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考查角度3 双曲线的标准方程与几何性质 分类透析一 双曲线的定义与应用例1过双曲线-=1左焦点F1的直线与左支交于AB两点且弦AB长为6则△ABF2F2为右焦点的周长是 . A.16B.19C.22D.28解析由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8|BF2|-|BF1|=8两式相加得|AF2|+|BF2|-|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|-|AB|=16从而有|AF2|+|BF2|=16+6=22所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=
28.答案D方法技巧与焦点有关的三角形周长问题常借助双曲线的定义解决注意解决问题时的拼凑技巧. 分类透析二 双曲线的标准方程求解与应用例2设A、B分别为双曲线-=1a0b0的左、右顶点双曲线的实轴长为4焦点到渐近线的距离为则双曲线的标准方程为 . 解析由题意知a=
2.∵双曲线的一条渐近线为bx-ay=0∴=b=.∴双曲线的标准方程为-=
1.答案-=1方法技巧关于双曲线的标准方程的确定问题常用的方法有待定系数法和几何法等对于待定系数法需要建立关于abc的等式然后确定其焦点位置从而写出其标准方程. 分类透析三 双曲线的几何性质及应用例3已知双曲线-=1a0b0的左、右焦点分别为F
1、F2点P在双曲线的右支上且|PF1|=4|PF2|则该双曲线离心率的取值范围为 . 解析因为|PF1|=4|PF2|点P在双曲线的右支上所以设|PF2|=m则|PF1|=4m.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4m-m=2a所以m=a.又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|即4m+m≥2c所以m≥c即a≥c所以e=≤.又e1所以双曲线离心率的取值范围为.答案方法技巧求解双曲线的离心率问题是高频考点建立关于abc的等量关系式是解决此类问题的关键.本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量ac的不等关系使问题得以巧妙地转化、获解.
1.2018年全国Ⅰ卷理11改编已知双曲线-=1b0的左顶点为A虚轴长为8右焦点为F且以F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切若过点A作该圆F的两条切线切点分别为MN则|MN|= . A.8B.4C.2D.4解析∵2b=8∴b=4c=5∴A-30F50∵点F到双曲线的渐近线的距离为b∴☉F:x-52+y2=
16.设MN交x轴于点E在Rt△AMF中|FE|===
2.∴|AE|=8-2=
6.又|ME|2=|AE|·|EF|=12∴|MN|=2|ME|=4选D.答案D
2.2018年全国Ⅱ卷文6改编若双曲线-=1a0b0的一条渐近线经过点3-4则此双曲线的离心率为 . 解析双曲线-=1的渐近线方程为y=±x由渐近线过点3-4可得-4=-即b=a.又c===a所以双曲线的离心率e==.答案
3.2016年全国Ⅱ卷理11改编已知F
1、F2是双曲线E:-=1a0b0的左、右焦点点M在E上MF1与x轴垂直且交双曲线于点N△MF2N为等边三角形则E的离心率为 .A.B.C.D.2解析由题意知|MN|=2|MF1|=.因为△MF2N为等边三角形所以×=2c解得e2-2e-=0即e=或e=-舍去故选C.答案C
4.2018年江苏卷8改编在平面直角坐标系xOy中若双曲线-=1a0b0的右顶点Aa0到一条渐近线的距离为b则双曲线离心率为 . 解析由题意知双曲线的一条渐近线方程为y=x即bx-ay=0则点A到该直线的距离d==b即=b所以e==.答案
1.河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测中心在原点焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点-24则它的离心率为 . A.B.C.2D.解析由题意可知双曲线的渐近线方程为y=±x则渐近线y=-x过点-24即a=2b.又c==b所以e===.故选A.答案A
2.辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题已知双曲线C的中点在原点O焦点F-20点A为左支上一点满足|OA|=|OF|且|AF|=4则双曲线C的方程为 .A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析设双曲线的方程为-=1a0b0Ax0y0因为左焦点坐标为F-20所以OF=c=
2.因为|OA|=|OF||AF|=4所以解得或结合题意可得解得所以双曲线C的方程为-=
1.故选C.答案C
3.东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题双曲线C:x2-=1的左顶点为A右焦点为F过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点PQ连接PAQA分别与直线l:x=交于点MN则∠MFN= .A.B.C.D.解析由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为F20设过焦点的直线方程为x=my+2点PQ的坐标分别为x1y1x2y2联立直线方程与双曲线方程消去x可得3m2-1y2+12my+9=0由题意可知3m2-1≠0则y1+y2=y1y2=.由A-10Px1y1可得直线AP的方程为y=x+
1.令x=可得y=即M同理可得N结合点F的坐标F20可得==则·=+·其中x1+1x2+1=my1+3my2+3=m2y1y2+3my1+y2+9=-+9=据此可得·=+··=0故⊥MF⊥NF故∠MFN=故选C.答案C
4.四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身考试如图F
1、F2分别是双曲线-=1a0b0的左、右焦点过F1-0的直线l与双曲线分别交于点AB若△ABF2为等边三角形则双曲线的方程为 .A.-=1B.-y2=1C.x2-=1D.-=1解析由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a.∵△ABF2是等边三角形即|AF2|=|AB|∴|BF1|=2a.又|BF2|-|BF1|=2a∴|BF2|=|BF1|+2a=4a∵在△BF1F2中|BF1|=2a|BF2|=4a∠F1BF2=120°∴|F1F2=|BF1+|BF2-2|BF1|·|BF2|·cos120°即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×=28a2解得c2=7a
2.又c=∴a2=1b2=6∴双曲线的方程为x2-=1故选C.答案C
5.河南省2018届高三4月普通高中毕业班高考适应性考试设F1F2是双曲线C:-=1a0b0的两个焦点P是C上一点若|PF1|+|PF2|=6a且△PF1F2的最小内角的大小为30°则双曲线的渐近线方程是 .A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析假设点P在双曲线的右支上由题意得∴|PF1|=4a|PF2|=2a.∵|F1F2|=2c2a∴最短边是PF2最小角为∠PF1F
2.由余弦定理得4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×cos30°∴c2-2ac+3a2=
0.∴e2-2e+3=0∴e=∴=∴c2=3a2∴a2+b2=3a2∴b2=2a
2.∴=故双曲线的渐近线方程为x±y=0故选B.答案B
6.安徽省黄山市2018届高三一模检测若双曲线-=1a0b0与直线y=3x无交点则离心率e的取值范围是 .A.1B.1]C.1D.1]解析双曲线-=1a0b0的渐近线为y=±x.若双曲线-=1a0b0与直线y=3x无交点则≤
3.又离心率e==≤所以e∈1].故选B.答案B
7.广西防城港市2018届高中毕业班1月模拟考试已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F
1、F2过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点若△ABF1是等腰三角形∠A=120°则△ABF1的周长为 .A.2-1B.+4C.+4D.+8解析由题意知双曲线的焦点在x轴上则a=12a=
2.设|AF2|=m由双曲线的定义可知|AF1|=|AF2|+2a=m+
2.由题意可得|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|据此可得|BF2|=
2.又|BF1|-|BF2|=2∴|BF1|=
4.∴在△ABF1中由正弦定理得=则|BF1|=|AF1|即4=2+m解得m=-2∴△ABF1的周长为4+22+m=4+.答案C
8.广西梧州市2018届高三3月适应性测试二模已知双曲线-=1a0b0的右顶点为M离心率为过点M与点0-2的直线与双曲线的一条渐近线平行则双曲线的方程为 .A.-=1B.-=1C.-=1D.-y2=1解析由e==a2+b2=c2得b=a所以双曲线的渐近线方程为y=±x.由=得a=所以双曲线的方程为-=1故选C.答案C
9.河南省新乡市2018届高三第二次模拟考试试题设双曲线Ω:-=1a0b0的左顶点、右焦点分别为点A、F以线段AF为底边作一个等腰△AFB且AF边上的高h=|AF|.若△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上且Ω的离心率为e则下列判断正确的是 .A.存在唯一的e且e∈B.存在两个不同的e且一个在区间内另一个在区间内C.存在唯一的e且e∈D.存在两个不同的e且一个在区间内另一个在区间内解析由题意可设A-a0Fc0B可得△AFB的垂心H.∵△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上∴=∴4e-13-e-1=0令fx=4x-13-x-1x
1.∵f10f0f20当x时fx=12x-12-10∴存在唯一的x且x∈当1x时fx0无零点选A.答案A
10.河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试已知F
1、F2分别是双曲线-=1a0的左、右焦点过F1的直线l与双曲线的左支交于点A与右支交于点B若|AF1|=2a∠F1AF2=则= .A.6B.6C.6D.12解析由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a所以|AF2|=4a.在△AF1F2中|AF1|=2a|AF2|=4a|F1F2|=2c∠F1AF2=由余弦定理得4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×即c2=7a2即a2+6=7a2解得a=
1.因为|BF1|-|BF2|=2且|BF1|-|BA|=2所以|BA|=|BF2|.又∠F2AB=所以△BAF2为等边三角形.因为|AF2|=4|AF1|=2∠F1AF2=所以=+=×42×+×2×4×=
6.答案C
11.上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控二模双曲线-=1a0的渐近线方程为3x±2y=0则a= . 解析双曲线-=1a0的渐近线为y=±x因为y=±x与3x±2y=0重合所以a=
2.答案
212.山西省2018届高三第一次模拟考试过双曲线E:-=1a0b0的右焦点且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的交点则双曲线离心率的取值范围是 . 解析由双曲线及其渐近线可知当且仅当02时直线与双曲线的右支有两个不同的交点故04即1=1+5故1e.答案
113.河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测已知双曲线C:-=1的右焦点为F过点F向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为M交另一条渐近线于点N若7=3则双曲线的渐近线方程为 . 解析由题意得双曲线的右焦点为Fc0设渐近线OM的方程为y=x则渐近线ON的方程为y=-x.设MN.∵7=3∴7=3∴解得∴点M的坐标为.又OM⊥FM∴kOM·kFM=·=-1整理得=∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.答案y=±x
14.山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟考试已知F
1、F2分别是双曲线-=1a0b0的左、右焦点点P在双曲线的右支上若|PF1|=t|PF2|t∈13]则双曲线经过第
一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是 . 解析由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|+|PF2|≥2c故|PF1|+|PF2|=+≥2c整理得e=≤=1+.∵1t≤3∴1+≥2∴1e≤
2.又==e2-1∴0≤3故0≤.∴双曲线经过第
一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是0].答案0]
15.海南省2018届高三阶段性测试二模试题已知双曲线-=1a0b0的左、右焦点分别为F
1、F2过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于AB两点AF2BF2分别交y轴于PQ两点若△PQF2的周长为16则的最大值为 . 解析由题意知△ABF2的周长为32∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32又|AF2|+|BF2|-|AB|=4a|AB|=∴=32-4a∴b=∴=.令t=a+1t1则===.令m=0m1则=.当m=-=时取得最大值=.答案。