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第57讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是CA.k∈-,B.k∈-∞,-∪,+∞C.k∈-,D.k∈-∞,-∪,+∞ 因为直线方程的一般式为kx-y+2=0,由d=1,得k∈-,.2.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E01的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为BA.5B.10C.15D.20最长弦为圆的直径2,最短弦为垂直于过01点和圆心的直径的弦,圆心13与点01的距离为=,所以最短弦长为2=
2.所以四边形ABCD的面积为×2××2=
10.3.2015·重庆卷已知直线l x+ay-1=0a∈R是圆C x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A-4,a作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=CA.2B.4C.6D.2由于直线x+ay-1=0是圆C x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,所以圆心C21在直线x+ay-1=0上,所以2+a-1=0,所以a=-1,所以A-4,-1.所以|AC|2=36+4=
40.又r=2,所以|AB|2=40-4=36,所以|AB|=
6.4.2016·山东卷已知圆M x2+y2-2ay=0a0截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N x-12+y-12=1的位置关系是BA.内切B.相交C.外切D.相离方法一由得两交点为00,-a,a.因为圆M截直线所得线段的长度为2,所以=
2.又a0,所以a=
2.所以圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+y-22=4,圆心M02,半径r1=
2.又圆N x-12+y-12=1,圆心N11,半径r2=1,所以|MN|==.因为r1-r2=1,r1+r2=31|MN|3,所以两圆相交.方法二因为x2+y2-2ay=0a0⇔x2+y-a2=a2a0,所以M0,a,r1=a.依题意,有=,解得a=
2.以下同方法一.5.将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C,则圆C的方程是 x-12+y2=1 ,若过点30的直线l和圆C相切,则直线l的斜率为 ± .将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位,将方程中x换为x-1,得到圆C的方程为x-12+y2=1,设直线l的方程为y=kx-3,由d==1得k=±.6.2016·新课标卷Ⅲ已知直线l x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= 4 .如图所示,因为直线AB的方程为x-y+6=0,所以kAB=,所以∠BPD=30°,从而∠BDP=60°.在Rt△BOD中,因为|OB|=2,所以|OD|=
2.取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB,所以OH为直角梯形ABDC的中位线,所以|OC|=|OD|,所以|CD|=2|OD|=2×2=
4.7.2017·新课标卷Ⅲ在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为01.当m变化时,解答下列问题1能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.2证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.1不能出现AC⊥BC的情况.理由如下设Ax10,Bx20,则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-
2.又点C的坐标为01,故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.2证明BC的中点坐标为,,可得BC的中垂线方程为y-=x2x-.由1可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又x+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-,-,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2 =3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.8.直线y=kx+3与圆x-22+y-32=4相交于M、N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是BA.[-,0]B.[-,]C.[-,]D.[-,0]因为圆心23到直线y=kx+3的距离d=,所以|MN|=2=2≥2,解得3k2≤1,即k∈[-,].9.若两圆C1x2+y2=1,C2x+42+y-a2=25相切,则实数a= ±2或0 .当两圆外切时,C1C2==5+1,所以a=±2;当两圆内切时,C1C2==5-1,所以a=
0.所以a=±2或
0.10.在平面直角坐标系xOy中,点A03,直线l y=2x-
4.设圆C的半径为1,圆心在l上.1若圆C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;2若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.1由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得C32,于是切线的斜率必存在.设过A03的圆C的切线的方程为y=kx+
3.由题意,得=1,解得k=0或k=-.故所求切线的方程为y=3或3x+4y-12=
0.2因为圆心在直线y=2x-4上,则Ca2a-2,所以圆C的方程为x-a2+[y-2a-2]2=
1.设点Mx,y,因为|MA|=2|MO|,所以=
2.化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+y+12=
4.所以点M在以D0,-1为圆心,半径为2的圆上.由题意知,点Mx,y在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤|CD|≤|2+1|,即1≤≤3,解得0≤a≤.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0,].。