还剩7页未读，继续阅读
文本内容:
考查角度4 抛物线的标准方程与几何性质 分类透析一 抛物线的定义与应用例1在平面直角坐标系xOy中设点F直线l:x=-点P在直线l上移动R是线段PF与y轴的交点RQ⊥FPPQ⊥l则动点Q的轨迹方程为 . 解析由题意知点R是线段FP的中点且RQ⊥FP∴RQ是线段FP的垂直平分线.∵|PQ|是点Q到直线l的距离又点Q在线段FP的垂直平分线上∴|PQ|=|QF|.结合抛物线的定义可知动点Q的轨迹是以F为焦点l为准线的抛物线其方程为y2=2x.答案y2=2x方法技巧结合图形借助垂直平分线的性质进行适当的转化得到该动点满足抛物线轨迹的条件从而确定其轨迹方程需要注意限定条件的应用. 分类透析二 抛物线的标准方程例2已知抛物线y2=2pxp0过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于AB两点若线段AB的中点的纵坐标为2则抛物线的方程为 . A.y2=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y解析设Ax1y1Bx2y2由题意知抛物线的焦点坐标为F所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-即x=y+将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0所以=p=2所以抛物线的方程为y2=4x故选A.答案A方法技巧确定抛物线的标准方程时可以借助抛物线的几何性质也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解. 分类透析三 抛物线的几何性质与应用例3如图AB是抛物线y2=2pxp0过焦点F的一条弦.设Ax1y1Bx2y2AB的中点Mx0y0过AMB分别向抛物线的准线l作垂线垂足分别为A1M1B1则+的值为 .A.B.pC.D.2p解析当直线AB的斜率不存在即与x轴垂直时|FA|=|FB|=p∴+=+=.当直线AB的斜率存在时设直线AB的方程为y=k代入y2=2px中得=2px即k2x2-pk2+2x+=
0.设AxAyABxByB则xA+xB=xAxB=.∵|FA|=xA+|FB|=xB+∴|FA|+|FB|=xA+xB+p∴|FA|·|FB|==xAxB+xA+xB+=xA+xB+p.∴|FA|+|FB|=|FA|·|FB|·即+=选C.答案C方法技巧该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质解题时不可忽视AB⊥x轴的情况.例4设F为抛物线y2=4x的焦点ABC为该抛物线上的三点若++=0则||+||+||= . 解析设Ax1y1Bx2y2Cx3y3由题意知F10p=
2.因为++=0所以x1-1+x2-1+x3-1=0即x1+x2+x3=3所以||+||+||=x1+x2+x3+p=
6.答案6方法技巧对于抛物线和平面向量相结合的题目可以借助平面向量的坐标运算求解需要注意平面向量的有关运算性质的运用.
1.2018年全国Ⅰ卷理8改编设抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F过点-20且斜率为1的直线与C交于MN两点若·=4则p= . 解析由题意得直线的方程为y=x+2设点Mx1y1Nx2y2则联立方程组消去y并整理得x2+4-2px+4=0则x1x2=4x1+x2=2p-
4.因为==所以·=·=·+y1y2=2x1x2+x1+x2++4=4解得p=8其中p=0舍去故p的值为
8.答案
82.2017年全国Ⅰ卷理10改编已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F过点F作互相垂直的两条直线ABCD与抛物线分别相交于点AB以及CD若+=1则四边形ACBD的面积取得最小值时直线AB方程为 . A.y=±x-1B.y=x-1C.y=1-xD.y=2x-1解析由抛物线的性质可知+=又+=1∴p=2即y2=4x.设直线AB的斜率为kk≠0则直线CD的斜率为-.∴直线AB的方程为y=kx-1联立消去y得k2x2-2k2+4x+k2=
0.从而xA+xB=2+xAxB=
1.由弦长公式得|AB|=4+以-换k得|CD|=4+4k2故四边形ACBD的面积为|AB|·|CD|=·4+4k2=8≥32当k2=1时取等号即面积的最小值为32此时直线AB的方程为y=±x-
1.答案A
3.2018年全国Ⅲ卷理16改编已知点M02和抛物线C:y2=4x过C的焦点且斜率为k的直线与C交于AB两点.若·=4则k= . 解析抛物线C:y2=4x的焦点为F10当直线斜率不存在时易知A12B1-2则·=1不合题意.当直线AB的斜率存在时设直线AB的方程为y=kx-1Ax1y1Bx2y2联立方程组整理得k2x2-2k2+4x+k2=0则x1+x2==2+x1x2=1∴y1+y2=kx1+x2-2k=y1y2=k2x1-1x2-1=k2[x1x2-x1+x2+1]=-
4.又·=4∴·=x1y1-2·x2y2-2=4解得k=-.答案-
1.2018湖北黄冈中学月考试题抛物线x2=4y的焦点坐标是 . A.02B.01C.20D.10解析∵x2=4y=2py∴p=2∴焦点坐标为即为01故选B.答案B
2.河北省衡水中学2018届高三数学三轮复习系列七拋物线y=2x2的准线方程是 .A.x=B.x=-C.y=D.y=-解析抛物线y=2x2可化为x2=y焦点在y轴上2p=∴=∴抛物线y=2x2的准线方程是y=-故选D.答案D
3.辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题已知抛物线C:y2=4x的焦点为F点A0-.若线段FA与抛物线C相交于点M则|MF|= .A.B.C.D.解析由题意得线段AF:y=x-0≤x≤
1.联立解得M.又=1所以|MF|=+1=故选A.答案A
4.东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于Ax1y1Bx2y2两点且x1+x2=则弦AB的长为 .A.B.4C.D.解析由抛物线的方程可得p=
2.根据抛物线的焦点弦公式x1+x2+p得弦AB的长为+2=.故选C.答案C
5.河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题若过抛物线y=x2焦点的直线与抛物线交于AB两点不重合则·O为坐标原点的值是 .A.B.-C.3D.-3解析由题意知抛物线的方程为x2=4y焦点为F
01.设AB:y=kx+1Ax1y1Bx2y2由得x2-4kx-4=0所以x1x2=-4y1y2=x1x22=1故·=x1x2+y1y2=-3选D.答案D
6.湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试已知点P-14过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点则抛物线C的标准方程为 .A.x2=yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=y或y2=-16x解析过点P-14恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点∴点P一定在抛物线C上即两条直线分别为一条切线一条与抛物线的对称轴平行的直线.若抛物线的焦点在x轴上设抛物线C的方程为y2=2px则将点P-14代入方程可得2p=-16∴抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线的焦点在y轴上设抛物线C的方程为x2=2py则将点P-14代入方程可得2p=∴抛物线C的标准方程为x2=y.综上所述选D.答案D
7.山东省2018年普通高校招生春季考试已知抛物线x2=aya≠0的焦点为F准线为l该抛物线上的点M到x轴的距离为5且|MF|=7则焦点F到准线l的距离是 .A.2B.3C.4D.5解析因为|MF|=7点M到x轴的距离为5所以=7-5故|a|=8因此焦点F到准线l的距离是=4故选C.答案C
8.山西省2018年高考考前适应性测试已知抛物线C:y2=x过点Pa0的直线与C相交于AB两点O为坐标原点若·0则实数a的取值范围是 .A.-∞0B.01C.1+∞D.{1}解析设Ax1y1Bx2y2过点P的直线为x=my+a联立消去x得y2-my-a=0∴y1+y2=my1y2=-a∴x1+x2=my1+y2+2a=m2+2ax1x2=my1+amy2+a=a
2.∵·=x1x2+y1y2=a2-a0∴0a1故选B.答案B
9.安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测过抛物线y2=2pxp0的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点|AF|·|BF|=8则p的值为 .A.4B.C.1D.2解析设Ax1y1Bx2y2∵抛物线y2=2px的焦点F准线方程为x=-∴直线AB的方程为y=x-代入y2=2px可得x2-3px+=0∴x1+x2=3px1x2=.又|AF|=x1+|BF|=x2+∴|AF|·|BF|==x1x2+x1+x2+=++=2p2=8解得p=2故选D.答案D
10.广西梧州市2018届高三3月适应性测试二模设抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F准线为l过点F的直线与抛物线交于点MN与y轴交于点0与l交于点P点M在线段PF上若|PM|=2|MF|则|MN|= .A.B.C.D.解析由题意可得M2p·=p=2直线MN的方程为y=-x-
1.由得MN3-2∴|MN|=故选D.答案D
11.贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于Ax1y1Bx2y2两点以线段AB为直径的圆的圆心为O1半径为r.点O1到C的准线l的距离与r之积为25则rx1+x2= .A.40B.30C.25D.20解析由抛物线的性质知点O1到C的准线l的距离为|AB|=r.依题意得r2=25解得r=
5.又点O1到C的准线l的距离为x1+x2+2=r=5则有x1+x2=8故rx1+x2=40故选A.答案A
12.山西省太原市2018届高三3月模拟考试一试题抛物线y2=8x的焦点为F设AB是抛物线上的两个动点|AF|+|BF|=|AB|则∠AFB的最大值为 .A.B.C.D.解析设Ax1y1Bx2y
2.∵抛物线y2=8x的焦点为F∴F
20.∵|AF|+|BF|=|AB|∴由余弦定理得cos∠AFB===-1=-
1.又∵|AF|+|BF|=|AB|≥2∴|AF|·|BF|≤|AB|2当且仅当|AF|=|BF|时取等号.∴cos∠AFB≥-1=-而0∠AFBπ ∴∠AFB的最大值为.故选D.答案D
13.河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试抛物线y2=axa0上的点P到焦点F的距离为2则a= . 解析抛物线的标准方程为y2=ax焦点坐标为准线方程为x=-.由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+=+=2解得a=
2.答案
214.2018年天津市南开中学高三模拟考试试题已知抛物线的方程为y2=2px其中p0焦点为F准线为l过抛物线上一点M作l的垂线垂足为E.若|EF|=|MF|点M的横坐标为3则p= . 解析由题意知抛物线y2=2px的焦点为F准线l的方程为x=-.由抛物线的定义可得|ME|=|MF|.又|EF|=|MF|所以△MEF为等边三角形.设点M的坐标为3m则点E的坐标为.把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=6p再由|EF|=|MF|可得p2+m2=即p2+6p=9++3p解得p=2或p=-6舍去.答案
215.陕西省西安市长安区第一中学2018届高三上学期第八次质量检测如图点F是抛物线y2=8x的焦点点AB分别在抛物线y2=8x及圆x-22+y2=16的实线部分上运动且AB总是平行于x轴则△FAB的周长的取值范围是 . 解析抛物线的准线方程为x=-2焦点为F20由抛物线的定义可得|AF|=xA+
2.又圆x-22+y2=16的圆心为20半径为4∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+xB-xA+4=6+xB.由抛物线y2=8x及圆x-22+y2=16可得交点的横坐标为2∴xB∈26∴△FAB的周长为6+xB∈
812.答案812。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
