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第1讲 等差数列与等比数列
1.2015·全国Ⅱ卷文5设Sn是等差数列{an}的前n项和若a1+a3+a5=3则S5等于 A A5B7C9D11解析:数列{an}为等差数列设公差为d所以a1+a3+a5=3a1+6d=3所以a1+2d=1所以S5=5a1+×d=5a1+2d=
5.
2.2015·全国Ⅱ卷文9已知等比数列{an}满足a1=a3a5=4a4-1则a2等于 C A2B1CD解析:设等比数列{an}的公比为qa1=a3a5=4a4-1由题可知q≠1则a1q2×a1q4=4a1q3-1所以×q6=4×q3-1所以q6-16q3+64=0所以q3-82=0所以q3=8所以q=2所以a2=故选C.
3.2015·全国Ⅰ卷文7已知{an}是公差为1的等差数列Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4则a10等于 B ABC10D12解析:设等差数列{an}的首项为a1公差为d.由题设知d=1S8=4S4所以8a1+28=44a1+6解得a1=所以a10=+9=故选B.
4.2014·全国Ⅱ卷文5等差数列{an}的公差为2若a2a4a8成等比数列则{an}的前n项和Sn等于 A Ann+1Bnn-1CD解析:因为a2a4a8成等比数列所以=a2·a8所以a1+62=a1+2·a1+14解得a1=
2.所以Sn=na1+d=nn+
1.故选A.
5.2015·全国Ⅰ卷文13在数列{an}中a1=2an+1=2anSn为{an}的前n项和.若Sn=126则n= . 解析:因为在数列{an}中a1=2an+1=2an所以数列{an}是首项为2公比为2的等比数列因为Sn=126所以=126解得2n+1=128所以n=
6.答案:
66.2014·全国Ⅱ卷文16数列{an}满足an+1=a8=2则a1= . 解析:将a8=2代入an+1=可求得a7=;再将a7=代入an+1=可求得a6=-1;再将a6=-1代入an+1=可求得a5=2;由此可以推出数列{an}是一个周期数列且周期为3所以a1=a7=.答案:
7.2018·全国Ⅱ卷文17记Sn为等差数列{an}的前n项和已知a1=-7S3=-
15.1求{an}的通项公式;2求Sn并求Sn的最小值.解:1设{an}的公差为d由题意得3a1+3d=-
15.由a1=-7得d=
2.所以{an}的通项公式为an=2n-
9.2由1得Sn=n2-8n=n-42-
16.所以当n=4时Sn取得最小值最小值为-
16.
1.考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算考查等差数列、等比数列性质的应用考查等差数列、等比数列的判断与证明等.
2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有难度中等偏下.对应学生用书第23~25页 等差、等比数列的基本运算【例1】12018·山东济南二模已知{an}是公差为2的等差数列Sn为数列{an}的前n项和若S5=15则a5等于 A3B5C7D922018·湖南省两市九月调研已知等比数列{an}中a5=3a4a7=45则的值为 A3B5C9D2532018·福建百校高三临考冲刺若干个连续奇数的和3+5+7+…+4n-1等于 A2n2+nBn2+2nC4n2+2nD4n2-1解析:1由题得S5=5a1+×2=5a1+20=15所以a1=-1所以a5=a1+4d=-1+8=
7.故选C.2因为{an}是等比数列所以a4=a7=a5·q2所以a4a7=·q=9q=45所以q=5所以==
25.故选D.3把连续的奇数数列加1减1变成1+3+5+7+…+4n-3+4n-1-1把相邻两项的和看成一个新的数列为4+12+20+…+8n-4-1所以变成首项a1=4d=8的等差数列所以Sn=4n+×8-1=4n+4n2-4n-1=4n2-
1.故选D.解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比然后再通过相关公式求得结果.热点训练1:12018·广西三校联考已知等差数列{an}满足:a3=13a13=33则a7等于 A19B20C21D2222018·广西桂林柳州市一模设等比数列{an}的公比q=2前n项和为Sn则的值为 ABCD32018·山东潍坊青州三模已知等差数列{an}的前n项和为Sn若a3+a4+a11=18则S11等于 A9B22C36D66解析:1等差数列{an}中d==2则a7=a3+4d=13+8=
21.故选C.2由等比数列的前n项和公式得S4=又a3=a1q2所以==.选A.3因为a3+a4+a11=18所以3a1+15d=18⇒a1+5d=6所以S11=11a1+5d=11×6=66故选D.等差、等比数列的性质【例2】12018·山东青岛二模已知等差数列{an}中若a4=15则它的前7项和为 A120B115C110D10522018·东北四市一模等差数列{an}中已知|a6|=|a11|且公差d0则其前n项和取最小值时的n的值为 A6B7C8D932018·河南洛阳市联考在等比数列{an}中a2a16是方程x2+6x+2=0的根则的值为 A-B-CD-或42018·浙江温州市一模已知数列{an}是公差不为0的等差数列bn=数列{bn}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为ABC则 AA+B=CBB2=ACCA+B-C=B2DB-A2=AC-B解析:1由题得S7=a1+a7=×2a4=7a4=7×15=
105.故选D.2等差数列的公差为正数则a11=-a6所以a6+a11=a8+a9=0据此可得a80a90故其前n项和取最小值时的n的值为
8.选C.3因为a2a16是x2+6x+2=0的两根所以a2·a16=2又因为a2·a16=所以=2所以a9=±所以==±.选D.4因为{an}是公差不为0的等差数列所以{bn}是公比不为1的等比数列由等比数列的性质可得AB-AC-B成等比数列所以可得B-A2=AC-B.故选D.1等差数列的主要性质:
①若m+n=p+qmnpq∈N*则am+an=ap+aq特别是m+n=2pmnp∈N*时am+an=2ap由此可得在等差数列中S2n-1=nan;
②把等差数列等距分段各段之和还是等差数列;
③若则的值最大若则的值最小.2等比数列的主要性质:
①若m+n=p+qmnpq∈N*则am·an=ap·aq特别是m+n=2pmnp∈N*时am·an=;
②把公比不等于-1的等比数列等距分段后各段之和还是等比数列若公比等于1则各段之和既成等比数列也成等差数列.热点训练2:12018·辽宁沈阳育才学校一模在等差数列{an}中Sn为其前n项和若a3+a4+a8=25则S9等于 A60B75C90D1052若等差数列{an}满足a7+a8+a90a7+a100则当n= 时{an}的前n项和最大. 解析:1a3+a4+a8=a2+a5+a8=3a5=25即a5=而S9==9a5=9×=
75.故选B.2因为a7+a8+a9=3a80a7+a10=a8+a90所以a80a90所以n=8时数列{an}的前n项和最大.答案:1B 28等差数列、等比数列的判定【例3】12018·陕西榆林一模数列{an}满足a1=1nan+1=n+1an+nn+1n∈N*.
①证明:数列是等差数列;
②若Tn=a1-a2+a3-a4+…+-1n+1an求T2n.22018·云南玉溪高三适应训练已知数列{an}满足Sn=2an-nn∈N*.
①证明:{an+1}是等比数列;
②求a1+a3+a5+…+a2n+1n∈N*.1
①证明:由已知可得=+1即-=1所以是以=1为首项1为公差的等差数列.
②解:由
①得=n所以an=n2因为Tn=a1-a2+a3-a4+…+-1n+1an所以T2n=a1-a2+a3-a4+…+a2n-1-a2n=1-22+32-42+…+2n-12-2n2=-[2-12+1+4-34+3+…+2n+2n-12n-2n+1]=-3+7+…+4n-1=-=-2n2-n.2
①证明:由S1=2a1-1得a1=1因为Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-n-1]n≥2所以an=2an-1+1从而由an+1=2an-1+1因为a1+1=2≠0所以an+1≠0所以=2n≥2所以{an+1}是以2为首项2为公比的等比数列.
②解:由
①得an=2n-1所以a1+a3+a5+…+a2n+1=2+23+…+22n+1-n+1=-n+1=.判断或证明一个数列为等差数列、等比数列的基本方法是定义法即数列{an}若满足对任意正整数nan+1-an=d常数则其为等差数列若满足对任意正整数n=q非零常数则其为等比数列其他证明方法均为定义法的直接应用或者变形.若通过递推关系an+1=qan判定数列{an}为等比数列时一定要先判断a1≠0否则证明是不完善的.热点训练3:12018·山东寿光期末若数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an-λλ0n∈N*.
①证明:数列{an}为等比数列并求an;
②若λ=4bn=an+log2ann∈N*求数列{bn}的前n项和Tn.22018·山东济南二模已知数列{an}的前n项和为Sna1=1an0=-λSn+1其中λ为常数.
①证明:Sn+1=2Sn+λ;
②是否存在实数λ使得数列{an}为等比数列若存在求出λ;若不存在说明理由.1解:
①因为Sn=2an-λ当n=1时得a1=λ0当n≥2时Sn-1=2an-1-λ故Sn-Sn-1=2an-2an-1即an=2an-2an-1所以an=2an-1所以{an}是以λ为首项2为公比的等比数列所以an=λ·2n-1λ
0.
②λ=4an=4·2n-1=2n+1所以bn=2n+1+log22n+1=2n+1+n+1所以Tn=22+2+23+3+…+2n+1+n+1=22+23+…+2n+1+2+3+…+n+1=+=2n+2-4+n2+n即Tn=2n+2+n2+n-
4.2
①证明:因为an+1=Sn+1-Sn=-λSn+1所以=Sn+1-Sn2-λSn+1所以Sn+1Sn+1-2Sn-λ=0因为an0所以Sn+10所以Sn+1-2Sn-λ=0所以Sn+1=2Sn+λ.
②解:存在.因为Sn+1=2Sn+λSn=2Sn-1+λn≥2相减得an+1=2ann≥2所以{an}从第二项起成等比数列因为S2=2S1+λ即a2+a1=2a1+λ所以a2=1+λ0得λ-1所以an=若使{an}是等比数列则a1a3=所以2λ+1=λ+12所以λ=-1舍去或λ=1经检验λ=1符合题意.等差、等比数列的综合【例4】2018·山东潍坊三模已知数列{an}的前n项和为Sn且1anSn成等差数列.1求数列{an}的通项公式;2若数列{bn}满足an·bn=1+2nan求数列{bn}的前n项和Tn.解:1由1anSn成等差数列得2an=1+Sn
①当n=1时2a1=1+S1=1+a1所以a1=1当n≥2时2an-1=1+Sn-1
②①-
②得2an-2an-1=ann≥2所以=2n≥2所以数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列所以an=a1qn-1=1×2n-1=2n-
1.2由an·bn=1+2nan得bn=+2n所以Tn=b1+b2+…+bn=+2++4+…++2n=++…++2+4+…+2n=+=n2+n+2-=-+n2+n+
2.解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想即列出等差数列、等比数列基本量的方程或者方程组解方程或者方程组求得基本量求出等差数列、等比数列的通项公式在此基础上求解其他问题.热点训练4:2018·江西南昌二模已知各项均为正数且递减的等比数列{an}满足:a3a42a5成等差数列前5项和S5=
31.1求数列{an}的通项公式;2若等差数列{bn}满足b1=a4-1b2=a3-1求数列{}的前n项和.解:1由a3a42a5成等差数列得3a4=a3+2a5设{an}公比为q则2q2-3q+1=0解得q=或q=1舍去所以S5==31解得a1=
16.所以数列{an}的通项公式为an=16·n-1=n-
5.2设等差数列{bn}的公差为d由b1=a4-1b2=a3-1得b1=1d=a3-a4=4-2=2所以bn=2n-1=2n-6数列{}的前n项和Tn=-4+-2+…+2n-6==1-n. 【例1】12018·陕西省西工大附中八模已知等差数列1ab等比数列4a-1b+4则该等比数列的公比为 AB-C或-D10或-222018·天津南开中学模拟已知等比数列{an}的前n项和为Sn且a1+a3=a2+a4=则等于 A4n-1B4n-1C2n-1D2n-132018·江西赣州红色七校联考已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0且a2a4a8成等比数列则等于 A6B5C4D3解析:1根据题意得解得或因为等比数列的公比为所以公比为-或.故选C.2设等比数列{an}的公比为q所以q==所以a1+a3=a11+q2=a11+=解得a1=2an=2×n-1=n-2Sn==41-所以==2n-
1.故选D.3由题意设等差数列{an}的首项为a1公差为d因为a2a4a8成等比数列所以=a2a8⇒=a1+da1+7d解得d=a1所以===
3.故选D.【例2】2018·福建泉州5月质检已知等差数列{an}中a1=2a2+a4=
16.1设bn=求证:数列{bn}是等比数列;2求{an+bn}的前n项和.1证明:设{an}的公差为d由a2+a4=16可得a1+d+a1+3d=16即2a1+4d=16又a1=2可得d=3故an=a1+n-1d=2+n-1×3=3n-1依题意bn=23n-1因为==23=8故{bn}是首项为4公比为8的等比数列.2解:{an}的前n项和为={bn}的前n项和为==·23n+2-故{an+bn}的前n项和为+·33n+2-.【例3】2018·湖南岳阳一中一模已知数列{an}的首项a1=1其前n项和为Sn且对任意正整数n有nanSn成等差数列.1求证:数列{Sn+n+2}成等比数列;2设bn=nan求数列{bn}前n项和Tn.1证明:因为nanSn成等差数列所以2an=n+Sn又an=Sn-Sn-1n≥2所以2Sn-Sn-1=n+Sn即Sn=2Sn-1+n所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2即Sn+n+2=2[Sn-1+n-1+2].又因为S1+1+2=4≠0所以{Sn+n+2}是首项为4公比为2的等比数列.2解:由1知{Sn+n+2}是以4为首项2为公比的等比数列所以Sn+n+2=4·2n-1=2n+1又2an=n+Sn所以2an+2=2n+1所以an=2n-1故bn=nan=n2n-1=n·2n-n所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n-1+2+3+…+nTn=2+n-1·2n+1-.【例4】2018·河南南阳一中第六次月考已知数列{an}的各项均为正数前n项和为Sn且Sn=n∈N*.1求证:数列{an}是等差数列;2设bn=Tn=b1+b2+…+bn求Tn.1证明:因为Sn=n∈N*.所以当n=1时a1=Sn=an0所以a1=
1.当n≥2时由得2an=+an--an-1即an+an-1an-an-1-1=0因为an+an-10所以an-an-1=1n≥
2.所以数列{an}是以1为首项1为公差的等差数列.2解:由1可得an=nSn=所以bn===-.所以Tn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=.对应学生用书第25页 【典例】2018·全国Ⅰ卷文1712分已知数列{an}满足a1=1nan+1=2n+1an设bn=.1求b1b2b3;2判断数列{bn}是否为等比数列并说明理由;3求{an}的通项公式.评分细则:解:1由条件可得an+1=an.1分将n=1代入得a2=4a1而a1=1所以a2=
4.3分将n=2代入得a3=3a2所以a3=
12.5分从而b1=1b2=2b3=
4.6分2{bn}是首项为1公比为2的等比数列.7分由条件可得=即=2bn9分又b1=1所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列.10分3由2可得=2n-1所以an=n·2n-
1.12分【答题启示】1以递推关系给出的数列可以利用初始值和递推式逐次求得数列的各项一般求出前几项.2证明数列{an}为等比数列只需证明an+1=qanq为常数且a1≠
0.。