将方程变形为:m=·-原问题等价于考查函数y=m与函数gx=·-的交点的个数令hx=则h′x=列表考查函数hx的性质如下:x-∞---1-133+∞h′x++--+hx↗↗↘↘↗函数y=x-在有意义的区间内单调递增故gx的单调性与函数hx的单调性一致且函数的极值g-1=g3=+2e.可得y=m与函数gx=·-恒有3个交点即题中方程实根的个数为
3.
6.已知双曲线-=1a0b0的左、右两个焦点分别为F1F2以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M若|MF1|-|MF2|=2b该双曲线的离心率为e则e2= A.2 B.3 C. D.【解析】选D.以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=c2双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x联立方程求得Mab因为|MF1|-|MF2|=2b2c所以有Mab在双曲线-=1a0b0上所以-=1⇒-=1化简得e4-e2-1=0由求根公式有e2=负值舍去.
7.已知函数fx=2lnxgx=a-x2-e≤x≤-其中e为自然对数的底数.若总可以在fx图象上找到一点P在gx图象上找到一点Q使得PQ关于原点对称则实数a的取值范围是 A. B.[1e2-2]C. D.[e2-2+∞【解析】选B.由题意若总可以在fx图象上找到一点P在gx图象上找到一点Q使得PQ关于原点对称则函数fx=2lnx和函数y=x2-a有公共点即方程2lnx=x2-a有解即a=x2-2lnx有解.令y=x2-2lnx则y′=2当≤x1时y′0函数为减函数当1x≤e时y′0函数为增函数故当x=1时函数取最小值为1当x=e时函数取最大值为e2-2故实数a的取值范围是[1e2-2].
8.设fx=exx2+2x令f1x=f′xfn+1x=fn′x若fnx=exAnx2+Bnx+Cn且数列的前n项和为Sn则当|Sn-1|≤时n的最小整数值为 A.2017 B.2018 C.2019 D.2020【解析】选A.由题意得f1x=2x+2ex+x2+2xex=x2+4x+2exf2x=2x+4ex+x2+4x+2ex=x2+6x+6exf3x=2x+6ex+x2+6x+6ex=x2+8x+12ex…由此可得C1=2C2=6C3=12故可归纳得Cn=nn+1所以==-所以Sn=++…+=1-由题意得|Sn-1|=所以≤解得n≥
2017.所以n的最小整数值为
2017.
9.已知偶函数fx满足f4+x=f4-x且当x∈04]时fx=关于x的不等式f2x+afx0在区间[-200200]上有且只有300个整数解则实数a的取值范围是 A. B.C. D.【解析】选D.因为偶函数fx满足f4+x=f4-x所以fx+4=f4-x=fx-4所以fx的周期为8且fx的图象关于直线x=4对称由于[-200200]上含有50个周期且fx在每个周期内都是轴对称图形所以只需满足关于x的不等式f2x+afx0在04]上有3个正整数解即可.当x∈04]时f′x=所以fx在上单调递增在上单调递减因为f1=ln2f2f3f4==ln20所以当x=kk=1234时fx0所以当a≥0时f2x+afx0在04]上有4个正整数不符合题意所以a0由f2x+afx0可得fx0或fx-a显然fx0在04]上无正整数解故而fx-a在04]上有3个正整数解分别为123所以-a≥f4=ln2-af3=-af1=ln2所以-a≤-ln
2.
10.已知双曲线C:-=1a0b0的左右焦点分别为F1-c0F2c0双曲线C上存在一点P使得=则双曲线C的离心率的取值范围是 A.11+B.11+C.1D.1【解析】选A.不妨设点P在双曲线的右支上在△PF1F2中由正弦定理得=所以==所以=所以=所以|PF2|=又|PF2|c-a所以c-a所以c2-2ac-a20所以e2-2e-10解得1e1+.
11.在两直角边分别为ab斜边为c的直角三角形中若c=1a+b=mab则实数m的取值范围是 A.2] B.
[22]C.[2+∞ D.[2+∞【解析】选C.由直角三角形的性质可得:a0b0a2+b2=1不妨设a=cosθb=sinθ则m==令t=sinθ+cosθ=sin∈1]则t2=1+2sinθcosθ据此可得sinθcosθ=故:m==函数t-在1]上单调递增则t-∈据此可得:实数m取值范围是[2+∞.
12.已知函数fx=alnx-a0若方程ffx=x恰好有两个实数解则实数a的取值范围是 A.01B.e+∞C.D.【解析】选D.因为函数fx在0+∞内单调递增所以要使方程ffx=x恰好有两个实数解只需满足函数y=fx与y=x恰有两个交点所以alnx-=x有两个实数解.令gx=alnx--x因为g′x=+-1=-当0x2a时g′x0当x2a时g′x0所以函数gx在02a上单调递增在2a+∞上单调递减函数gx的最大值gxmax=g2a且当x→0时gx→-∞;当x→+∞时gx→-∞因此只需满足g2a0即可保证函数gx有两个零点由g2a=aln2a-a-2a0得a.
二、填空题本大题共4小题每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上
13.已知定义在R上的函数fx满足:
①f1+x=f1-x
②在[1+∞上为增函数;
③若x∈时faxfx-1成立则实数a的取值范围为________. 【解析】因为函数fx满足
①f1+x=f1-x
②在[1+∞上为增函数;
③若x∈时faxfx-1成立所以fx关于x=1对称所以当自变量距离对称轴x=1越近函数值越小因为faxfx-1所以|ax-1||x-1-1|即|ax-1||x-2|设gx=|ax-1|hx=|x-2|要使x∈时|ax-1||x-2|则x∈时y=gx的图象在y=hx的图象下方画出y=gx与y=hx的图象如图由图可知有即解得0a2即0a2时|ax-1||x-2|恒成立即faxfx-1恒成立.实数a的取值范围为
02.答案:
0214.在平面四边形ABCD中∠A=60°AD⊥DCAB=BD=2则BC的最小长度为________. 【解析】如图所示建立平面直角坐标系其中A00B0则点D为直线y=x与圆x-2+y2=4的交点作DE⊥AD则点C在射线DE上.当BC⊥DE时BC取得最小值.在△ABD中由正弦定理得=解得sin∠ADB=故cos∠CDB=sin∠CDB==BC取得最小值时:BC=BD×sin∠CDB=.综上可得:BC的最小长度为.答案:
15.设等差数列{an}的公差为d前n项的和为Sn若数列{}也是公差为d的等差数列则an=________. 【解析】等差数列{an}的公差为d前n项和为Sn若数列{}也是公差为d的等差数列所以=+n-1d所以na1+d+n=a1+1+n-12d2+2n-1dn≠1时化为a1++1=n-1d2+2dn=2时a1+d+1=d2+2dn=3时a1+d+1=2d2+2d联立解得:所以an=-1或an=-+n-1×=n-.答案:-1或n-
16.设不等式组表示的平面区域为D在区域D内随机取一个点则此点到坐标原点的距离小于2的概率是________. 【解析】区域D表示矩形面积为3到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O为圆心半径为2的圆内图中阴影部分的面积为×1×+×π×4=+故所求概率为.答案:。