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文本内容:
第1讲 概率与统计
1.2018·全国Ⅱ卷文5从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务则选中的2人都是女同学的概率为 D A
0.6B
0.5C
0.4D
0.3解析:设2名男同学为ab3名女同学为ABC从中选出两人的情形有abaAaBaCbAbBbCABACBC共10种而都是女同学的情形有ABACBC共3种故所求概率为=
0.
3.故选D.
2.2018·全国Ⅲ卷文5若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45既用现金支付也用非现金支付的概率为
0.15则不用现金支付的概率为 B A
0.3B
0.4C
0.6D
0.7解析:由题意可知不用现金支付的概率为1-
0.45-
0.15=
0.
4.故选B.
3.2018·全国Ⅰ卷文3某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A A新农村建设后种植收入减少B新农村建设后其他收入增加了一倍以上C新农村建设后养殖收入增加了一倍D新农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:设新农村建设前农村的经济收入为a则新农村建设后农村的经济收入为2a.新农村建设前后各项收入的对比如下表:新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a37%×2a=74%a增加A错续表新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论其他收入4%a5%×2a=10%a增加一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a=60%a增加了一倍C对养殖收入+第三产业收入30%+6%a=36%a30%+28%×2a=116%a超过经济收入2a的一半D对故选A.
4.2017·全国Ⅰ卷文4如图正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点则此点取自黑色部分的概率是 B ABCD解析:不妨设正方形的边长为2则正方形的面积为4圆的半径为1圆的面积为πr2=π.黑色部分的面积为圆面积的即为所以点取自黑色部分的概率是=.故选B.
5.2017·全国Ⅲ卷文18某超市计划按月订购一种酸奶每天进货量相同进货成本每瓶4元售价每瓶6元未售出的酸奶降价处理以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温单位:℃有关.如果最高气温不低于25℃需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[2025需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划统计了前三年六月份各天的最高气温数据得下面的频数分布表:最高气温[1015[1520[2025[2530[3035[3540天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.1估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;2设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y单位:元当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时写出Y的所有可能值并估计Y大于零的概率.解:1这种酸奶一天的需求量不超过300瓶当且仅当最高气温低于25℃由表格数据知最高气温低于25℃的频率为=
0.6所以估计这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为
0.
6.2当这种酸奶一天的销售量为450瓶时若最高气温不低于25℃则Y=6×450-4×450=900若最高气温位于区间[2025则Y=6×300+2450-300-4×450=300若最高气温低于20℃则Y=6×200+2450-200-4×450=-100所以Y的所有可能值为900300-
100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20℃由表格数据知最高气温不低于20℃的频率为=
0.8因此Y大于零的概率的估计值为
0.
8.
1.考查角度古典概型、几何概率、统计图表、抽样方法、用样本估计概率及互斥事件、对立事件的概率.
2.题型及难易度选择、填空、解答题难度中低档.对应学生用书第47~48页 抽样方法【例1】12018·长沙市名校实验班阶段性测试一个总体由编号分别为0102…2930的30个个体组成利用下面的随机数表选取6个个体选取方法是从随机数表的第1行第4列开始由左到右依次读取则选出来的第6个个体的编号为 . 781665720802631407024369972801983204923449358200362348696938748122018·广州市测试已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取20名学生则小学与初中共需抽取的学生人数为 . 解析:1从第1行第4列开始满足要求的编号依次为202624192303所以选出来的第6个个体的编号为
03.2设小学与初中共需抽取的学生人数为x依题意可得=解得x=
85.答案:103 2851简单随机抽样适用于总体个体数较少具体方法有抽签法、随机数表法;2系统抽样适用于总体的个体数较多特点是等距抽样即所抽到的数据是以抽样距为公差的等差数列.3分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成特点是按比例即抽样比==.热点训练1:12018·全国Ⅲ卷某公司有大量客户且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价该公司准备进行抽样调查可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样则最合适的抽样方法是 . 22018·南昌市摸底调研某校高三2班现有64名学生随机编号为012…63依编号顺序平均分成8组组号依次为123…
8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本若在第1组中随机抽取的号码为5则在第6组中抽取的号码为 . 解析:1因为客户数量大且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异所以最合适的抽样方法是分层抽样.2依题意分组间隔为=8因为采用系统抽样方法且在第1组中随机抽取的号码为5所以在第6组中抽取的号码为5+5×8=
45.答案:1分层抽样 245古典概型、几何概型考向1 古典概型【例2】2018·郑州市二次质检某市举行了一次初一学生调研考试为了解本次考试学生的数学学科成绩情况从中抽取部分学生的分数满分为100分得分取正整数抽取学生的分数均在
[50100]内作为样本样本容量为n进行统计按照[5060[6070[7080[8090
[90100]的分组方法作出频率分布直方图并作出了样本分数的茎叶图茎叶图中仅列出了得分在[5060[8090内的数据如图所示.1求频率分布直方图中的xy的值并估计学生分数的中位数;2在选取的样本中从成绩在80分以上含80分的学生中随机抽取2名学生求所抽取的2名学生中恰有一人的分数在
[90100]内的概率.解:1由题意可知样本容量n==50y==
0.010x=
0.100-
0.004-
0.010-
0.016-
0.030=
0.
040.因为
0.016+
0.030×10=
0.
460.5所以学生分数的中位数在[7080内.设中位数为a分则
0.46+
0.04×a-70=
0.5得a=71所以估计学生分数的中位数为71分.2由题意可知分数在[8090内的学生有5人记这5人分别为a1a2a3a4a5分数在
[90100]内的学生有2人记这2人分别为b1b2从这7名学生中随机抽取2名学生的所有情况有21种分别为a1a2a1a3a1a4a1a5a1b1a1b2a2a3a2a4a2a5a2b1a2b2a3a4a3a5a3b1a3b2a4a5a4b1a4b2a5b1a5b2b1b
2.其中2名学生中恰有一人的分数在
[90100]内的情况有10种故所抽取的2名学生中恰有一人的分数在
[90100]内的概率P=.考向2 几何概型【例3】2018·福州市质检如图在菱形ABCD中AB=2∠ABC=60°以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为
1.若在菱形内随机取一点则该点取自阴影部分的概率是 . 解析:依题意菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积菱形ABCD的面积为2×2×sin60°=
2.所以该点落在阴影部分的概率P=1-=1-π.答案:1-π1求古典概型概率的一般步骤
①求出所有基本事件的个数n常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;
②求出事件A所包含的基本事件的个数m;
③代入公式PA=求解.2求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域有时需要设出变量在坐标系中表示所需要的区域.热点训练2:12018·广州市调研如图四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形直角三角形中较小的锐角θ=.若向该大正方形区域内随机投掷一点则该点落在中间小正方形区域内的概率是 ABCD22018·石家庄市重点高中摸底一个三位数个位、十位、百位上的数字依次为xyz当且仅当yxyz时称这样的数为“凸数”如243现从集合{1234}中取出三个不相同的数组成一个三位数则这个三位数是“凸数”的概率为 ABCD解析:1在每个直角三角形中斜边长为2有一个内角为所以每个直角三角形的面积S=所以所求概率P==.故选A.2从集合{1234}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果:123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432其中是“凸数”的是132142143231241243341342共8个结果所以这个三位数是“凸数”的概率为=.故选B.用样本估计总体【例4】2018·山东省、湖北省部分重点中学二次质检某市教育局在数学竞赛结束后为了评估学生的数学素养特从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩单位:分均为整数作为样本进行估计将成绩进行整理后分成五组从左到右依次记为第一组第二组第三组第四组第五组并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第
一、
三、
四、五组的频率分别是
0.
300.
150.
100.
05.1求第二组的频率并补全频率分布直方图;2估计这1000名学生成绩的平均数和方差;3若成绩不低于65分的学生至少占总考生的75%就说明整体的数学素养优秀否则不优秀根据以上抽样情况判断该市学生的数学素养情况.解:1第二组的频率为1-
0.30+
0.15+
0.10+
0.05=
0.40补全的频率分布直方图如图:2样本的平均数=
54.5×
0.30+
64.5×
0.40+
74.5×
0.15+
84.5×
0.10+
94.5×
0.05=
66.5样本的方差s2=-122×
0.30+-22×
0.40+82×
0.15+182×
0.10+282×
0.05=126估计这1000名学生成绩的平均数为
66.5分方差为
126.3成绩不低于65分的学生所占比例估计为1-
0.3-
0.4×=
0.5=50%由于该估计值小于75%故该市学生的数学素养不优秀.用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法1用样本估计总体时样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值;2若给出图形如直方图可分析样本数据的分布情况大致判断平均数的范围并利用数据的波动性大小反映方差标准差的大小.3根据频率分布直方图求样本的平均数、方差或标准差、众数时同一组数据中的数据用该组区间的中点值组中值代表.热点训练3:2017·全国Ⅲ卷某城市为了解游客人数的变化规律提高旅游服务质量收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位:万人的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图下列结论错误的是 A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在78月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月波动性更小变化比较平稳解析:由题图可知应选A.热点训练4:2018·长沙市名校实验班阶段测试某农科所培育一种新型水稻品种首批培育幼苗2000株株长均介于285mm~335mm研究员从中随机抽取100株对株长进行统计分析得到如下频率分布表.株长/mm频数频率[
28529520.02[29530531a[
305315350.35[315325b
0.28
[325335]
40.04合计10011根据频率分布表中的数据写出ab的值;2求样本的平均株长和样本方差s2同一组数据用该区间的中点值代替求s2时用的整数部分计算;3水稻幼苗在进入育种试验阶段后研究员为了进一步优化品种分别选取株长在[285295内的两株幼苗AB的花粉与株长在
[325335]内的三株幼苗abc的花粉进行随机杂交授粉求A和a正好杂交授粉的概率.解:1a=31÷100=
0.31b=100×
0.28=
28.2=290×
0.02+300×
0.31+310×
0.35+320×
0.28+330×
0.04=
310.1mms2=202×
0.02+102×
0.31+102×
0.28+202×
0.04=
83.3由题意知幼苗AB的花粉与幼苗abc的花粉进行杂交的所有可能情况为AaAbAcBaBbBc共6种所以A和a正好杂交授粉的概率为. 【例1】2018·郑州市质量预测我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛河南初赛他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示其中甲班学生成绩的中位数是81乙班学生成绩的平均数是
86.若正实数ab满足aGb成等差数列且xGy成等比数列则+的最小值为 AB2CD9解析:由甲班学生成绩的中位数是81可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数故x=
1.由乙班学生成绩的平均数为86可得-10+-6+-4+y-6+5+7+10=0解得y=
4.由xGy成等比数列可得G2=xy=4由正实数ab满足aGb成等差数列可得G=2a+b=2G=4所以+=+×+=1+++4≥×5+4=当且仅当b=2a时取等号.故+的最小值为.故选C.【例2】2018·惠州市调研某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业在一个开学季内每售出1盒该产品获得利润30元未售出的产品每盒亏损10元.根据历史资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品以x单位:盒100≤x≤200表示这个开学季内的市场需求量y单位:元表示这个开学季内经销该产品的利润.1根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数;2将y表示为x的函数;3根据直方图估计利润y不少于4000元的概率.解:1由频率分布直方图得这个开学季内市场需求量x的众数是150盒需求量在[100120内的频率为
0.0050×20=
0.1需求量在[120140内的频率为
0.0100×20=
0.2需求量在[140160内的频率为
0.0150×20=
0.3需求量在[160180内的频率为
0.0125×20=
0.25需求量在
[180200]内的频率为
0.0075×20=
0.15则平均数=110×
0.1+130×
0.2+150×
0.3+170×
0.25+190×
0.15=153盒.2因为每售出1盒该产品获得利润30元未售出的产品每盒亏损10元所以当100≤x160时y=30x-10×160-x=40x-1600当160≤x≤200时y=160×30=4800所以y=3因为利润y不少于4000元所以当100≤x160时由40x-1600≥4000解得160x≥
140.当160≤x≤200时y=48004000恒成立所以200≥x≥140时利润y不少于4000元.所以由1知利润y不少于4000元的概率P=1-
0.1-
0.2=
0.
7.【例3】2018·广州市二次综合测试A药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件以抽取的10件中药材的质量单位:克作为样本样本数据的茎叶图如图所示.已知A药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂.1根据样本数据A药店应选择哪家药厂购买中药材不必说明理由2若将抽取的样本分布近似看成总体分布药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表:每件中药材的质量n/克购买价格/元/件n155015≤n≤20an20100i估计A药店所购买的100件中药材的总质量;ii若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元求a的最大值.解:1A药店应选择乙药厂购买中药材.2i从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为=×7+9+11+12+12+17+18+21+21+22=15克故A药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15=1500克.ii由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n15的概率为=
0.515≤n≤20的概率为=
0.2n20的概率为=
0.3则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×50×
0.5+
0.2a+100×
0.
3.依题意得100×50×
0.5+
0.2a+100×
0.3≤7000解得a≤75所以a的最大值为
75.对应学生用书第49页 【典例】2018·全国Ⅰ卷文1912分某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位:m3和使用了节水龙头50天的日用水量数据得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[
00.1[
0.
10.2[
0.
20.3[
0.
30.4[
0.
40.5[
0.
50.6[
0.
60.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[
00.1[
0.
10.2[
0.
20.3[
0.
30.4[
0.
40.5[
0.
50.6频数1513101651在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;2估计该家庭使用节水龙头后日用水量小于
0.35m3的概率;3估计该家庭使用节水龙头后一年能节省多少水一年按365天计算同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表评分细则:解:1如图所示.…4分2根据以上数据该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于
0.35m3的频率为
0.2×
0.1+1×
0.1+
2.6×
0.1+2×
0.05=
0.486分因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于
0.35m3的概率的估计值为
0.
48.7分3该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×
0.05×1+
0.15×3+
0.25×2+
0.35×4+
0.45×9+
0.55×26+
0.65×5=
0.
48.9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=×
0.05×1+
0.15×5+
0.25×13+
0.35×10+
0.45×16+
0.55×5=
0.
35.11分估计使用节水龙头后一年可节省水
0.48-
0.35×365=
47.45m
3.12分注:第1问得分说明:正确作出频率分布直方图得4分;第2问得分说明:
①计算出频率得2分
②由频率估计出概率得1分第3问得分说明:
①计算出使用节水龙头前、后50天日用水量的平均数各得2分
②计算出一年节省水量得1分.【答题启示】1频率分布直方图的长方形的高度为的值本题常把高度与频率混淆而失分.2频率公式:频率==·组距即频率分布直方图小矩形的面积.3用样本频率估计概率.本题常只计算出频率而忽视说明用频率值估计概率值而失分.。