还剩10页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第17讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
1.[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点动点M在椭圆C:+y2=1上过M作x轴的垂线垂足为N点P满足= .1求点P的轨迹方程;2设点Q在直线x=-3上且·=1证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[试做] 命题角度 定点问题解题策略解决定点问题的一般思路是证明直线系过定点、曲线过定点解题的关键是在已知中寻找已知量和未知量之间的关系如中点关系、平行关系、垂直关系、函数关系、不等式关系通过变形转化为过定点的直线系或者曲线再根据其对参变量恒成立令其系数等于零得出定点.
2.[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中曲线y=x2+mx-2与x轴交于AB两点点C的坐标为
01.当m变化时解答下列问题:1能否出现AC⊥BC的情况说明理由.2证明过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.[试做] 命题角度 圆锥曲线中定值问题求解圆锥曲线中定值问题的基本思路是:
①从特殊元素入手求出定值再证明这个值与变量无关.
②直接推理、计算并在计算推理的过程中消去变量从而得到定值.
3.[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C:y2=2x的焦点为F平行于x轴的两条直线l1l2分别交C于AB两点交C的准线于PQ两点.1若F在线段AB上R是PQ的中点证明:AR∥FQ;2若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍求AB中点的轨迹方程.[试做] 命题角度 求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法一般有直接法、定义法、相关点法.其中相关点法的思路是:若动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的而点Q的坐标满足某已知曲线方程则可以设出Pxy用xy表示出点Q的坐标然后把点Q的坐标代入已知曲线方程即可得到动点P的轨迹方程.
4.[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中直线l:y=tt≠0交y轴于点M交抛物线C:y2=2pxp0于点PM关于点P的对称点为N连接ON并延长交C于点H.1求;2除H以外直线MH与C是否有其他公共点说明理由.[试做] 命题角度 存在性问题解析几何的存在性问题也是探索性问题解决这类问题的一般步骤是:
①假设满足条件的几何元素或参数值存在将不确定的问题明确化;
②利用这些条件再结合题目的已知条件进行推理若不出现矛盾或者用待定系数法设出的方程组有实数解则说明几何元素或参数值存在若在推理过程中出现矛盾或者设出的方程组无实数解则说明几何元素或参数值不存在;
③同时推理过程就是说明理由的过程.解答1定点问题1设椭圆E:+y2=1a1的右焦点为F右顶点为A且+=其中O为坐标原点e为椭圆的离心率.1求椭圆E的方程;2设过F且斜率不为零的直线l与E交于MN两点过M作直线m:x=a2的垂线垂足为M1证明:直线M1N恒过一定点并求出该定点的坐标.[听课笔记] 【考场点拨】高考中圆锥曲线的定点问题通常有两种处理方法:1从特殊入手求出定点再证明这个点与变量无关.2直接推理、计算并在计算中消去变量从而得出定点.这个方法是高考中常用的方法它包括:
①通过定义代入化简;
②通过解析几何知识或者三角函数知识代入化简;
③通过韦达定理化简.【自我检测】已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为FA为抛物线C上异于原点的任意一点过点A的直线l交抛物线C于另一点B交x轴的正半轴于点D且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时三角形ADF为正三角形.1求抛物线C的方程.2若直线l1∥l且l1和抛物线C有且只有一个公共点E试问直线AE是否过定点若过定点求出定点坐标;若不过定点请说明理由.解答2定值问题2在平面直角坐标系xOy中抛物线C的顶点在坐标原点以x轴为对称轴且经过点P
12.1求抛物线C的方程;2设点AB在抛物线C上直线PAPB分别与y轴交于点MN且|PM|=|PN|求证:直线AB的斜率为定值.[听课笔记] 【考场点拨】解决定值问题的一般思路为:一取、二解、三定值.步骤如下:一取:选取参数应证明是定值的量通常是个变量它会随某一个量的改变而改变可选取这个量作参数有时也会选两个参数而后根据其他辅助条件消掉其中一个.二解:求出函数的解析式即将要证明是定值的量写成关于上述参数的函数.三定值:由题设结论可了解到要证明是定值的量一定和参数的值无关所以求出的函数一定是常函数因此仅需对上面函数的解析式进行化简就会得出定值.【自我检测】记焦点在同一条坐标轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆E:+=1以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M如图M5-17-1所示.1求椭圆M的方程.2设直线l与椭圆E交于AB两点且与椭圆M仅有一个公共点试判断△ABO的面积是否为定值O为坐标原点.若是求出该定值;若不是请说明理由.图M5-17-1解答3存在性问题3已知长度为3的线段AB的两个端点AB分别在x轴和y轴上运动动点P满足=2设动点P的轨迹为曲线C.1求曲线C的方程.2过点40且斜率不为零的直线l与曲线C交于两点MN在x轴上是否存在定点T使得直线MT与NT的斜率之积为常数若存在求出定点T的坐标以及此常数;若不存在请说明理由.[听课笔记] 【考场点拨】高考中解析几何存在性问题的一般解题思路:1具备某些条件的几何对象的存在性问题.首先假设满足条件的几何元素存在将不确定的问题明确化然后利用这些条件再结合题目的已知条件进行推理.2具备某些条件的代数条件的存在性问题.一般地在探究几何对象的代数条件的存在性时总是从几何对象所满足的几何条件入手将其代数化以后再进行必要的推理和运算得到相应的代数关系式进而确定相关的代数条件是否存在.【自我检测】已知动点Mxy满足+=
2.1求动点M的轨迹E的方程.2设AB是轨迹E上的两个动点线段AB的中点N在直线l:x=-上线段AB的中垂线与E交于PQ两点.是否存在点N使以PQ为直径的圆经过点10若存在求出N点坐标;若不存在请说明理由.第17讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题典型真题研析
1.解:1设PxyMx0y0则Nx00=x-x0y=0y
0.由= 得x0=xy0=y.因为Mx0y0在C上所以+=1因此点P的轨迹方程为x2+y2=
2.2证明:由题意知F-
10.设Q-3tPmn则=-3t=-1-m-n·=3+3m-tn=mn=-3-mt-n.由·=1得-3m-m2+tn-n2=1又由1知m2+n2=2故3+3m-tn=0所以·=0即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2.解:1不能出现AC⊥BC的情况理由如下:设Ax10Bx20则x1x2满足x2+mx-2=0所以x1x2=-
2.又C的坐标为01故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-所以不能出现AC⊥BC的情况.2证明:BC的中点坐标为可得BC的中垂线方程为y-=x
2.由1可得x1+x2=-m所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0可得所以过ABC三点的圆的圆心坐标为半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3即过ABC三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
3.解:由题可知F
0.设l1:y=al2:y=b则ab≠0且AaBbP-aQ-bR-.记过AB两点的直线为l则l的方程为2x-a+by+ab=
0.1证明:由于F在线段AB上所以1+ab=
0.记AR的斜率为k1FQ的斜率为k2则k1=====-b=k2所以AR∥FQ.2设l与x轴的交点为Dx10则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|S△PQF=.由题设可得|b-a|=所以x1=0舍去或x1=
1.设满足条件的AB的中点为Exy.当AB与x轴不垂直时由kAB=kDE可得=x≠
1.而=y所以y2=x-1x≠
1.当AB与x轴垂直时E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-
1.
4.解:1由已知得M0tPt.又N为M关于点P的对称点故Nt则直线ON的方程为y=x代入y2=2px整理得px2-2t2x=0解得x1=0x2=.因此H2t所以N为OH的中点即=
2.2直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x即x=y-t代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0解得y1=y2=2t即直线MH与C只有一个公共点所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.考点考法探究解答1例1 解:1设椭圆E的半焦距为c依题意得+=即a2=2c2又a2=1+c2所以a2=2所以椭圆E的方程为+y2=
1.2由1得F10又直线l的斜率不为零故可设l的方程为x=ty+
1.由得t2+2y2+2ty-1=
0.设Mx1y1Nx2y2又直线m的方程为x=2所以M12y1则y1+y2=-y1y2=-所以y1+y2=2ty1y2又直线M1N的方程为y=x-2+y1x2=ty2+1所以====2y1所以直线M1N的方程为y=2y1x-2+y1=2y1x-故直线M1N恒过定点
0.【自我检测】解:1由题意知F0设Dt0t0则FD的中点为0因为三角形ADF为正三角形所以由抛物线的定义知3+=t-解得t=3+p或t=-3舍去又=3所以p=2所以抛物线C的方程为y2=4x.2由1知F10设Ax0y0x00DxD0xD
0.因为|FA|=|FD|所以|xD-1|=x0+
1.由xD0得xD=x0+2故Dx0+20故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行故可设直线l1的方程为y=-x+b代入抛物线方程得y2+y-=0由题意知Δ=+=0得b=-.设ExEyE则yE=-xE=.当≠4时kAE==可得直线AE的方程为y-y0=x-x0又=4x0整理可得y=x-1所以直线AE恒过点F
10.当=4时直线AE的方程为x=1过点F
10.所以直线AE恒过定点F
10.解答2例2 解:1依题意设抛物线C的方程为y2=axa≠
0.由抛物线C经过点P12得a=4所以抛物线C的方程为y2=4x.2证明:因为|PM|=|PN|所以∠PMN=∠PNM所以直线PA与PB的倾斜角互补所以kPA+kPB=
0.依题意直线AP的斜率存在设直线AP的方程为y-2=kx-1k≠0将其代入抛物线C的方程整理得k2x2-2k2-2k+2x+k2-4k+4=
0.设Ax1y1则1×x1=即x1=则y1=kx1-1+2=-2所以A-
2.以-k代替点A坐标中的k可得B-2所以kAB===-1为定值.【自我检测】解:1由条件知椭圆M的离心率e=且长轴的顶点为-2020∴aM=2cM=1=3∴椭圆M的方程为+=
1.2当直线l的斜率存在时设直线l:y=kx+b.由得3+4k2x2+8kbx+4b2-12=
0.令Δ=64k2b2-43+4k24b2-12=0得b2=3+4k
2.联立y=kx+b与+=1化简得3+4k2x2+8kbx+4b2-48=
0.设Ax1y1Bx2y2则∴|AB|=|x1-x2|=又原点O到直线l的距离d=∴S△ABO=|AB|·d=
6.当直线l的斜率不存在时l:x=2或x=-2则|AB|=6原点O到直线l的距离d=2∴S△ABO=
6.综上所述△ABO的面积为定值
6.解答3例3 解:1设PxyAm0B0n由于=2所以xy-n=2m-x-y=2m-2x-2y即所以又|AB|=3所以m2+n2=18从而+9y2=18即曲线C的方程为+=
1.2由题意设直线l的方程为x=my+4Mx1y1Nx2y2由得m2+4y2+8my+8=0所以故x1+x2=my1+y2+8=x1x2=m2y1y2+4my1+y2+16=.假设存在定点Tt0使得直线MT与NT的斜率之积为常数则kMT·kNT===.当t2-8=0且t-4≠0时kMT·kNT为常数解得t=±
2.显然当t=2时常数为;当t=-2时常数为.所以存在两个定点T120T2-20使得直线MT与NT的斜率之积为常数.当定点为T120时常数为;当定点为T2-20时常数为.【自我检测】解:1由题设知动点M到定点-1010的距离之和为2∵22∴动点M的轨迹为椭圆∴2a=2c=1∴a=b=1∴动点M的轨迹E的方程为+y2=
1.2设椭圆轨迹E的右焦点为F2则F
210.当直线AB垂直于x轴时直线AB的方程为x=-此时P-0Q0·=-1不合题意.当直线AB不垂直于x轴时假设存在点N-mm≠0满足题意设直线AB的斜率为kAx1y1Bx2y
2.由得x1+x2+2y1+y2·=0则-1+4mk=0故k=此时直线PQ的斜率k1=-4m直线PQ的方程为y-m=-4mx+即y=-4mx-m.设Px3y3Qx4y4由消去y整理得32m2+1x2+16m2x+2m2-2=0∴x3+x4=-x3·x4=.由题意知·=0于是·=x3-1x4-1+y3y4=x3·x4-x3+x4+1+4mx3+m4mx4+m=1+16m2x3·x4+4m2-1x3+x4+1+m2=++1+m2==0∴m=±.∵N在椭圆内∴m2∴m=±符合条件.综上存在两点N1-N2--符合条件.[备选理由]我们常见的求定点问题是要求出定点的坐标有时点虽是动点但会属于某个范围或在某定曲线上移动本题就是求解点在定直线上的问题.例 [配例1使用]已知椭圆C1:+=1ab0和抛物线C2:x2=2pyp0在C1C2上各取两个点这四个点的坐标为21-01-
44.1求C1C2的方程;2设P是C2在第一象限内的点C2在点P处的切线l与C1交于AB两点线段AB的中点为D过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q证明:点Q在定直线上.解:1由已知得点-01在椭圆C1上所以=1+=1解得a2=2b2=1所以C1:+y2=
1.因为点21-44在抛物线C2上所以p=2所以C2:x2=4y.2证明:设Pmm0由x2=4y得y=x所以切线l的方程为y-=x-m设Ax1y1Bx2y2由得m2+2x2-m3x+-4=0由Δ0x1+x2=得xD=代入y-=x-m得yD=所以kOD==-所以直线OD的方程为y=-x由得y=-1所以点Q在定直线y=-1上.。